Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки и анализа экспериментальных данных. Учебное пособие
.pdf
2) строят временной ряд отклонений от тренда, то есть на график
х
Рис. 19. Ряд приращений к тренду
наносят значения (xt -
t
).
Этот график обязательно знакопеременен и колеблется относительно
временной оси (абсцисс). Из этого временного ряда можно проанализировать
наличие других характерных особенностей его поведения, которые на фоне
временного тренда могут быть не замечены.
Часто бывает полезно отследить общие тенденции и взаимосвязи
нескольких временных рядов.
Пусть имеется два графика, где х1t – спрос на товар, х2t – его цена:
t
Рис.20. Связанные временные ряды
Из графиков можно заключить, что спрос и цена взаимосвязаны между
собой.
Весьма полезно проанализировать регулярность и частоту появления
характерных составляющих во временном ряду с целью их привязки к
конкретному времени и/или к временному событию. Пусть представленный на
рисунке временной ряд отражает годовое изменение цен на овощи (здесь буквы
на оси абсцисс –первые буквы месяца).
41
Рис. 21. Связанное изменение цен
На временном ряду очевидна сезонная составляющая понижения цен на
летне-осенний период времени.
Августовский скачок уже требует тщательного анализа. Выяснилось, что
был период сильной засухи. Если мы хотим получить устойчивые тенденции
сезонности, надо собрать материал за несколько лет, расположить графики друг
под другом и осуществить совместное их изучение, для начала построив
среднегодовую кривую изменения цен по материалам, собранным за все годы.
В заключение настоящего раздела отметим, что качественный анализ
экономических временных рядов, равно как и временных рядов другой
природы, может дать и дает намного больше полезной и содержательной
информации о конкретной предметной области исследования, нежели расчет
статистических характеристик. При этом специалист, занимающийся анализом
данных, должен помнить, что материал, отражающий численные значения
последовательности временных рядов, по возможности, должен обязательно
дополняться различного рода содержательной информацией, способной
пролить свет на причины изменения и появления характерных составляющих
во временной последовательности.
Именно так мы поступили в последнем примере. Часто тщательный
содержательный анализ, основанный на дополнительных сведениях, интуиции,
здравом смысле дает возможность сделать более содержательные и полезные
выводы нежели формальная математическая обработка временных рядов.
42
Однако эта математическая обработка также может оказаться весьма полезной
).)((
2
1
1
1
2
1
t
tt
N
t
txx
xxxx
N
K
tt
е
x
1t
x
1е
x
.
27
...)8,23)(5,22()8,22)(5,21(
К
x
как дополнительное средство к качественному содержательному анализу.
9. Автокорреляция и взаимокорреляция
Количественный анализ внутренних зависимостей временного ряда
можно осуществить с помощью расчета коэффициентов автокорреляции, для
чего осуществляют расчет коэффициента корреляции или ковариации соседних
наблюдений временного ряда между собой, используя уже рассмотренные
ранее формулы для ковариации и корреляции. Расчет автоковариации
осуществляется по формуле
Пример.
x = {1,2,3,2,3,4,3};
{2,3,2,3,4,3};
= 2,5;
= 2,8.
Таким образом, при расчете автокорреляции для единичного сдвига
временного ряда теряется одно наблюдение. У временного рядаxt – последнее и
уx
–первое (им как бы нет пары для расчетов).
t – 1
Как правило, временные ряды имеют достаточно большое количество
наблюдений, и тогда в качестве xможно брать общую оценку среднего,
рассчитанного по всему временному ряду. Если же данных немного, то расчет
средней для исходного и сдвинутого временных рядов следует осуществить
отдельно. Для исходного временного ряда величинаxt –
43
считается без
t
последнего наблюдения, а для сдвинутого ряда величина x
х
.
2
1
1
t
tt
tt
x
xx
xx
K
r
2
x
1tt
xx
t
x
1t
x
Рис. 22. Пример автокорреляции
t – 1
–
- без
t– 1
первого.
Как уже отмечалось ранее, ковариация несет в себе информацию не
только о связи, но и о величине разброса переменных. Поэтому удобно
пользоваться нормированной автоковариацией– автокорреляцией
В принципе в знаменателе этой формулы вместо
выражение
, но для достаточно большихN разницей в
должно стоять
и
пренебрегают. Коэффициент автокорреляции обладает всеми теми же
свойствами, что и коэффициент корреляции, и отражает степень линейной
стохастической связи соседних наблюдений временного ряда между собой.
Если временной ряд имеет устойчивый тренд на возрастание или убывание, то
автокорреляция всегда значительно отличается от 0.
Рассмотрим график
Из графика видно, что устойчиво прослеживается тенденция к росту, что
должно подтвердить и значение коэффициента автокорреляции, которое будет
значительно больше нуля. Однако автокорреляция имеет место во временных
рядах не только с наличием тренда. Она позволяет распознать наличие
низкочастотных составляющих во временном ряду.
44
x
),)((
1
1
)(
1
е
tе
N
t
txx
xxxx
N
K
tt
,
)(
2
x
xx
xx
tt
tt
K
r
t
t
Рис. 23. Автокорреляция при гармонической составляющей
В этом временном ряду также будет достаточно высокая автокорреляция. И, что очень важно, для анализа временного ряда недостаточно
одного коэффициента автокорреляции, рассчитанного при единичном сдвиге.
Для более полного анализа прибегают к расчету коэффициента
автокорреляции при разных сдвигах ∆ = 1; 2; 3; .... При ∆ = 2 оценивается
корреляция наблюдений временного ряда, отстоящих друг от друга через одно
наблюдение(xt иx
), и т.д. Формирование массива исходных данных
t - 2
осуществляется сдвигом временного ряда относительно самого себя
соответственно на два, три и т.д. наблюдения. Общие формулы для расчета
автокорреляции и автоковариации при произвольном ∆ записываются в
следующем виде
где ∆ – сдвиг между значениями временного ряда. При расчете на больших
временных рядах предельное значение ∆ выбирают 10, 20 и более. Можно
принять ∆
N/10.
мах
В обозначениях К иr часто сохраняют один подстрочный индекс
КХ(∆),rх(∆). Функцию rх(∆)во всем диапазоне изменений ∆ называют
автокорреляционной функцией.
45
Рис. 24. Примеры автокорреляционных функций
Минусовому∆ соответствует отрезок автокорреляции со сдвигом
временного ряда в противоположную сторону, то есть рассчитывается
корреляцияx
сxt, а в правой части – xt сx
t - ∆
t - ∆
.
В приведенном примере первая автокорреляционная функция
соответствует установившемуся тренду во временном ряде, при этом
автокорреляция не затухает с ростом ∆, а стабилизируется на определенном
значении. Третья автокорреляционная функция говорит о наличии во
временном ряде ярко выраженной гармонической составляющей.
Исходя из приведенных примеров видно, что автокорреляционная
функция дает возможность проанализировать структуру и характер поведения
временного ряда. Более того, из автокорреляционной функции
соответствующими преобразованиями можно получить частотный спектр
временного ряда, говорящий о том, какие частоты преобладают во временном
ряде. Так как автокорреляционная функция симметрична относительно оси ординат, то
на графиках, как правило, изображают только одну правую ее половину.
Естественно, что при ∆ = 0, автокорреляционная функция имеет значение 1.
Для оценки взаимосвязи двух временных рядов используют
взаимокорреляционные функции, также часто используют термин
кросскорреляция и кросскорреляционный анализ.
В отличие от обычного коэффициента корреляции взаимная корреляция
считается между двумя временными рядами при разных сдвигах ∆ этих
временных рядов между собой. Необходимость расчета таких коэффициентов
возникает в связи с тем, что между изменяющимися во времени переменными
46
связь может наиболее интенсивно проявляться при некотором временном сдви-
),)((
1
1
2
21
1
1
21
xxxx
N
K
tt
N
t
txx
tt
.
)(
21
21
21
xx
xx
xx
tt
tt
K
r
ге их друг относительно друга.
Пример.х1(t) – временной ряд интенсивности выпадения дождей по дням
или часам; х2(t) – временной ряд, отражающий уровень воды в реке. Уровень
воды отслеживает интенсивность дождя с некоторой задержкой времени,
следовательно, наибольшая корреляция между этими временными рядами
будет при ∆≠ 0.
Формулы для расчета взаимоковариации и взаимокорреляции
приведены ниже
Набор значений взаимокорреляции при различных ∆ принято называть
взаимокорреляционной кросскорреляционной функцией. При ∆ = 0мы имеем
значение обычного коэффициента корреляции между переменными.
В отличие от автокорреляционной функции взаимокорреляционная не
является симметричной относительно оси ординат, поэтому рассчитывать ее
нужно при сдвиге временных рядов друг относительно друга как в одном, так и
в другом направлении. Математически при этом ∆ задается как положительной,
так и отрицательной величиной.
Пример сдвига временных рядов
∆ = ±1, ±2, ±3…
.
Очевидность асимметрии взаимокорреляции легко прослеживается на
приведенном ранее примере. Корреляция между уровнем воды и
интенсивностью дождя будет при ∆ ≥ 1. При ∆ < 0 эта связь труднообъяснима.
47
Рис. 25. Пример графиков взаимокорреляционной функции
Первая функция говорит о том, что временные ряды максимально
связаны между собой без каких-либо сдвигов и задержек (∆ = 0). У второй
функции временной ряд сдвинут вправо, можно предположить (это требует
дополнительного анализа), что x1t – является причиной, ax2t – следствие. Третья
функция говорит о том, что между временными рядами имеется связь на
уровне гармонических составляющих.
10. Оценка причинных зависимостей
Корреляционные зависимости, рассмотренные в предыдущих разделах,
ориентированы на вскрытие стохастических связей между случайными
величинами и случайными процессами и не преследуют цель определения
причинно-следственных закономерностей. Для вскрытия причинных связей
между переменными в условиях наличия случайного фактора следует
применять статистические методы, специально предназначенные для этих
целей. Наиболее простой из этих методов – регрессионный анализ, использующий в своей основе вычислительную процедуру метода наименьших квадратов.
В своей общей постановке оценка причинно-следственных зависимостей
должна включать в себя три последовательно идущих обязательных этапа
действий:
1) синтез топологической модели и ее содержательный анализ;
48
2) выбор структуры связей в рамках отдельных блоков топо-
Рис. 26. Путевой анализ
логической структуры, вплоть до задания аналитических выражений,
определяющих связь между переменными;
3) статистическая оценка неизвестных коэффициентов выбранных
зависимостей по экспериментальным данным.
Часто построение причинно-следственных зависимостей
(математических моделей) по экспериментальным данным называют задачей
идентификации. Поэтому по аналогии с введенными выше этапами различают:
- топологическую идентификацию;
- структурную идентификацию;
- параметрическую идентификацию.
К сожалению, в статистической литературе основное внимание
уделяется только последней.
На этапе топологической идентификации вскрывается структура
причинно-следственных зависимостей. Строятся графические причинноследственные связи. Иногда этот этап работы называется «путевой анализ».
При этом ребра графа отражают направление связи между переменными, а
вершины – это преобразователи поступивших в них переменных в выходную
координату, то есть преобразователи причин в следствие.
Пример.
На данном рисунке представлена топологическая структура причинноследственных связей. В' этой структуре интересным является тот момент, что
от вершины 2 в вершине 1 имеется петля, которую часто называют «обратная
связь».
49
В металлургии петлевые структуры присутствуют достаточно часто.
—®—
Например, взаимная связь прямого и косвенного восстановления железа в
доменном процессе.
К сожалению, на практике топологический анализ часто ограничивается
выделением входных переменных (причин) и выходных переменных
(следствий). Часто первые называют – экзогенными (внешними), а вторые –
эндогенными (внутренними) переменными. Но даже такой упрощенный
топологический анализ требует тщательного подхода, ибо довольно непросто
выделить однозначно причины и следствие.
Структурная идентификации заключается в выборе оператора связи,
преобразующего причины в следствия в каждом узле путевой модели. Эти
операторы задаются с точностью до неизвестных коэффициентов. На этом шаге
исследователю необходимо максимально привлекать знания из конкретной
предметной области.
11. Регрессионные модели
В реальных практических исследованиях с применением статистических
методов для вскрытия причинно-следственных зависимостей к сожалению, как
правило, ограничиваются упрощенными моделями входно-выходных
зависимостей. Структурная схема такой модели представляется в виде,
показаанной на рис.27.
Рис. 27. Регрессионная модель
Здесьх1,х2,. . . ,хп – входные переменные, то есть причины, а у –
выходная переменная, то есть следствие.
ФункцияF – оператор связи, преобразовывающий х в у. Величина ε –
неконтролируемое возмущение, включающее в себя действия прочих факторов
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]