Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методические указания и контрольные задания по дисциплине Теория игр
.pdf
)1(),(
21
papajxH
jjA
nj ,1
),( jxH
A
),( jxH
A
pOv
),( jxHvA
)( j
B
),( jxH
A
)1(min
21
1
papa
jj
nj
p
)1,(
ppx
l
B
k
B
257
1132
P
P
2}2,2max{ v
5}11,5,7min{ v
B
1
B
pppv 57)1(72
2
B
pppv 25)1(53
v
p
*
0
v
p
(k)
(l)
(1)
(2)
1
Рис. 4
v
*
p
*
0
v
p
(3)
(1)
(2)
1
2
5
7
Рис. 5
,
, (21)
где
– выигрыш игрока A, когда игрок B применяет одну из
своих n чистых стратегий.
Определим максимум в формуле (20).
Проще всего это сделать, построив
графики функций
плоскости
в зависимости от j.
Уравнение
описывает на
на
данной плоскости прямую линию,
соответствующую чистой стратегии
игрока
функций
. Затем на графиках
выделим участки
прямых, лежащих ниже всех
остальных прямых. В результате
получается ломаная, которая и является графиком функции
(выделена жирной линией на рис. 4). Эта ломаная
называется нижней огибающей семейства прямых. Тогда максимум в (20)
определяет верхняя точка построенной нижней огибающей, при этом ее
ордината определяет цену игры v, а абсцисса – число
оптимальную стратегию игрока A:
есть пересечение прямых, отвечающих стратегиям
(на рис.4 эта точка
и
игрока B).
, т.е.
Описанная процедура может рассматриваться как некоторый аналог
максиминного подхода для игрока A при отсутствии седловой точки.
Пример 4. Решить игру с платежной матрицей
Сначала исследуем матрицу
,
на наличие седловой точки.
, т.е. седловой точки нет. Значит,
.
решение игры нужно искать в
смешанных стратегиях.
Вычисляем средние выигрыши
игрока A по формуле (21), когда
игрок
применяет одну из трех
своих чистых стратегий:
: (1)-я прямая:
,
: (2)-я прямая:
,
21
3
B
: (3)-я прямая:
pppv 92)1(211
pOv
p
pv
pv
92
,25
pp 9225
11/3
p
11/49
A
v
x
11/8;11/3
x
10 p
B
qqk
qq
l
1
0
j
q
lkj ,
)...,,,(
21 n
qqqy
)1()1(
2211
qaqaqaqa
lklk
),,(
321
qqqy
01q
qq
2
qq 1
3
1
321
qqq
)1(25)1(113 qqqq
11/9q
11/2,11/9,0
y
11
49
11/2
11/9
0
257
1132
11
8
11
3
)(),(
T
AA
yPxyxHv
1
B
2
B
),(21qqy
121 qq
1
A
m
A
.
Далее, строим полученные выше прямые на координатной плоскости
(рис. 5), и находим их нижнюю огибающую (жирная ломаная). Из
рис. 5 видно, что наивысшая точка огибающей является пересечением 2-й
и 3-й прямых, поэтому оптимальное значение
ищем из системы
уравнений:
В результате получаем решение:
Таким образом, оптимальной смешанной стратегией
будет
.
, цена игры
.
игрока A
.
Опишем процедуру отыскания оптимальной смешанной стратегии
для игрока B. Рассмотрим случай, когда
(подробнее см. [1]). В
этом случае в наивысшей точке нижней огибающей пересекаются как
минимум две прямые, одна из которых (k-я) имеет положительный
наклон, а другая (l-я) – отрицательный (рис. 4). Тогда оптимальная
смешанная стратегия игрока
,
для всех
определяется так: положить
. Здесь
– это
смешанная стратегия игрока B, а величина q есть решение уравнения:
. (22)
Вернемся к решению примера 4. Смешанной стратегией игрока B
будет
. Так как прямые линии (2) и (3) на рис. 5 опреде-
,
ляют наивысшую точку нижней огибающей, то следует принять:
,
(
). Далее, из формулы (22) следует, что
Отсюда получаем следующее оптимальное решение:
Проверка:
1.5.2. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОЙ (m 2)-ИГРЫ
Пусть теперь игрок B имеет две стратегии
стратегия определяется вектором
имеет m стратегий
, …,
. Тогда платежная матрица P имеет вид:
22
и
, а его смешанная
,
,
.
.
.
; а игрок A
21
2221
1211
......
mm
aa
aa
aa
P
.
)1,( qqy
B
),( yi
A
i
A
mi ,1
)1(),()(),(
21
qaqaqiHyPiyiH
iiA
T
A
mi ,1
),( yiH
A
qOv
),( yiHvA
B
),(maxmin
1
10
qiHv
A
mi
q
A
qOv
)1,(
qqy
q
A
vv
v
*
q
*
0
v
q
1
(3)
(1)
(2)
2
–1
v
*
q
*
0
v
q 1 1 4 3
(4)
Рис. 6а
Рис. 6б
B
Анализ такой игры во многом напоминает рассуждения, описанные
для игры (2 n).
Обозначим смешанную стратегию игрока B через
Выигрыш игрока
придерживается своей чистой стратегии
Графиками функций
линий, определяемых уравнениями
в ситуации
на плоскости
, т.е. когда игрок
(
), равен:
,
являются m прямых
. Если игрок
. (23)
придерживается своей минимаксной стратегии, то
Из (23а) следует, что на плоскости
. (23а)
нужно выделить верхнюю
огибающую семейства прямых, определяемых формулой (23), и найти на
ней нижнюю точку, которая определяет оптимальную смешанную
стратегию
игры
(ордината точки) (рис. 6а).
(абсцисса точки – это значение
) и цену
.
Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока A проводится
по той же схеме, которая позволяет найти оптимальную стратегию игрока
в игре (2 n). Рассмотрим пример.
23
Пример 5. Пусть задана платежная матрица
12
03
21
14
P
1v
2v
1
A
15)1(14 qqqv
2
A
qqqv 32)1(2
3
A
qqqv 3)1(03
4
A
qqqv 1)1(12
qOv
23
1
vq
vq
4/1
q
4/5
v
4/3,4/1
y
),,,(
4321
ppppx
01p
pp
2
03p
pp 1
4
p
)),2(,())1(,( xHxHv
AA
)1(2)1(2 pppp
4/1
p
4/5
v
4/3;0;4/1;0
x
P
i
A
l
A
.
Проанализируем игру на наличие седловой точки:
,
, т.е.
седловой точки нет. Решение будем искать в смешанных стратегиях.
Вычисляем средние выигрыши игрока B по формуле (23), когда
игрок A применяет одну из четырех своих чистых стратегий:
: (1)-я прямая:
: (2)-я прямая:
: (3)-я прямая:
: (4)-я прямая:
,
,
,
.
Далее наносим найденные прямые на координатную плоскость
(рис. 6б). Из рис. 6б видно, что нижняя точка верхней огибающей
(выделена жирной линией) является точкой пересечения прямых (2) и (4).
Решая систему
образом, оптимальной стратегией игрока B будет
, получим:
,
. Таким
.
Теперь найдем оптимальную стратегию игрока A. Так как нижняя
точка верхней огибающей лежит на пересечении 2-й и 4-й прямых, то
смешанная стратегия игрока A определяется так:
из уравнения:
смешанной стратегией игрока A будет
размеров матрицы платежей
матрицу P с целью сокращения ее размерности. При анализе платежной
матрицы сразу же можно выделить стратегии, являющиеся
дублирующими или заведомо невыгодными для сторон.
доминирует его чистую стратегию
,
Отсюда получим:
,
,
. Оптимальное значение
т.е.
,
. Таким образом, оптимальной
находим
.
.
1.6. ДОМИНИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ
[3, гл.1, § 3-6], [4, гл.1, § 8], [6, гл.5, § 4]
Сложность решения матричной игры возрастает с увеличением
. Поэтому следует проанализировать
Определение 1. Говорят, что чистая стратегия
(или i) игрока A
(или l), если
24
,
ljij
aa
nj ,1
i
A
l
A
j
B
k
B
ikij
aa
mi ,1
j
B
k
B
j
jlil
aa
nl ,1
ljli
aa
ml ,1
A
B
P
P
i
AA
vv
y
B
x
P
x
y
P
x
y
A
P
x
y
x
y
3342
6437
3651
6437
4425
P
,
. (24)
Если неравенство (24) выполняется строго, то в этом случае
стратегия
Определение 2. Говорят, что чистая стратегия
доминирует его чистую стратегию
строго доминирует стратегию
(или k), если
,
. (25)
.
(или j) игрока B
Если указанное неравенство выполняется строго, то в этом случае
стратегия
доминирует строго стратегию
.
Определение 3. Говорят, что в (m n)-игре i-я стратегия дублирует
-ю стратегию, если
, для
, или
, для
.
Все дублирующие стратегии, кроме одной из них, нужно удалять из
игры, и считать, что вероятности их выбора равны нулю.
Игроки
и
не должны использовать свои доминируемые
стратегии в игре. Это означает удаление из платежной матрицы P строк
и столбцов, соответствующих доминируемым стратегиям игроков, и
равенства нулю вероятностей выбора таких стратегий. Укажем здесь одну
из основных теорем.
Теорема. Пусть в (m n)-игре i-я строка (j-й столбец) матрицы P
доминируема (доминируем) и пусть
матрицы
вычеркиванием
-й строки (j-го столбца). Тогда
– матрица, получаемая из
справедливы следующие утверждения:
1.
2. Всякая оптимальная стратегия
стратегия
(цены обоих игр совпадают).
игрока A) в игре с матрицей
игрока
(оптимальная
является оптимальной и в
игре с матрицей P.
3. Если
игре с матрицей
(B) в игре с матрицей
добавлением на i-е (j-е) место в
(
) – оптимальная смешанная стратегия игрока A (B) в
, то оптимальная смешанная стратегия
(
получается из стратегии
(
) нуля.
Пример 6. Пусть матрица игры имеет вид:
) игрока
(
)
.
25
Сначала проанализируем игру на наличие седловой точки:
3}2,3,1,3,2max{ v
5}6,6,5,7min{ v
vv
2
A
4
A
2
A
1
A
jj
aa12
3,1j
P
P
3342
3651
6437
5
3
2
A
A
A
P
P
213
)3/2()3/1( aaa
i
a
kk
aa
...
11
i
0
i
ki ,1
1...
1
k
P
P
.
3651
6437
3
2
4321
A
A
P
BBBB
P
.
351
637
3
2
421
A
A
P
BBB
P
1
B
pppv 61)1(7
2
B
pppv 25)1(53
4
B
pppv 33)1(36
pOv
,
,
седловой
точки нет. Значит, ищем решение в смешанных стратегиях.
Стратегии
и
являются дублирующими, так как 2-я и 4-я
строки матрицы P совпадают. Следовательно, нужно удалить одну из
этих строк, например 4-ю. Далее, видно, стратегия
стратегию
вычеркнуть, что приводит к матрице
, т.к. для всех элементов второй и первой строки выполнено:
,
. Поэтому первую строку матрицы
:
доминирует
нужно
.
В матрице
комбинацией первой и второй строк вида:
третья строка доминируется выпуклой линейной
, поэтому
третью строку нужно отбросить.
Линейная комбинация строк
матрицы P вида
является выпуклой, если коэффициенты
удовлетворяют свойствам:
,
этой линейной комбинации
и
. Аналогично
для столбцов этой матрицы.
Итак, от матрицы
приходим к матрице
:
Видно, что третий столбец матрицы
строго доминируется вторым
столбцом, поэтому третий столбец нужно отбросить и перейти к
Проведем графическое решение игры
с матрицей
По формуле
(21) находим:
: (1)-я прямая:
,
: (2)-я прямая:
: (3)-я прямая:
,
.
Полученные три прямые отображены на координатной плоскости
на рис. 7. Далее, выделяем нижнюю огибающую данного семейства
26
прямых и находим аналитически координаты наивысшей точки. Из рис. 7,
pv
pv
25
,61
pp 2561
21p
2
1
,
2
1
)(IVx
)(V
x
V
P
0,
4
3
,
4
1
)(IVy
v
*
p
*
0
v
p
(3)
(1)
(2)
1
1
5 7 3
Рис. 7
0,0,
2
1
,
2
1
,0x
0,0,
4
3
,
4
1
y
4
v
),(
yx
)(jiqp
ji,
0v
nm
yx ,
видно, что эта точка является пересечением 1-й и 2-й прямых, поэтому
оптимальное значение p ищем из системы уравнений:
Отсюда получим:
.
.
, что совпадает с
. Используя
здесь только первую и вторую стратегии игрока B, получим такое же
решение, как и для матрицы
:
.
Таким образом, оптимальными стратегиями исходной игры будут
следующие (на места удаленных (доминируемых) стратегий добавлены
нули):
,
и цена игры
.
1.7. ВПОЛНЕ СМЕШАННЫЕ ИГРЫ
[2, гл.5, § 1], [3, гл.1, § 7], [4, гл.1, § 9]
Пусть все стратегии обоих игроков или хотя бы у одного из них
будут активными (существенными), и при этом ни одна из существенных
стратегий не является строго доминируемой. Такую ситуацию равновесия
в игре принято называть вполне смешанной (т.е. хотя бы у одного
из игроков все вероятности
ненулевые по
).
Теорема. Если матричная (m n)-игра является вполне смешанной и
цена игры
матрицу (
, то игра имеет единственное решение и квадратную
). При этом, оптимальные стратегии
и цена игры v
определяются по следующим формулам:
27
T
uuP
uP
x
11
T
T
T
uuP
uP
y
11
T
uuP
v
11
)1...,,1,1(
n
u
0v
PP
023
301
211
P
0}0,1,1max{ v
2}3,2,3min{ v
vv
1PP
134
410
320
P
1vv
1)(
P
100
010
001
134
410
320
001
010
100
320
410
134
021
010
100
500
410
134
05251
010
100
100
410
134
021
034
521
5
1
100
010
034
;
;
, (26)
где
.
Комментарий к теореме: если матрица P содержит отрицательные
элементы, то ее цена игры может оказаться равной нулю. Тогда, чтобы
использовать формулы (26), нужно изменить матрицу P, прибавив к ее
элементам любое положительное число , такое, чтобы все элементы
стали положительными. Этим мы гарантируем выполнение условия:
. В соответствии с леммой о масштабе, оптимальные стратегии для
игры с новой матрицей
будут такими же, как и в игре с
матрицей P.
Пример 7. Рассмотрим игру с матрицей вида
.
Убедимся, что здесь отсутствует седловая точка:
,
,
. Значит, будем
искать решение в смешанных стратегиях.
Так как не все элементы матрицы P положительны, перейдем к
новой матрице
, тогда
и
.
В этой матрице отсутствуют доминируемые строки и столбцы, и она
является квадратной, поэтому для поиска оптимальных стратегий
применим формулы (26). Для этого найдем обратную матрицу
применяя метод Гаусса (при помощи элементарных преобразований строк
исходную матрицу приводим к единичной, а единичная матрица теми же
преобразованиями приводится к обратной):
,
28
021
034
5711
5
1
100
010
004
021
034
4/54/74/11
5
1
100
010
001
021
034
4/54/74/11
5
1
)(1P
4
1
,
20
3
,
20
1
021
034
4/54/74/11
1,1,1
5
1
)(1Pu
20
9
1
1
1
4
1
,
20
3
,
20
1
)(
1
T
uPu
9
20
v
9
11
1
vv
9
5
,
3
1
,
9
1
)(
1
vPux
5/1
5/1
20/1
1
1
1
021
034
4/54/74/11
5
1
)(
1 T
uP
9
4
,
9
4
,
9
1
)(
1TT
vuPy
nmijaP
)(
0v
ij
a
P
0
ij
a
0
ij
a
ji,
0v
0
ij
a
Далее:
.
;
;
;
.
1.8. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР МЕТОДАМИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
[1, гл.9, § 5], [2, гл.5, § 1], [3, гл.1, § 8], [4, гл.1, § 6], [6, гл.1, § 5]
Рассмотрим матричную (m n)-игру с матрицей
полагать, что цена игры
если элементы
матрицы
. Это предположение всегда выполняется,
неотрицательны, т.е.
. Будем
. Если в
исходной матрице P есть отрицательные числа, всегда можно прибавить
такое максимальное положительное число, при котором
,
. При
этом цена игры также увеличится на это число (лемма о масштабе).
Итак, пусть
, что возможно, если все элементы
Посмотрим сначала на игру глазами игрока A.
Из свойства 2 оптимальных смешанных стратегий игроков следует,
что при оптимальном поведении игрока A (т.е. когда он выбирает свою
.
29
оптимальную стратегию
),...,(
1
m
ppx
j
B
nj ,1
vjxH
A
),(
vjPx
T
)(
nj ,1
,1vpa
m
i
iij
nj ,1
;11
mi
i
p
0
i
p
mi ,1
,11
mi
iij
xa
nj ,1
;
1
1
v
x
m
i
i
0
i
x
mi ,1
v
p
x
i
i
0
i
x
mi ,1
,11
mi
iij
xa
nj ,1
0
i
x
mi ,1
min
1
)(
1
v
xxF
m
i
i
),...,(
1
n
qqy
i
A
mi ,1
),(yiH
A
,1vqa
n
j
jij
mi ,1
;11
nj
j
q
0
j
q
nj ,1
v
q
y
j
j
,11
nj
jij
ya
mi ,1
;
1
1
v
y
n
j
j
0
j
y
nj ,1
B
0
j
y
nj ,1
) и любом поведении противника
(игрока B), например, когда он выбирает одну из своих чистых стратегий
,
, сумма выигрыша игрока A не меньше, чем цена игры v:
, т.е.
,
. (27)
Иными словами выполняются соотношения:
;
,
. (27а)
Из (27а) следует, что
где
. Так как игрок A стремится максимизировать свой выигрыш,
;
,
, (28)
то задача поиска оптимального решения для игрока A в матричной игре
сводится к решению следующей задачи: найти величины
,
удовлетворяющие системе ограничений
;
,
(29)
,
такие, что их сумма минимальна:
. (30)
Рассмотрим теперь игру глазами игрока B. Если игрок B использует
свою оптимальную стратегию
чистых стратегий
,
, то средний выигрыш
, а игрок A – одну из своих
в игре будет
не больше, чем цена игры, т.е. выполняются соотношения
которые с учетом замены
;
,
, (31)
переходят в
;
,
. (32)
Так как игрок B стремится минимизировать свой проигрыш v, то задача
поиска оптимального решения для игрока
сводится к решению
следующей задачи: найти величины
,
, удовлетворяющие
системе ограничений
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]