Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методические указания и контрольные задания по дисциплине Теория игр
.pdf
антагонистическими играми, так как интересы игроков здесь прямо
ГГА ,
1
РРА ,
2
Р,1ГB
ГРB ,
2
11
11
P
i
А
j
B
А
ij
nja1
min
ij
nj
mi
av
1
1
minmax
v
А
j
B
ij
mia1
max
ij
mi
nj
av
1
1
maxmin
противоположны.
Ценой (значением) игры называется средний выигрыш игрока А.
Пример 1 (игра в орлянку). Играют два игрока. Каждый игрок держит в
кулаке свою монету, затем игроки одновременно разжимают пальцы.
Если монеты повернуты одинаковой стороной (герб или решка), то
первый игрок (А) выигрывает 1 руб., если же монеты повернуты разными
сторонами, то тогда второй игрок (B) выигрывает 1 рубль.
Итак, в этой игре у обоих игроков есть по две стратегии. У игрока А:
,
, у игрока B:
,
. Так как
выигрыши нам известны, то платежная матрица P выигрышей игрока А
будет иметь следующий вид:
.
Если эту игру повторять много раз, то можно говорить о среднем
выигрыше игрока А в данной игре. Ниже будет дано решение этой игры.
1.2. СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ В МАТРИЧНОЙ ИГРЕ
[1, гл.9, § 2], [2, гл.5, § 1], [3, гл.1, § 3], [4, гл.1, § 2-3], [5, гл.1, § 1],
[6, гл.5, § 2], [7, гл.8, § 26].
Рассмотрим в целом логику матричной игры глазами двух игроков.
Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш.
Логика игры глазами игрока А: если я выберу свою стратегию
, то
игрок B (будучи не очень глупым) ответит на нее такой стратегий
для которой мой выигрыш будет минимальным (т.е. игрок B стремится
минимизировать свой возможный проигрыш и навредить игроку
).
,
Отсюда следует, что игрок А при любой своей стратегии получит
Тогда среди всех таких чисел игрок А выберет максимально возможное,
т.е.
. Величина
называется нижней ценой игры
(максимином) и является гарантированным выигрышем игрока
Принцип выбора игроком А стратегии, основанной на максимизации
минимального выигрыша, называется принципом минимакса, а
соответствующая стратегия – максиминной стратегий игрока А.
Для игрока B можно провести аналогичные рассуждения. Пусть он
выбрал стратегию
, тогда в худшем случае он проиграет
Поэтому игрок B всегда может себе гарантировать проигрыш, равный
. Величина v называется верхней ценой игры (минимаксом)
11
.
.
.
и является гарантированным проигрышем игрока B.
v
v
vАвыигрышvv )(
vv
1v
1v
vv
),(
ji
BA
),(
ji
BA
),(
ji
BA
),(ji
jiij
aa
jiji
aa
njmi ,1;,1
i
j
),(ji
vv
20024
46455
320135
P
4}4,4,5max{ v
4}4,20,4,5,5min{ v
vv
),(
32
BA
),(
52
BA
4 vvv
Сделаем вывод. В матричной игре выигрыш v игрока A всегда
больше или равен максимину v, а выигрыш игрока B (т.е. величина
всегда больше или равен
. Тогда
. (1)
)
Лемма. В любой матричной игре максимин всегда меньше или равен
минимакса, т.е.
Так, в примере 1,
. (2)
, а
, т.е.
.
Рассмотрим вопрос об оптимальном поведении игроков в
антагонистической игре. Естественно считать оптимальной в игре такую
ситуацию
игроков. Такая ситуация
, от которой не выгодно отклоняться ни одному из
называется равновесной, а принцип
оптимальности, построенный на равновесной ситуации, – принципом
равновесия.
Ситуация
или, в других обозначениях, –
в
матричной (mn)-игре называется равновесной (седловой точкой), если
,
для любых
. Номера
и
обозначают оптимальные стратегии игроков A и B.
Теорема. Если в матричной игре существует седловая точка
, то
говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях. В этом случае
(максимин равен минимаксу). (3)
Вообще, матричная игра может и не иметь седловых точек, либо
иметь, по крайней мере, одну из них.
Так, в примере 1, седловой точки нет. В этом случае говорят, что
игра не имеет решения в чистых стратегиях. Рассмотрим другой пример.
Пример 2. Пусть имеется платежная матрица P. Найти все седловые
точки в этой игре:
.
Здесь
,
, т.е.
. Таким
образом, в данной игре есть две седловые точки:
цена игры
.
и
, а
12
1.3. СМЕШАННОЕ РАСШИРЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ
vv
vv
)( nm
m
)...,,,(
21 m
pppx
m
i
i
p11
0
i
p
mi ,1
B
n
)...,,,(
21 n
qqqy
n
j
j
q11
0
j
q
nj ,1
i
p
j
q
B
i
А
j
B
1
i
p
i
А
)()0...,,1,...,0( ix
i
),( yx
ji
BА ,
)...,,,(
21 m
ppp
)...,,,(
21 n
qqq
ji
qp
[1, гл.9, § 3], [2, гл.5, § 1.2], [3, гл.1, § 4], [4, гл.1, § 4-5],
[5, гл.1, §2], [6, гл.5, § 3-4], [7, гл.8, § 26].
Если в матричной игре не существует ситуации равновесия (т.е.
), то применение игроками A и B своих чистых максиминных и
минимаксных стратегий не дает оптимального решения игры, так как они
могут получить и больший выигрыш. Однако сообщение о выборе
стратегии противнику может привести к еще большим потерям, чем в
случае максиминной или минимаксной стратегии.
Оказывается, что компромиссного распределения разности
между игроками и уверенного получения игроками своего выигрыша
можно достичь путем случайного применения ими своих чистых
стратегий. В этом случае обеспечивается наибольшая скрытность выбора
стратегии (результат выбора не может быть известен противнику,
поскольку до реализации случайного механизма он не известен самому
игроку).
Определение. Случайная величина, значениями которой являются
стратегии игрока, называется его смешанной стратегией.
Так, в матричной
является
мерная случайная величина
Аналогично, смешанная стратегия игрока
случайная величина
игре смешанной стратегией игрока A
, у которой
,
,
. (4)
есть
мерная
, у которой
,
,
. (5)
В (4)-(5) величины
своих стратегий
выбрал свою «чистую» стратегию
и
,
– это вероятности выбора игроками A и
. Если
, то это означает, что игрок A
, тогда
Аналогичные рассуждения можно провести и для игрока B.
Пара
смешанных стратегий игроков в игре называется
ситуацией в смешанных стратегиях.
В условиях смешанных стратегий ситуация
(в чистых
стратегиях) является случайным событием и ввиду независимости
наборов вероятностей
появления равна
. В такой ситуации игрок A получает выигрыш,
13
и
вероятность его
.
равный
jiij
qpa
A
),( yx
)( nm
),( yxH
A
min
j
jiijA
qpayxH
1 1
),(
nmnm
n
m
T
AA
q
q
aa
aa
ppyxPyxH ...
...
.........
...
...),(
1
1
111
1
),( yxH
A
),(yx
)( nm
),(
yxHv
AA
),(),(),( yxHyxHyxH
AAA
),(
yx
),(maxmin),(),(minmax yxHyxHyxHv
A
y
x
AA
y
x
A
),,...(
1
m
ppx
),,...(
1
n
qqy
),(
yxHv
A
x
i
А
mi ,1
i
p
),(
1
yiHqav
A
n
j
jij
y
A
j
B
nj ,1
j
q
. Тогда выигрыш v игрока
в ситуации
в
смешанных стратегиях для матричной
как математическое ожидание
игры можно определить
(среднее значение) его
выигрыша:
. (6)
В векторно-матричной форме записи формула (6) примет вид:
при этом функция
Определение. Ситуация
матричной
игре, а число
является непрерывной по x и y.
является ситуацией равновесия в
– ценой игры, если при
любых x и y:
Ситуацию равновесия
, удовлетворяющую соотношению (8),
, (7)
. (8)
принято называть оптимальной ситуацией в смешанных стратегиях.
Приведенное условие оптимальности (8) означает, что
. (9)
Теорема (Дж. фон Нейман). В любой матричной игре существует
хотя бы одна ситуация равновесия в смешанных стратегиях.
Основные свойства оптимальных смешанных стратегий
1. Пусть
стратегии игроков A и B, и
Оптимальная смешанная стратегия
из тех стратегий
вероятности
, для которых выполнены равенства:
и
– оптимальные смешанные
– цена игры.
игрока A смешивается только
, т.е. отличными от нуля будут только те
. (10)
Аналогично для игрока B: оптимальная смешанная стратегия
игрока
отличными от нуля будут только те вероятности
смешивается только из тех стратегий
14
, т.е.
, для которых
выполнены равенства:
),(
1
jxHpav
A
m
i
iij
),( yxH
A
i
А
j
B
).,(max),(maxmin
),(minmax),(min
*
11
11
yiHyiH
jxHjxHv
A
mi
A
mi
y
A
nj
x
A
nj
),(yx
)( nm
),(
yxHv
A
),(),(),( jxHyxHyiH
AAA
mi ,1, nj ,1
),(yx
)( nm
),(min),(max jxHyiH
A
j
A
i
P
jiij
aa
ji
x
xy
0v
)...,,,(
21
m
pppx
)...,,,(
21
n
qqqy
mi ,1
vyiH
A
),(
0
i
p
nj ,1
),( jxHv
A
0
j
q
0
i
p
vyayPiyiH
T
i
T
A
)()()(),(
i
a
0
j
q
vaxjPxjxH
jT
A
)(),(
j
a
В формулах (10)-(11) знак i в аргументе функции
что игрок A выбрал свою чистую стратегию
означает, что игрок B выбрал свою чистую стратегию
. (11)
означает,
, и, соответственно, j
.
Кроме того, выполняются соотношения:
2. Для того чтобы ситуация
матричной
игре и число
была ситуацией равновесия в
. (12)
– ценой игры,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:
3. Для того чтобы ситуация
матричной
игре, необходимо и достаточно выполнения
, для любых
была ситуацией равновесия в
. (13)
следующего равенства (см. равенство (12)):
. (14)
4. В матричной игре множества оптимальных смешанных стратегий
игроков A и B являются выпуклыми многогранниками [4, гл.1, § 5].
5. Пусть платежная матрица
кососимметрической, т.е.
матричной игры является
для
. Тогда, если
–
оптимальная смешанная стратегия игрока A, то такую же оптимальную
стратегию имеет и игрок B:
6. Пусть
стратегии игроков A и B. Тогда для любого i (
, имеет место равенство
такого, что
Обратно, если
, имеет место равенство
, то
, при этом цена игры
и
, а для любого j (
, (12б)
.
– оптимальные
), при котором
.
)
где
где
– i-я строка матрицы P. А если
, то
, (12в)
– j-й столбец матрицы P. (12б) и (12в) совпадают со свойством
двух оптимальных смешанных стратегий двух игроков.
15
Чистая стратегия (i) (
mi ,1
nj ,1
B
)...,,,(
21
m
pppx
)...,,,(
21
n
qqqy
0
i
p
0
j
q
22
22
2221
1211
aa
aa
P
vv
)1,(,
21
ppppx
10 p
0p
2
A
1p
1
A
B
)1,( ppx
).2,()1(
),1,()1(
2212
2111
xHpapav
xHpapav
A
A
21122211
2122
1
aaaa
aa
pp
21122211
1211
2
aaaa
aa
p
21122211
21121122
aaaa
aaaa
v
)1,(,
21
qqqqy
10 q
).,2()1(
),,1()1(
2221
1211
yHqaqav
yHqaqav
A
A
) игрока A (или (j) (
) игрока
) называется существенной или активной стратегией, если существует
оптимальная стратегия
этого игрока, для которой
(
).
(или
)
На этих свойствах основаны методы решения матричных игр.
1.4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ
[1, гл.9, § 3-4], [2, гл.5, § 5.1], [3, гл.1, § 5], [6, гл.5, § 3-4]
Рассмотрим матричную игру размера
, которая является
простейшим случаем конечной игры. Тогда платежная матрица P игры
имеет вид:
.
Пусть игра не имеет решения в чистых стратегиях, т.е.
. Для
поиска решения в смешанных стратегиях применим аналитический
способ решения.
Пусть
,
– смешанная стратегия
игрока A (если
стратегию
; если
чистую стратегию
, то это означает, что игрок A выбрал свою чистую
, то это означает, что игрок A выбрал свою
, что в данном случае недопустимо). Таким образом,
обе стратегии игрока A являются активными. Тогда из свойств 1, 6 и
равенства (12в) следует, что какую бы чистую стратегию не выбрал игрок
, если
– оптимальная стратегия игрока A, то цена игры v
не изменится и будет определяться из следующих равенств:
(15)
Отсюда получим следующее решение:
,
,
Аналогичные рассуждения можно провести и для игрока B: если
,
– оптимальная смешанная стратегия
игрока B, то из свойств 1, 6 и равенства (12б) следует, что
.
(16)
16
Отсюда имеем:
21122211
1222
1
aaaa
aa
qq
21122211
2111
2
aaaa
aa
q
,1)1(
,)1(1
21
21
ppv
ppv
121 pp
)1()1(
1111
pppp
1212
11
pp
211p
212p
2/1;2/1
x
0v
,1)1(
,)1(1
21
21
qqv
qqv
121 qq
211q
212q
0v
22
xOy
Ox
21
AA
1
A
0x
1
A
),(
21
ppx
2
A
1
p
1
A
1
A
2
p
2
A
1
A
2
A
1
B
11
a
21
a
1
A
2
A
1
B
22
BB
2
B
A
1
v
x
*
B
2 M
1
A2 B
2
2
p
1
p
B1 B
1
a
22
I
II
y
x
I 0 II
a
21
a
11
a
12
Рис. 1
,
. (16а)
Так, решение игры из примера 1 будет иметь следующий вид:
.
Таким образом, оптимальной смешанной стратегией игрока A будет
, а цена игры
.
Решение для игрока B:
и
,
.
Значит, игрокам A и B при многократном проведении игры следует
применять обе свои стратегии в пропорции 1:1.
Приведем геометрическое решение игры
Рассмотрим плоскость
единичный отрезок
: точка
(рис. 1). Отложим по оси абсцисс
(
) изображает стратегию
.
, а
все промежуточные точки этого отрезка – смешанные стратегии
игрока A, причем расстояние от x до правого конца
вероятность
вероятность
II откладываются выигрыши при стратегиях
выберет стратегию
I-I и II-II, соответствующие стратегиям
осях I-I и II-II буквой
соответствующий применению игроком B его стратегии
выбора стратегии
выбора стратегии
, то она даст игроку A выигрыши
. Аналогично, строим отрезок
, а расстояние до левого конца
. На перпендикулярных осях I-I и II-
и
. Если игрок B
и
и
. Обозначим эти точки на
.
– это
–
на осях
,
17
В соответствии с принципом максимина оптимальная стратегия
x
B
21
MBB
MB
1
1
B
2
MB
2
B
M
22
13
52
P
2}1,2max{ v
3}5,3min{ v
B
2
v
x
*
x
1
I
y
I
A
1
1
A
2
2
p
1
p
0
II
II
B
1
3
M
B
1
2 B
2
5
Рис. 2
11
BB
22
BB
11
BB
23
2
01
0
yx
2 xy
22
BB
41
5
01
0
yx
53 xy
M
11
BB
22
BB
такова, что минимальный выигрыш игрока A (при наихудшем поведении
игрока
) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на
выделенной ломаной
, на рис. 1 показывают минимальный
выигрыш игрока A при использовании им любой смешанной стратегии
(участок
). Оптимальную стратегию определяет точка
– против стратегии
, участок
– против стратегии
, в которой
минимальный выигрыш достигает максимума, а ее ордината равна цене
игры v. Рис. 1 описывает геометрическое решение матричной игры
для игрока A, но аналогичный рисунок можно составить и для игрока B.
Пример 3. Решим геометрически матричную игру с платежной
матрицей
.
Найдем сначала максимин v и минимакс v:
. Итак, решение нужно искать в смешанных стратегиях.
,
На рис. 2 приведено геометрическое решение примера 3. Используя
рис. 2, вычислим точку пересечения прямых
прямой
Уравнение прямой
Тогда координаты точки
, проходящей через точки (0; 2) и (1; 3):
.
, проходящей через точки (0; 5) и (1; 1):
.
пересечения прямых
и
. Уравнение
и
определяются из системы:
18
53,2xy
xy
532 xx
5
3
x
5
13
y
5/32xp
5/21
21
pp
5/13 yv
N
v y
*
0
I
y
I
2
q
1
q
A1 A
2
для игрока B
x
B
2
II
II
A
1
a
12 = 5
A2 a
22 = 1
a
11
= 2
a
21
= 3
1
A
2
A
1
B
2
B
21
MBB
21
NAA
21
NAA
2
q
),(
21
qqy
11
AA
22
AA
11
AA
25
2
01
0
yx
23 xy
22
AA
31
3
01
0
yx
32 xy
32
,23xyxy
3223 xx
5/1x
5/13y
5/12xq
5/41
21
pq
5/13 yv
5
13
25
3361016
5
1
5
3
1
5
4
5
3
3
5
1
5
2
5
5
4
5
2
2),(
yxHv
A
.
Отсюда:
,
, цена игры
Рис. 3
Аналогичным способом можно определить оптимальную стратегию
игрока B, если оси
вместо максимума нижней границы
и
на рис. 1 заменить на оси
(рис. 1) в соответствии с
и
принципом минимакса рассмотреть минимум верхней границы
.
. Тогда
(рис. 3). Абсцисса точки N на ломаной
оптимальной стратегии
игрока B, а ордината этой точки –
определяет значение
в
цену игры v.
Координаты точки N найдем из системы уравнений, определяющих
уравнения прямых
Уравнение прямой
Уравнение прямой
и
.
, проходящей через точки (0; 2) и (1; 5):
.
, проходящей через точки (0; 3) и (1; 1):
.
Отсюда имеем систему:
Тогда
,
, цена игры
.
.
Сделаем проверку полученного решения, используя формулу (6):
19
.
Таким образом, решение найдено и оптимальные смешанные
;5/3;5/2
x
5/1;5/4
y
P
x
y
nm
PP
0
P
vv
n
n
aaa
aaa
P
22221
11211
...
...
)1,(
ppx
)1(minmax)1(min
21
1
10
21
1
papapapav
jj
nj
p
jj
nj
),()1,(
21
ppppx
A
стратегии игроков A и B следующие:
.
Отметим, что графический способ решения годится и в том случае,
если игра имеет решение в чистых стратегиях (подробнее см. [1 гл.9, § 4]).
Укажем еще одно свойство матричных игр, которое бывает полезно,
если нужно, чтобы платежная матрица содержала только положительные
числа. Для этого нужно ко всем элементам матрицы
добавить
подходящее положительное число. Ответ на вопрос о том, как при этом
изменится решение игры с новой матрицей, дает следующая лемма.
Лемма (о масштабе, аффинное правило). Пусть
и
–
оптимальные стратегии двух игроков, а v – цена игры в матричной
игре с платежной матрицей P, причем
где и – некоторые числа,
платежной матрицей
оптимальные стратегии будут такими же, как и в
, (17)
. Тогда в матричной игре с
матричной игре с платежной матрицей P, а цена игры
. (18)
Лемма о масштабе показывает стратегическую эквивалентность двух
игр, отличающихся только началом отсчета выигрышей и масштабом их
измерения.
1.5. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР
[2, гл.5, § 1.3], [3, гл.1, § 6], [4, гл.1, § 6-7], [5, гл.1, § 4], [6, гл.5, § 6]
Рассмотрим матричные игры, число стратегий в которых у одного из
-
игроков равно двум. В этом случае, как и для матричной (22)-игры,
решение можно получить геометрически.
В этом случае платежная матрица P игры имеет вид:
Согласно свойствам 1-3 оптимальных стратегий нахождение цены
игры v и оптимальной стратегии
разрешению уравнения (см. (11)-(12)):
где
. Введем обозначение:
1.5.1. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОЙ (2n)-ИГРЫ
. (19)
игрока A равносильно
– произвольная смешанная стратегия игрока
20
, (20)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]