Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы вычислительной математики для технических специальностей. Учебное пособие
.pdf
Представим (2.10) в виде
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (2.11)
Пусть в результате предыдущей итерации получены значения неиз-
вестных
Тогда для неизвестных на сле-
дующей итерации можно записать
(2.12)
………………………………………..
…………………………………………
Для k-й итерации можно записать
(2.13)
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения неизвестных в двух последовательных итерациях не станут достаточно ма-
лыми
31
Здесь успех определяется удачным выбором начальных приближе-
ний. В противном случае итерационный процесс может не сойтись.
б) метод Ньютона. Обладает более быстрой сходимостью.
Зададим значения неизвестных в нулевом приближении
Задача состоит в нахождении приращений (поправок)
к этим значениям: ∆, ∆,… ∆
, благодаря которым решение системы
запишется в виде:
,
,….
. (2.14))
C этой целью проведем разложение левых частей уравнения (2.11)
с учетом (2.12) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами,
относительно этих приращений.
…………………………………………………………………… (2.15)
Приравнивая нулю правые части, получим систему линейных урав-
нений относительно приращений
.
……………………………………………….. (2.16)
32
.
Значения
Определив
и
– вычисляются при
,
в первом приближении:
.
получим значения неизвестных
,
….
.
Аналогично для второго приближения можно записать
(2.17)
Для определения приращений первого приближения можно записать
систему уравнений, аналогичную (3), и т. д.
Счет прекращается, когда на k-м приближении max
. В ме-
тоде Ньютона важен удачный выбор начального приближения. Сходимость
ухудшается с ростом числа уравнений системы.
Раздел имеет не только самостоятельный интерес, но и имеет суще-
ственное значение для решения главных задач вычислительной математики, а именно краевых задач.
33
3. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
y
…
…
x
…
…
Аппроксимирующая (приближенная) функция – это функция, которая с минимальным отклонением описывает другую функцию, полученную следующими способами:
в виде результатов расчета по некоторой сложной функции;
в виде результатов расчета по некоторой программе;
в виде таблицы экспериментальных данных.
Что дает получение аппроксимирующей функции?
– использование ее при интегрировании и дифференцировании;
– дает возможность определить ее значение как в узлах, так и между
узлами;
Решение многих краевых задач различными численными методами
представляется в виде набора чисел (таблиц), и по ним нужно восстановить искомую функцию.
В любом из этих случаев для построения аппроксимации функции
мы будем иметь таблицу, которая в одномерном случае будет выглядеть
так. Пусть
y = f(x),
a ≤
≤ b. (3.1)
ϕ(x) =
Здесь
– заданные функции;
(3.2)
– ко-
эффициенты неизвестны, узлы таблицы.
34
При построении аппроксимирующей функции возникают следующие
вопросы:
Каков критерий минимальности отклонения ϕ(x) от функции, задан-
ной таблично y = f(x)?
Каков класс функций ϕ(x) ?
Как определять неизвестные коэффициенты?
Как располагать узлы – равномерно или неравномерно?
Какова погрешность?
Эти вопросы чаще всего связаны друг с другом.
Критерии
Используемые критерии:
Критерий интерполяции. Значения аппроксимируемой и заданной
функции должны совпадать в узлах: f() = ϕ(
), i = 1,2, ...n. Казалось,
естественно, однако не в случае экспериментальных данных. Если здесь
требовать совпадения, то мы будем повторять ошибки эксперимента.
Критерий наименьших квадратов:
min
. (3.3)
Этот критерий дает возможность использовать многочлен степени m << n;
Критерий наилучшего равномерного приближения
На заданном отрезке
максимальная величина абсолютного от-
клонения должна быть минимальной
Критерий минимакса.
min.max
– (3.4)
Классы функций
Алгебраические функции – в виде полиномов. Тригонометрические
функции – sin, cos.
3.1. Используемые классы функций
35
Определение коэффициентов
y
…
…
x
…
…
Часто связано с критерием, например МНК – критерий интерполяции.
Оцениваемая погрешность
Оценивается в узлах, между узлами.
Часто при изложении материала различные методы аппроксимации
классифицируют исходя из критерия малости отклонения. Мы поступим
также, но будем иметь в виду, что в зависимости от некоторых условий
один и тот же вид аппроксимирующей функции может удовлетворять разным критериям.
Рассмотрим наиболее распространенные, так называемые, интерполяционные многочлены, удовлетворяющие критерию интерполяции.
Пусть функция y = f(x) задана таблицей:
Аппроксимирующую функцию ищем в виде
ϕ(x) =
(3.5)
Рассмотрим некоторые характерные (или часто применяемые) аппроксимирующие функции и соответствующие методы.
3.2. Интерполяционные многочлены
В данном случае в качестве заданных функций выбирается следующая линейно независимая система функций, например,
(3.6)
36
В этом случае аппроксимирующая функция примет вид
(3.7)
Используя данные таблицы и критерии интерполяции можно запи-
сать следующую систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов:
, I = 0,1,2,…n.
Определитель этой системы имеет вид
(3.8)
Это определитель Вандермонда. Он не равен нулю в случае несовпадающих узлов. Это означает, что решение указанной системы уравнений
существует, и оно единственно.
Важное замечание, касающееся всех аппроксимирующих функций
в виде интерполяционных многочленов: существует единственный интерполяционный многочлен, но различные формы его записи, например в виде полиномов Лагранжа, в виде полиномов Ньютона. Они имеют различные формы записи, но, по существу, это один и тот же единственный интерполяционный многочлен.
3.3. Аппроксимация с помощью
алгебраических полиномов Лагранжа
Аппроксимация с помощью алгебраических полиномов Лагранжа.
Применяется на основе критерия интерполяции, то есть совпадения в узлах
.
37
Роль коэффициентов играют сами значения функции в узлах, делен-
ные на произведение скобок. Формула справедлива для произвольного рас-
положения узлов. Когда подставляем x = , получаем
, то есть имеет ме-
сто совпадение в узлах.
Преимущества аппроксимирующей функции в форме полинома Ла-
гранжа. Эта форма записи справедлива как для равноотстоящих узлов, так
и для неравномерно отстоящих узлов;
Число арифметических операций для построения многочлена Ла-
гранжа ≈
L(x) =
L(x) =
и является наименьшим для всех форм записи:
(3.9)
.
Формула содержит в явном виде значение функции
, что бывает
удобным в частности при проведении численного интегрирования.
Полином Лагранжа удобен, когда значения функции меняются, а уз-
лы неизменны.
Недостатки:
При изменении числа узлов все расчеты нужно делать заново.
Полином Лагранжа чаще всего используется до второй степени
n = 2, то есть по данным трех узлов. Например, в узлах
Иными словами, если таблица содержит большое количество узлов, то
описывать с помощью полинома Лагранжа данные всей таблицы нельзя,
так как возникают большие погрешности. Полиномы Лагранжа можно
.
использовать лишь для локальной части таблицы, а не глобально, то есть
для всей таблицы.
38
3.4. Аппроксимация с помощью
…
…
интерполяционных полиномов Ньютона
Аппроксимация с помощью интерполяционных полиномов Ньютона
применяется с использованием критерия интерполяции, то есть требования
совпадения в узлах
N(x) =
. (3.10)
Неизвестные коэффициенты определяются из критерия интерполяции
, (3.11)
m = 0,1…..n.
Формула справедлива для произвольного расположения узлов. Если
будут добавляться новые узлы, ранее рассчитанные коэффициенты не изменяются.
Рассмотрим определение коэффициентов полинома Ньютона исходя
из принципа интерполяции. Для случая трех узлов:
Исходя из принципа интерполяции, определим коэффициенты
для случая трех узлов.
i = 0, во все скобки полинома Ньютона вместо x подставим
чим
i = 1, N(
.
все остальные члены полинома равны нулю, так как содержат
, полу-
39
Отсюда
.
i = 2, N(
.
(3.12)
Остальные коэффициенты равны нулю.
Можно показать, что эти коэффициенты
определя-
ются по формуле
(3.13)
Замечания
Отметим, что, как видно из формулы, для
нужно знать только
первые m узлов 1,2…m, то есть первые табличные данные, а остальные не
нужно. Поэтому добавление новых узлов не изменяет уже найденные коэффициенты.
Очень важное замечание. В силу единственности решения при за-
данном наборе узлов существует только один интерполяционный много-
член, разница лишь в алгоритмах его построения (в форме L, H, канониче-
ской форме либо другой) и в его форме.
Если надо вычислить приближенное значение y при x ≠
(между уз-
лами), то не надо привлекать интерполяционный полином, построенный по
всем узлам. Достаточно построить полином невысокой степени по узлам,
ближайшим к x. При этом можно назвать
или справа узлами
и так далее.
, а ближайшие точки слева
При заданном наборе узлов существует один и только один много-
член степени не выше n, принимающий в узлах заданные значения. Форма
разная, но многочлен один.
Если заданная в узлах функция – многочлен, то между узлами также
будет совпадение. Если функция – не многочлен, то погрешность между
узлами определяется соотношением
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]