Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология, планирование и обработка результатов эксперимента в научных исследованиях. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
Если S
2
не превышает дисперсии опыта S2{Y} (S
ад
2
≤ S2{Y}) то полученная
ад
математическая модель адекватно представляет результаты эксперимента; если
2
S
˃ S2{Y}, то проверка гипотезы об адекватности проводится с помощью F-
ад
критерия (критерия Фишера) при νад=N–d и ν=N(n–1).
(11)
если F ≤ Fкр, то модель признается адекватной.
Очевидно, что такая проверка возможна, если νад > 0, так как при N=d не
остается степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватности. В этом
случае можно провести косвенную проверку адекватности, поставив ряд экспериментов в центре плана. Различие между средним значением выходной величины, полученной в этих экспериментах, и свободным членом линейного уравнения может дать представление об адекватности модели. Если это различие
незначимо, то можно предположить, что модель адекватна.
При отрицательном результате проверки адекватности (модель недостаточно верно описывает процесс) необходимо либо переходить к уравнению
связи более высокого порядка, так как, по-видимому, эксперимент ставился в
области, близкой к экстремальной, либо, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования ΔXi. Уменьшение интервала варьирования приводит к увеличению отношения помех к полезному сигналу, что
обусловливает необходимость увеличения числа параллельных опытов для выделения сигнала на фоне шума, а также к уменьшению абсолютных значений
коэффициентов bi, величины которых зависят от интервала варьирования и при
чрезмерном его уменьшении могут стать статистически незначимыми.
Пример:
Проиллюстрируем порядок проведения ПФЭ исследуя процесс дистилляции сырья в аппарате периодического действия [15].
Цель – определить зависимость выхода продукта (в % от загруженного
сырья) от скорости и конечной температуры нагрева сырья.
32
Теоретические предпосылки о процессе позволили установить технологи-
Интервал варьирования и уро-
вень факторов
Конечная температура,
°С
Скорость
нагрева,
°С/мин.
Нулевой уровень xi = 0
350
6
Интервал варьирования ∂i
50
2
Нижний уровень – xi = -1
300
4
Верхний уровень – xi = +1
400
8
Кодовое обозначение
x1
x2
ческие разумные пределы, в которых могут изменятся факторы: конечная температура от 250 до 450°С; скорость нагрева – от 3 до 10 °С/мин.
Кодирование факторов необходимо для перевода натуральных факторов
(температуры и скорости)
Таблица 3.3 – Кодирование факторов
Рисунок 3.3 – Расположение опытов эксперимента типа 22 в системе координат:
Реализация плана эксперимента представлена в таблице 3.4. Приведен-
ный план эксперимента представляет собой расширенную матрицу, т.к. введен
столбец x1 x2, позволяющий оценить коэффициент регрессии при взаимодействии факторов.
а – натуральных; б – кодовых переменных.
33
Таблица 3.4 – Условия и результаты эксперимента
Номер опыта
X1
X2
X1X2
Yu1
Yu2
Yu
1
- - +
27,0
28,0
27,5
2
+ - -
15,9
17,1
16,5
3
- + -
22,1
22,9
22,5
4
+ + +
13,4
13,6
13,5
Проверка воспроизводимости опытов. При одинаковом числе парал-
лельных опытов на каждом сочетании уровней факторов воспроизводимость
процесса проверяется по критерию Кохрена:
(12)
В примере выполняли по два определения величины y
u..
Значение оценок дисперсии можно рассчитать по формуле:
(13)
где ∆ - разность между параллельными опытами.
Таким образом:
Аналогично
и
Процесс воспроизводим, т.к. неравенство (12) выполняется:
При этом дисперсия воспроизводимости (ошибка опыта):
В случае воспроизводимого процесса рассчитывают коэффициенты регрессии:
34
Для рассматриваемого примера:
(14)
(15)
(16)
аналогично и .
Оценка значимости коэффициента регрессии производится с помощью критерия Стьюдента. Коэффициент считается значимым, если выполняется неравенство:
(17)
где
– 5%-ая точка распределения Стьюдента с fy степенями свобо-
ды.
Для рассматриваемого примера:
Все полученные по расчету коэффициенты регрессии, кроме , значимы.
Незначимый коэффициент при факторе означает, что данный фактор не
влияет (или влияет незначимо) на параметр оптимизации. Однако на величину
коэффициента регрессии влияет не только роль данного фактора, но также выбранный интервал варьирования. Это значит, что при очень узких пределах изменения фактора в эксперименте его вклад в изменение параметра оптимизации
может быть действительно очень малым. Однако только поэтому нельзя еще
говорить о том, что фактор является незначимым. Поэтому статистический сигнал о незначимости фактора должен быть по возможности проверен или хотя
бы обсужден с технологической точки зрения.
35
Проверка адекватности линейной модели выполняется с помощью кри-
Опыт
Yu
Yu
(Yu- Yu)
2
1
27,5
27,0
0,25
2
16,5
17,0
0,25
3
22,5
23,0
0,25
4
13,5
13,0
0,25
терия Фишера. Адекватность обоснована если выполняется неравенство:
(18)
Где
; – расчетное значение отклика в u-м опыте;
– критерий Фишера при 5% уровне значимости; –
число степеней свободы дисперсии адекватности; fy – число степеней свободы
дисперсии воспроизводимости.
Проверка адекватности для рассматриваемого примера выполняется в следующем порядке. По полученному уравнению
(19)
находят расчетные значения . Все последующие расчеты сведены в таблице 3.5.
Таблица 3.5 – Проверка адекватности линейной модели
Примечание. Критерий Фишера при
Модель адекватна.
Задание. Приготовить составы цементных паст указанных в таблице 3.8.,
используя в качестве факторов значения, приведенные в таблице 3.7. Выполнить обработку полученных экспериментальных данных 3-х факторного эксперимента при параметрах оптимизации указанных в таблице 3.6, проверить воспрозводимость результатов, вычислить коэффициенты уравнения регрессии,
проверить их значимость и установить адекватность полученного уравнения.
36
Таблица 3.6 – Параметры оптимизации состава цементной пасты и их
Код параметра
оптимизации
Физический смысл параметра
оптимизации
Единица
измерения
Граничное значение функции
отклика
Y1
Предел прочности при сжатии
образцов цементного камня в
возрасте 28 суток нормально-
го твердения
МПа
Не менее 60
Y2
Диаметр расплыва цементно-
го теста
мм
Не менее 350
Код
фактора
Физический смысл
фактора
Единица
измерения
Интервал ва-
рьирования
Уровни факто-
ра
-1 0 +1
X1
Содержание добавки
суперпластификатора
(% от массы вяжущего)
%
0,25
0,75
1
1,25
X2
Содержание микро-
кремнезема
%
5
5
10
15
X3
Водовяжущее отноше-
ние
0,02
0,28
0,30
0,32
№
Кодированное
значение факто-
ров
Натуральное зна-
чение факторов
Расход компонен-
тов, кг
Y
1
МПа
Y
2
мм
X1
X2
X3
X1
X2
X3
ПЦ
СП
МК
В 1 +1
+1
+1
1,25
15
0,32
680
31
120
225 2 +1
+1
-1
1,25
15
0,28
680
31
120
193
3
+1
-1
+1
1,25
5
0,32
760
31
40
225 4 +1
-1
-1
1,25
5
0,28
760
31
40
193 5 -1
+1
+1
0,75
15
0,32
680
19
120
237 6 -1
+1
-1
0,75
15
0,28
680
19
120
205 7 -1
-1
+1
0,75
5
0,32
760
19
40
237 8 -1
-1
-1
0,75
5
0,28
760
19
40
205 9 0 0 0 1 10
0,3
720
25
80
215
граничные значения
Таблица 3.7 – Значение факторов варьирования
Таблица 3.8 – Матрица планирования и результаты эксперимента
37
2. Дробный факторный эксперимент
Изучение методов реализации и обработки результатов дробного факторного эксперимента поможет овладеть практическими навыками статистической
обработки результатов планирования эксперимента.
Анализируя матрицу планирования типа 2n, нетрудно заметить, что с увеличением числа факторов n количество опытов N для реализации полного факторного эксперимента резко возрастает. Уже для пяти факторов при реализации
ПФЭ надо поставить 32 эксперимента. Если учесть, что каждый опыт дублируется несколько раз (2–5), то ясно, что количество экспериментов при осуществлении ПФЭ достаточно велико.
Вместе с тем на первых этапах исследования часто нужно получить в первом приближении линейную аппроксимацию изучаемого уравнения при минимальном количестве экспериментов. Кроме того, в ряде случаев эффекты взаимодействия (вида b1b2, b1b2b3 и пр.) отсутствуют или пренебрежимо малы.
Это дает возможность использовать часть ПФЭ, которая называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ), что позволяет значительно экономить
количество опытов при небольшой потере информации.
Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения математической модели в виде уравнения регрессии используется определенная часть
ПФЭ: 1/2, 1/4 и т. д. Матрицу такого эксперимента называют дробной репликой
(таблица 3.9).
Для полуреплики от ПФЭ с тремя факторами количество экспериментов N
= 23– 1 = 4; для ситуации, в которой оцениваются шесть факторов: 1/2 ПФЭ2
= 32; 1/4 ПФЭ 2
6–2
= 16; 1/8 ПФЭ2
6–3
= 8.
6–1
Например, для решения трехфакторной задачи можно ограничиться четырьмя вариантами варьирования, если в ПФЭ типа 23 произведение Х1Х2 (см.
таблицу 3.4) заменить третьей независимой переменной Х3. Такое планирование
позволяет оценить свободный член и три коэффициента при линейных членах
b1, b2 и b3 (таблица 3.10).
38
Таблица 3.9 – Полный факторный эксперимент и его дробные реплики
№
опыта
Факторы
Функция
отклика
Дробные
реплики
X1
X2
X3 1 - 1
- 1
- 1
y1
y2
y
3
y4
y5
y
6
y7
y8
1/4
1/4
1/4
1/4
2 +1
- 1
- 1
3
- 1
+1
- 1
1/2
4
+1
+1
- 1
5 - 1
- 1
+1
6
+1
- 1
+1
1/2
7
- 1
+1
+1
8
+1
+1
+1
№
опыта
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Х6
Х7
Х1
Х2
Х3
Х1 Х2
Х1 Х3
Х2 Х3
Х1 Х2 Х3
1
- 1
- 1
+1
+1
- 1
- 1
+1
2
+1
- 1
- 1
- 1
- 1
+1
+1
3
- 1
+1
- 1
- 1
+1
- 1
+1
4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Таблица 3.10 – Полуреплика трехфакторного эксперимента
фициентов уравнения связи (смешиванием). В нашем примере, если коэффициенты регрессии при парных взаимодействиях отличны от нуля, то каждый из
найденных с помощью приведенного плана коэффициентов будет оценкой двух
теоретических коэффициентов:
ных членов и соответствующих парных произведений совпадают.
реплики недопустимо. Смешивание нужно производить так, чтобы основные
оценки были смешаны с взаимодействиями самого высокого порядка или с теми из них, о которых заранее известно, что они несущественны.
Применение ДФЭ всегда связано с совместной оценкой нескольких коэф-
Это происходит потому, что столбцы матрицы планирования для линей-
Следует отметить, что произвольное разбиение матрицы ПФЭ на дробные
39
Приравнивая переменную различным произведениям (парным, тройным и
т.д. взаимодействиям), можно построить ДФЭ. При этом, естественно, система
оценок будет различной. Обычно обозначают дробные реплики 2n – P, если P
переменных приравнены к произведениям переменных.
Для анализа разрешающей способности дробных реплик пользуются таки-
ми понятиями:
– генерирующее соотношение. Служит для построения дробной реплики.
Например, в рассмотренном примере для ДФЭ типа 2
3–1
генерирующим соот-
ношением является Х3 = Х1Х2;
- определяющий контраст. Это соотношение, задающее элементы пер-
вого столбца матрицы планирования для фиктивной переменной Х0 (все они
равны единице). Выражение определяющего контраста в рассмотренном примере для ДФЭ типа 2
3–1
получается умножением левой и правой частей приве-
денного генерирующего соотношения на Х3, т. е. Х1 Х2 Х3 = 1. Знание определяющего контраста позволяет найти всю систему совместных оценок, не изучая
матрицу планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки, можно
найти, последовательно умножая независимые переменные на определяющий
контраст.
Разрешающая способность полуреплик определяется генерирующими со-
отношениями, и она тем выше, чем больше порядок взаимодействий, с которыми смешаны линейные коэффициенты.
Например, для четверть реплики в пятифакторном планировании типа 2
5–2
(т.е. две переменные приравнены произведениям) могут быть заданы следующие генерирующие соотношения: Х4 = Х1Х2Х3; Х5 = Х1Х2. При этом предполагается, что b
= b12 =0.
123
Определяющими контрастами для этой реплики, согласно приведенному
выше правилу, будут соотношения 1 = Х1 Х2 Х3 Х4 и 1 = Х1 Х2 Х5.
В случаях, когда для дробной реплики имеют место два и более определяющих контраста, их необходимо перемножить между собой, используя все возможные комбинации. В нашем примере есть лишь одна комбинация: 1 = Х3 Х4
40
Х5. Это соотношение называется обобщающим определяющим контрастом. Оно
полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени
дробности. Совместные оценки здесь будут находить, например, соотношениями: Х0 = Х1 Х2 Х3 Х4 = Х1 Х2 Х5;
Х
= Х2 Х3 Х4 = Х2 Х5 = Х1 Х3 Х4 Х5 и т. д., а смешиваемые теоретические ко-
1
эффициенты:
После составления (выбора) плана ДФЭ приступают к его реализации и
математической обработке результатов. Проведение эксперимента, проверка
воспроизводимости, расчет коэффициентов уравнения, установление их значимости и определение адекватности полученного уравнения регрессии полностью совпадают с процедурой, применяемой в ПФЭ.
Задание. Использовать для дробного факторного эксперимента данные из
таблицы 3.8. Выполнить обработку полученных экспериментальных данных
дробного 3-х факторного эксперимента при параметрах оптимизации указанных в таблице 3.6, проверить воспрозводимость результатов, вычислить коэффициенты уравнения регрессии, проверить их значимость и установить адекватность полученного уравнения.
Вопросы для самопроверки.
1. Что называется полным факторным экспериментами?
2. Как выбираются факторы планирования, их основные (базовые) уровни и
интервалы варьирования?
3. Указать порядок проведения эксперимента методом ПФЭ.
4. Как составляется матрица планирования ПФЭ?
5. Как выбрать центр плана эксперимента?
6. Чем определяется величина интервала варьирования фактора?
7. Почему необходимо проведение параллельных опытов и их рандомизация?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]