Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине Численные методы. Часть 2
.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра теории вероятностей и прикладной математики
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
по дисциплине
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Часть 2
для направления 01.03.04 "Прикладная математика"
5 семестр
201
6
План УМД на 2015/2016 уч.год
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
по дисциплине
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Часть 2
5 семестр
Составитель: Демин Д.Б., к.ф.-м.н., доцент каф. ТВиПМ
Издание утверждено советом ОТФ-1. Протокол № 9 от 29.05.2013.
Издание 2-е переработанное и дополненное
Рецензент: Е.А. Скородумова, к.ф.-м.н., доцент
2
3
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемые методические указания относятся к дисциплине "Числен-
ные методы", изучаемой студентами дневного отделения специальности
231300 "Прикладная математика" в 5 семестре. В течение всего семестра студенты выполняют лабораторные работы по указанной дисциплине, задания к
которым приведены в конце каждого раздела.
Предлагаемое пособие содержит вторую часть методических указаний по
дисциплине "Численные методы" и является продолжением первой части, изданной в 2011 г. Сюда вошли следующие разделы дисциплины и задания для
выполнения лабораторных работ к ним: численные методы решения систем
нелинейных уравнений, численные методы решения систем линейных уравнений, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Данные методические указания не являются систематическим изложени-
ем курса. Литература, по которой следует изучать курс, указана в начале методических указаний.
Порядок выполнения каждой лабораторной работы включает следующие
этапы:
1. Подготовка к выполнению лабораторной работы. Выбор варианта задания. Написание подпрограмм для указанных алгоритмов на языках программирования (Си, Паскаль) или в специализированных пакетах (Matlab,
Maple).
2. Проведение расчетов по лабораторному заданию при помощи подготовленных программ в лабораторном классе.
3. Защита результатов лабораторной работы у преподавателя.
Выполнение лабораторной работы оформляется отчетом. Отчеты по ла-
бораторным работам практикума можно проводить либо в одной тетради (в
клетку) либо на отдельных листах формата A4, скрепленных вместе. Отчеты
сдаются преподавателю и обратно не возвращаются.
Отчет по каждой лабораторной работе должен содержать следующие
пункты.
1. Название лабораторной работы и дату ее проведения, номер варианта,
фамилию и номер группы студента.
2. Цель лабораторного задания и текст задания.
3. Математическая формулировка лабораторной задачи, краткое описание
используемых численных методов и алгоритм программы, реализующий
методы.
4. Исходные данные для программы и результаты ее выполнения.
5. В зависимости от номера лабораторной работы аналитические расчеты
поставленной задачи.
6. Результаты выполнения лабораторной работы в целом.
4
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА
Литература
Основная
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004.
2. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. –
Т.1, 2. – М.: Наука, 1976-1977 гг.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – СПб.:
Лань, 2007.
4. Сборник задач по методам вычислений. Под ред. П.И. Монастырного. – М.:
Физматлит, 1994.
5. Н. С. Бахвалов, А. А. Корнев, Е. В. Чижонков. Численные методы. Решения
задач и упражнения. М.: Дрофа, 2009.
Дополнительная
1. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1997.
2. Вержбицкий В.М. Численные методы. М.: Высшая школа, 2001.
3. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 2001.
4. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004.
5. Сборник задач по математике для втузов. Методы оптимизации, уравнения
в частных производных, интегральные уравнения, Под ред. А.В. Ефимова. –
М.: Наука, 1990.
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова. Э.З. Численные методы анализа.
Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения:
Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2008.
5
5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
,0),...,,(
21
Ni
xxxf
Ni ...,,2,1
i
f
1
x
2
x
N
x
0)(
xf
N
x
x
x
x
...
2
1
)(
...
)(
)(
)(
2
1
xf
xf
xf
xf
N
N
0
...
0
0
0
),(xx
T
N
xxxx )(...)()()(
21
T
N
xxx
)0()0(
1
)0(
...,,
)()(
1
)1(
...,,
n
N
n
i
n
i
xxx
Ni ...,,2,1
)()1( nn
xx
...,2,1,0n
)()(
1
)(
...,,
n
N
nn
xxx
**
1
*
...,,Nxxx
)(x
i
*
x
)0()0(*)(
)(
1
|||| xx
q
q
xx
n
n
xx
,
||||
)0(
xx
||||)()( xxqxx
10 q
21q
УРАВНЕНИЙ
Пусть требуется решить систему уравнений с N неизвестными
, (5.1)
где
– нелинейные функции действительных переменных
,
, …,
.
В векторно-матричной форме система (5.1) имеет следующий вид
(5.2)
где:
,
,
– N-мерные векторы-столбцы.
Для решения уравнения (5.2) будем использовать итерационные методы,
которые могут быть получены на основе обобщений методов решения скалярных нелинейных уравнений.
5.1. Метод простой итерации
Метод простой итерации применим к системам, которые предварительно
приведены к виду:
(5.3)
где
Пусть
– начальное приближение. Последующие при-
.
ближения в методе простой итерации находятся по формулам:
,
, (5.4)
или, в векторной форме,
, (
Если последовательность векторов
, а функции
). (5.5)
сходится к вектору
непрерывны, то вектор
является решени-
ем системы (5.3).
Погрешность метода простой итерации оценивается аналогично тому, как
и для одного скалярного уравнения (см. раздел 4):
, (5.6)
где q определяется из условия: для
,
Сходимость метода считается хорошей, если
из сферы
выполнено
; (5.7)
.
6
В (5.6)-(5.7)
|||| x
||||
)0(
xx
)0(
1
)0(
max||||
ii
Ni
xxxx
||)(|| x
N
j
j
i
NiGx
x
x
x
1
1
)(
maxmax||)(||
)(x
)(x
||||
)0(
xx
1||)(|| qx
)1( n
x
)(*
lim
n
n
xx
1
)(
maxmax
1
1
||||
)0(
N
j
j
i
Ni
xx
x
x
q
1N
1)(max
],[
xqbax
)()( xxfAxx
A
0)()(
)0()0(
xfAEx
)(
)0(
xf
1
)0(
)(
xfA
)()(
)(
1
)0()()1( nnn
xfxfxx
...,2,1,0n
)0(
x
)(xf
x
)0(
x
)(xf
0))(()()(
)0()0()0(
xxxfxfxf
– это норма вектора, причем норма вектора
деляется формулой
опре-
, (5.8)
а согласованная с ней норма функции
формулой
. (5.9)
Достаточное условие, обеспечивающее выполнение неравенства (5.7):
пусть функции
и
непрерывны в области G:
в G выполнено неравенство
. (5.10)
Если последовательные приближения
рации сходится к единственному решению
не выходят из G, то процесс ите-
уравнения (5.3).
Из (5.9)-(5.10) получим формулу для параметра q:
. (5.11)
В случае
из (5.11) имеем известное условие:
.
, причем
Для применения метода простой итерации к системе (5.1) нужно привести ее к виду (5.3). Это делается по аналогии со скалярным случаем. Перепишем систему (5.2) в следующем виде:
, (5.12)
где A – невырожденная матрица. В силу условия сходимости (5.10) матрицу
нужно выбрать так, чтобы
,
отсюда, если матрица
невырожденная, то
.
Окончательно из (5.5) получим модифицированный метод Ньютона
,
(5.13)
5.2. Метод Ньютона
Этот метод применим к уравнениям вида (5.1)-(5.2). Пусть
ное приближение. Предполагая, что функция
руема в некоторой области, содержащей
и
непрерывно дифференци-
, разложим
– началь-
по формуле
Тейлора, ограничиваясь линейной частью
, (5.14)
7
где
)(xf
)(xf
i
)(xJ
N
NN
N
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
xJ
)(
...
)(
.........
)(
...
)(
)(
1
1
1
1
0)(det
)0(
xJ
)1(
x
)(n
x
)1( n
x
)()(
)()(1)()1( nnnn
xfxJxx
...,2,1,0n
)(
)(1 n
xJ
||||
)()1( nn
xx
)()(
)()1( nn
xfxf
)(max)(
1
xfxf
i
Ni
),...,(
1 N
xx
**
1
*
,...,Nxxx
),...,(
1 N
xx
),...,(
1 N
xx
N
i
NiN
xxfxxx
1
1
2
1
),...,(),...,()(
)0(
x
)0(
x
)(x
)(grad
)0(
x
)(x
)(n
x
)1( n
x
)(grad
)()()1( n
n
nn
xxx
n
– это матрица производных функций
(матрица Якоби), кото-
рую обозначим как
:
.
Если
торое обозначим через
, то уравнение (5.14) имеет единственное решение, ко-
. Если найдено
, тогда
вычисляется по
формуле:
где
,
– матрица, обратная к матрице Якоби. Формула (5.15) описывает
(5.15)
итерационный процесс метода Ньютона.
Метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости, причем для
остановки алгоритма обычно используют условие
, где –
заданная точность решения. Отслеживать факт сходимости процесса можно
по формуле:
, (5.16)
где
.
5.3. Метод наискорейшего спуска (метод градиента)
В методе наискорейшего спуска ищется минимум неотрицательной
функции
точка
решением системы (5.1) и наоборот.
Обычно функцию
Алгоритм метода состоит в следующем. Задаем начальное приближение
, из точки
функции
пока
, т.е. в направлении антиградиента
убывает, затем вычисления повторяются и т.д. Если известно
, связанной с решаемой системой (5.1) условием: если
есть минимум функции
, то она является и
берут в виде
. (5.17)
перемещаемся по прямой в сторону наибольшего убывания
до тех пор,
,
то
где
вычисляется по формуле
, (5.18)
– наименьший положительный корень уравнения
8
0)(grad
)()(
nn
xx
, (5.19)
T
N
nn
n
x
x
x
x
x
)(
...,,
)(
)(grad
)(
1
)(
)(
)()1(n
x
n
)()(
)()1( nn
xx
n
0))(grad(
)()(
nn
xx
n
)(x
1
№ вар.
№ вар.
1
22
43
3 1 0
10
x y y
x xy
16
5,1e
2)1(
22
yx
yx
xy
.
Итерационный процесс (5.18) останавливают, если
, где –
требуемая точность решения.
При выборе
в формуле (5.18) необходимо учитывать, что на каждой
итерации должно выполняться неравенство:
. (5.20)
Определение
ции нелинейного уравнения
из формулы (5.18) означает решение на каждой итера-
относительно пере-
менной . Обычно его решают по методу Ньютона. При таком способе определения
градиентный метод поиска минимума функции
получил на-
звание метода наискорейшего спуска. Параметр можно выбирать и подругому. Например, берем на первой итерации
. Если условие (5.20) не
выполняется, то тогда дробят, например, пополам и снова проверяют условие (5.20), и так до тех пор, пока не выполнится условие (5.20). Далее, этот
способ выбора повторяют на последующих итерациях метода градиента. В
этом случае метод называется методом с дроблением шага.
Недостатком метода наискорейшего спуска является медленная сходи-
мость к решению.
5.4. Задание на лабораторную работу № 4: Численное решение систем
нелинейных уравнений
1) 1. Решить систему нелинейных уравнений (см. вариант) методом Ньютона
(четные номера) , методом простых итераций (нечетные номера) и мето-
дом наименьших квадратов (наискорейшего спуска) (все варианты). Начальное приближение определить графически.
2) Сделать 4 итерации вручную (ЭВМ: 8). Оценить достигнутую точность
решения.
3) Сравнить методы.
Варианты заданий
9
2
32
3
1,5 1 0
40
xy
xy y
17
2 6ln 3 0
15 10 60ln 6 0
x y x
x y x
3
029
0863
4
3322
yx
yxyx
18
2)cos(
8,0)1cos(
yx
yx
4
2
22
e 1,1
( 0,5) 0,1
xy
xy
xy
19
22
tg( ) 0,3
2 1,5
y x xy
xy
5
22
sin( ) 1
0,75
x y xy
xy
20
6,1
6
1
2
5,05,0
3
2
yyx
xxy
6
2
22
tg
0,8 2 1
xy x
xy
21
4/3
1)sin(
22
yx
xyyx
7
22
32
2 1 0
6 1 0
xy
x x y
22
cos( 0,5) 2
sin 2 1
yx
xy
8
6ln 1 0
3 6ln 2 0
x y x
x y y
23
22
3
10
0
xy
xy
9
sin( 0,6) 1,6
3 cos 0,9
xy
xy
24
027
037
33
33
yyx
xyx
10
2cos2
1)1sin(
yx
yx
25
015,0
06222
2
22
xy
yxyxyx
11
32
3
2 1 0
40
xy
xy y
26
sin( 1) 2
2 cos 1
yx
yx
12
22
sin( ) 1,2 0,1
1
x y x
xy
27
5,0sin
0)1cos(2
yx
xy
13
22
3
10
30
xy
xy y
28
2
)5,0(
22
2
yx
xxytg
14
sin 2 2
cos( 1) 0,7
yx
xy
29
02sin
062
2
xy
xyxy
15
sin 1,32
cos 0,85
xy
yx
30
0
012
22
2
yxxx
xyy
10
6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИ-
n
xxx ...,,,
21
ininii
bxaxaxa ...
2211
ni ...,,2,1
BAx
B
T
n
bbb )...,,,(
21
T
n
xxxx ),...,,(21
nji
ij
aA
,1,)(
0det A
||||A
A
x
i
i
),...,1( ni
BAx1
T
ij
AA
ˆ
ij
A
ij
a
1
A
)1( n
)1(! nn
100n
158
10!n
ЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) делятся на две группы: 1) точные (прямые) методы; 2) методы последовательных приближений (итерационные методы).
Точные методы – это методы, которые за конечное число операций при-
водят к точным значениям неизвестных системы. Предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления проводятся без округлений.
Итерационные методы – это методы, в которых решение получается с за-
данной точностью путем бесконечного повторения единообразных действий.
В итерационных методах для начала вычислений требуется задание начального приближения.
6.1. Прямые методы. Метод Гаусса
Рассмотрим СЛАУ с n неизвестными
,
, (6.1)
:
или в матричной форме
, (6.2)
где
бец неизвестных,
Если матрица A невырожденная, т.е.
– столбец свободных членов,
– матрица коэффициентов системы (6.1).
– стол-
, то система (6.1) и эквива-
лентное ей матричное уравнение (6.2) имеют единственное решение. Тогда
решение системы (6.1)-(6.2) имеет вид формул Крамера
,
, (6.3)
или в матричном виде:
, (6.4)
где
элементам
При использовании формул (6.3) требуется вычисление
– матрица, составленная из алгебраических дополнений
;
– обратная матрица системы.
-го опреде-
к
лителя порядка n, на каждый из которых требуется !n арифметических операций, т.е для решения системы (6.1) необходимо
, потребуется выполнить
операций. Это слишком много даже
операций. При
для современных ЭВМ, что является одной из причин не использования формул Крамера.
Наиболее известным прямым методом решения СЛАУ является метод
Гаусса и различные его модификации. Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных для приведения исходной матрицы систе-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]