Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы вычислительной математики для технических специальностей. Учебное пособие
.pdf
1.7. Метод Гаусса – Зейделя
Один из самых распространенных итерационных методов отличается
простотой и легкостью программирования.
Проиллюстрируем на примере:
Пусть диагональные элементы
отличны от нуля, в противном
(1.42)
случае можно поменять. Выразим неизвестные , ,
из уравнений
, (1.43)
, (1.44)
. (1.45)
соответственно
Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений не-
известных:
,
,
. Подставляя эти значения в пра-
вую часть (1.46), получаем первое приближение для
:
и приближение
Используем это выражение для
Находим из (1.46) приближение для
:
(1.46)
для
(1.47)
21
.
Наконец, используя вычисленные значения
,
, находим с по-
мощью (1.47) первое приближение уравнения
:
(1.48)
На этом заканчивается первая итерация решения системы.
Используя теперь значения
,
,
можно аналогично прове-
сти вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые при-
ближения:
,
,
.
Приближение с номером k можно представить в виде
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения
,
не станут близкими с заданной погрешностью к значениям
,
.
, (1.49)
Рассмотрим теперь систему n уравнений с n неизвестными
,
i = 1,2,…n.
Будем опять полагать, что все диагональные элементы отличны от 0.
Тогда в соответствии с методом k-e приближение можно представить
,
,
в виде
(1.50)
i = 1,2,…n
22
Критерий окончания итерационного процесса можно записать в виде
δ = max
виде (при
max
>>1):
< ɛ – по max абсолютного отклонения 1 ≤ i ≤ n или в
< ɛ – критерий по относительным разностям.
Для сходимости итерационного процесса достаточным условием является
; i = 1,2,…n. (1.51)
То есть для каждого уравнения системы модуль диагонального элемента был не меньше суммы модулей всех остальных коэффициентов. При этом
хотя бы для одного уравнения это условие должно выполняться строго.
Это условие не является необходимым, так как для некоторых итерации сходятся и при нарушении этого условия.
Число обусловленности линейных алгебраических систем. Пусть
имеем систему АХ = Bμ; A – невырожденная матрица коэффициентов n*n.
Пусть правая часть получила приращение ∆b. Если x – решение, то x+∆x
будет решением A(x+∆x) = b+∆b. Можно показать, что между относитель-
ными погрешностями вектора свободных членов
существует связь:
Число обусловленности Cond A=
и вектора решения
(1.52)
является коэффициентом
этой связи. Легко показать, что Cond A служит также коэффициентом роста относительных погрешностей при неточном задании элементов матрицы А в (1.40):
и
(1.53)
23
Таким образом, чем больше Cond A, тем сильнее сказываются на ре-
шении линейной системы ошибки в исходных данных.
Если Cond A велико – система плохо обусловлена.
Если Cond A мало – система хорошо обусловлена.
Говорить «хорошо» или «плохо» в отрыве от контекста задачи бес-
смысленно. Здесь играют роль размерность задачи, требуемая точность,
точность представления чисел в ЭВМ и так далее.
Однако можно дать оценку снизу:
Cond A =
≥
Непосредственный расчет числа обусловленности может быть, осо-
бенно при большой размерности, трудной задачей.
(1.53)
24
2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть имеем уравнение (нелинейное) вида F(x) = 0, F(x) – некоторая
непрерывная функция. Необходимо найти его корни. Нелинейные уравнения можно разделить на два класса: алгебраические и трансцендентные.
Алгебраические – содержат только алгебраические функции (целые,
рациональные, иррациональные), в частности многочлен степени n: P(x)
является целой рациональной алгебраической функцией, дробно-
рациональной
, иррациональной
.
Трансцендентные – содержат тригонометрические, показательные,
логарифмические функции.
Методы решения делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения
(формулы) (до 4-й степени включительно, если 5-я степень, взять в радикалах невозможно).
Итерационные методы (то есть методы последовательных приближений) состоят из двух этапов:
а) отыскание приближенного значения корня или содержащего его
отрезка;
б) уточнение приближенного значения до заданного уровня точности.
Мы рассмотрели случаи только вещественного решения нелинейных
уравнений (функция меняет знак).
2.1. Метод деления отрезка пополам
Допустим, что удалось найти отрезок
, в котором расположено
значение корня x = c, то есть a<c<b. Берем в качестве начального прибли-
жения корня середину отрезка, то есть
. Далее смотрим на значе-
25
ния F(x) в точках a,
,b. Тот отрезок, на котором F(x) принимает значения
разных знаков, содержит искомый корень, поэтому рассмотрим новый от-
резок (отрезок b) и делим его пополам, получаем точку
ственно F(), и далее рассмотрим отрезок
, делим его пополам и по-
и соответ-
лучаем значение и соответственно F(. Из рис. 1 видно, что точка
уже близка к значению корня
. Таким образом, после каждой итерации
отрезок, на котором содержится корень, уменьшается вдвое.
Рис. 1. Метод деления отрезка пополам
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение
F(
) после n-й итерации не станет меньше по модулю некоторого задан-
ного малого числа ɛ, то есть
<ɛ.
Этот метод медленный, но всегда сходится, то есть решение получа-
ется всегда, причем с заданной точностью.
2.2. Метод хорд
Пусть мы нашли отрезок
, на котором F(x) меняет знак. Пусть
для определенности F(a)>0, F(b)<0. Процесс итераций заключается в том,
что в качестве приближений к корню принимаются значения
26
…точек
пересечения хорды с осью абсцисс. Сначала находим уравнение хорды,
проходящей через точки F(a) и F(b):
пересечения, положим F(x) = 0. Следовательно, x=
Далее сравниваем F(a) и F(
) – для рассматриваемого случая корень будет
, чтобы найти точку
F(a)+a;
находиться в интервале (a,), так как F()<0. Отрезок () – отбрасыва-
ем и так далее (см. рис. 2).
Рис. 2. Метод хорд
Соответственно для точки
ды соединяющей F(a) и F(
), получим
Соответственно для точки
ды соединяющей F(a) и F(
), получим
, являющейся точкой пересечения хор-
, являющейся точкой пересечения хор-
. (2.1)
27
. (2.2)
Как видно из рис. 2, точка уже близка к значению корня
Соответственно для случая n итераций точки пересечения хорды
F(a), F(
) получим
. (2.3)
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока
где ɛ – заданная погрешность.
2.3. Метод Ньютона
По сути, аналогичен методу секущих. Только здесь вместо хорды на
k-й итерации проводится касательная к кривой y = F(x) при x =
.
и ищется
<ɛ,
точка пересечения касательной с осью абсцисс. Уравнение касательной
в точке с координатами F(),
F(x) – F() =
Значение x, равное
, при котором касательная пересекает ось x,
имеет вид
в которой F(x) = 0, определится по соотношению
Далее все повторяется: находим уравнение касательной в точке
находим точку пересечения этой касательной с осью x =
формулы для x =
можно записать
. (2.4)
. По аналогии
. (2.5)
,
Соответственно для n+1 приближения можно записать
28
. (2.6)
Рис. 3. Метод Ньютона
При этом, естественно, необходимо, чтобы ≠0. Для окончания
итерационного процесса может быть использовано условие
<ɛ или
условие близости двух последовательных приближений
. (2.7)
Мы видим, что здесь не нужно искать интервал, где есть корень урав-
нения. На каждой итерации объем вычислений больше, чем в предыдущих
методах, но сходится он быстрее. Например, после 5-6 итераций погрешность
метода может быть такой же, как у предыдущих после 50 итераций.
Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе началь-
ного приближения, для поиска которого иногда целесообразно применить
всегда сходящийся метод (например, деления отрезка пополам).
Рассмотренные выше методы применимы для решения как трансцендентных, так и алгебраических уравнений, однако алгебраические
уравнения имеют некоторые особенности, которые могут быть использованы при их решении.
29
2.4. Метод простой итерации
Пусть имеем нелинейное уравнение
F(x) = 0. (2.8)
Часто его можно представить в виде x = f(x).
Например: x
.
Исходя из условий задачи, можно выбрать некое начальное прибли-
жение x = . Подставим в правую часть и получим x =
:
(2.) (2.9)
Теперь подставляем в правую часть и получаем x = ,
и так далее, до того пока
, где – заданная малая величина.
2.5. Системы нелинейных уравнений
Пусть имеем систему
….
(2.10)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Не существует прямых (в отличие от линейных уравнений) методов
решения этих систем. Обычно используют итерационные методы:
а) метод простой итерации (напоминает метод Гаусса – Зейделя для
линейных уравнений).
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]