Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс прикладной механики. Учебное пособие
.pdf
перемещение тела, называются связями. Каждая связь ограничивает
одну степень свободы тела в точке ее приложения и изображается на
расчетной схеме в виде силы (реакции связи). В дальнейшем силы, не
являющиеся реакциями связей, будем называть активными силами.
а б
Рис. 11
Таким образом, действующие на тело силы подразделяются на активные и реакции связей.
На рис. 12, а показаны реакции связей тела, опирающегося на идеальную (силы трения отсутствуют) гладкую поверхность, а на рис. 12, б –
реакция связи в виде гибкой нерастяжимой нити.
а б
Рис. 12
В большинстве случаев связи накладываются на тело в его опорах – это специальные устройства, связывающие тело с фундаментом
или другими телами. Конструкции опор могут быть какими угодно, но
на расчетных схемах следует изображать только стандартные опоры.
В таблице показаны стандартные опоры и их реакции в пространственном и плоском случаях.
Очевидно, что для полного закрепления пространственного тела на
него требуется наложить минимум шесть связей, а плоского тела –
11
Название
опоры
Схематическое
изображение
Реакции в простран-
ственном случае
Реакции
в плоском
случае
Защемление
(заделка)
Шарнир
неподвижный
Шарнир
подвижный
(каток)
Скользящая
заделка
Рис. 13
X, Y, Z, M
, MY, MZ X, Y, MZ
X
X, Y, Z X, Y
Y Y
Y, Z, M
Y, MZ
Z
F
2
минимум три связи. Это необходимое, но недостаточное условие закрепления тела. Как показано на рис. 13, на плоское тело в форме бруса наложено три связи, но эти связи – однотипные и они не ограничивают возможности горизонтального перемещения тела.
1.7. УПОРЯДОЧЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ,
ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТЕЛО.
ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР, ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ
Если на тело действует несколько сил и моментов, то все эти силовые факторы можно перенести в одну точку (точку приведения). При
переносе силы добавляется момент этой силы относительно точки
приведения. Все эти приведенные силы и моменты можно векторно
сложить, и тем самым мы докажем общую теорему статики абсо-
12
лютно твердого тела: произвольную совокупность сил, действующую
М
на тело, можно заменить одной силой (главным вектором
V ), прило-
женной в произвольно выбранной точке, и одним моментом (главным
моментом
).
Эта теорема иллюстрируется рис. 14.
а б
в г
Рис. 14
Пусть на тело действует n сил и k моментов, точка А – точка приведения (рис. 14, а). На рис. 14, б показаны все силы, приведенные к точке А. На рис 14, в показаны все моменты и моменты всех сил, приведенных к точке А. На рис. 14, г все эти силы и моменты векторно сложены:
n
VF
ММ М
– главный вектор,
i
i
1
kn
kFi
ki
11
– главный момент.
(1.2)
13
1.8. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В ВЕКТОРНОЙ
М
М
И АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМАХ
Если тело находится в равновесии, т. е. наложенные на него связи
ограничивают все степени свободы, то уравнения равновесия в векторной форме очевидны и имеют вид
0,
V
M
(1.3)
0.
Следует заметить, что и в главный вектор
входят все активные силы и все реакции связей. Если расписать V
в соответствии с (1.2) и спроецировать их на оси координат, то
и
можно получить уравнения равновесия в алгебраической форме:
VFR
xixix
VFR
yiyiy
VFR
Уравнения (1.4) относятся к пространственному телу. Если же тело – плоское (в этом случае предполагается, что и все силы, действующие на тело, находятся в его плоскости – пусть это будет плоскость
xy), то очевидно, что остается три уравнения равновесия:
Заметим, что уравнения равновесия можно использовать как для
отдельного тела, так и для системы связанных между собой тел (механической системы), в которой положение каждого тела зависит от положения остальных тел.
ziziz
MmFmRM
xxi xi ix
MmFmRM
yyi yi iy
MmFmRM
zzi zi iz
VFR
xixix
VFR
yiyiy
MmFmRM
zzi zi iz
() () 0,
() () 0,
() () 0.
() () 0.
0,
0,
0,
0,
0,
V и в главный момент
(1.4)
(1.5)
14
1.9. РАСЧЕТ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ. ТЕЛА (СИСТЕМЫ),
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ
И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ
Опорные реакции рассчитываются из уравнений равновесия. Если
тело закреплено минимально необходимым числом связей (пространственное – шестью, а плоское – тремя), то уравнений равновесия хватает для расчета реакций связей. Такие тела (системы) являются ста-
тически определимыми. Если же тело перезакреплено, т. е. число его
связей превышает минимально необходимое, то из одних уравнений
равновесия опорные реакции рассчитать невозможно. Такие тела являются статически неопределимыми. В этом случае для расчета опорных реакций необходимы дополнительные уравнения, которые можно
получить методами механики деформируемого твердого тела.
Пример
Тело закреплено и статически определимо. Составляем уравнения
равновесия:
XX
22
mFYl Y
ABB
YY FY Y
lF
33
AB A
0;
B
0;
0.
F
3
Y
B
X
B
B
Y
A
2l/3
F
l/3
1.10. УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ
1.10.1. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ
Трение скольжения возникает при стремлении двигать одно тело по
поверхности другого. Эта сила
()F препятствует относительному
тр
скольжению и действует по поверхности скольжения.
Три закона трения скольжения
Первый закон
0.FF (1.6)
тр тр max
15
x
Сила трения
F
F
F
всегда направлена в сторону, противоположную
тр
возможному относительному движению.
Второй закон
тр max
fN , (1.7)
где N – сила нормального давления между взаимодействующими телами; f – коэффициент трения скольжения.
Третий закон
f = const. (1.8)
Экспериментально установлено, что f не зависит от силы N, от величины поверхности скольжения, а зависит от материала и шероховатости (чистоты обработки) соприкасающихся поверхностей.
Пример
Пример
G
G
N
Найти силу трения.
N = G.
0F , так как нет сдвигающей силы.
тр
Имеется сдвигающая сила Т (рис. а).
N = G;
Уравнение равновесия:
Если сдвигающая сила
F = fN = fG.
тр max
тр
TF , то
тр max
0.XTF
T и тело неподвижно.
тр
а б
16
Если
F
F
Х
M
,TF то тело трогается с места и может двигаться рав-
тр max
номерно и прямолинейно. Если
лении силы Т с ускорением.
Зависимость
от Т показана на графике рис. б.
тр
Пример
Известно: f, G, .
Найти Т, чтобы сдвинуть тело.
Решение
Уравнения равновесия:
cos 0,
XT F
YNGT
TF – тело движется в направ-
тр max
F
тр
тр max
sin 0.
y
G
N
(a)
T
x
Из второго уравнения (а)
ние в (1.7):
Tf
куда
тр max
fG
cos sin
(sin)FfNfGT в первое уравнение (а), от-
.
1.10.2. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ
Подставляем это выраже-
sin .NGT
При качении колеса по поверхности какого-нибудь тела контакт
колеса с этим телом происходит не в точке (линии) вследствие деформации тела, а по пятну, в результате чего реакция N оказывается смещенной на величину k (рис. 15) в сторону движения колеса.
Т – сила, стремящаяся катить колесо. Она создает вращающий момент
вр
При качении без скольжения возникает сила трения
.МTR
, которая
тр
определяется из уравнения равновесия
Т FFТ
Реакция N создает момент сопротивления качению
k.
нии
0.
тр тр
17
на смеще-
k
Три закона трения качения
M
F
М
R
R
f
1. При качении колеса возникает момент сопротивления качению:
2.
0.
MM (1.9)
kk
max
k
max
.
kN (1.10)
3. k = const. (1.11)
k – коэффициент трения качения, величина постоянная для данных поверхностей, не зависящая от радиуса катка.
R
T
k
G
N
Рис. 15
x
ТRM kN откуда
вр max
k
,
тр
Колесо начинает катиться, когда
движущая сила
k
ТТ N
движ
.
(1.12)
Коэффициент трения качения k имеет размерность длины. Обычно
это достаточно малая величина. Например, при качении стального колеса по стальному рельсу k = 0,0005 м.
k
Отношение
для большинства материалов значительно меньше
коэффициента трения скольжения
f
R
поэтому в технике, ко-
,
k
гда это возможно, стремятся трение скольжения заменить трением качения (колеса, подшипники и т. д.)
18
2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
2.1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА
СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Как было сказано во введении, вопросами прочности в инженерном
деле занимается
разделилась на несколько направлений. Чтобы понять, какое место в
этой науке занимает
теорией упругости.
Отметим еще раз, что все науки, призванные изучать реальные
объекты, на самом деле занимаются их расчетными схемами, в которых накладываются ограничения на форму тела, нагрузку, внешние
условия и т. д.
Теория упругости – наиболее общая наука о прочности, в которой
учитываются практически все свойства объекта, влияющие на прочность, и накладывается только одно ограничение: деформации тела
должны быть упругими, т. е. после снятия нагрузки его размеры и
форма должны полностью восстанавливаться. Но в результате математическая модель в теории упругости получается очень сложной, не
имеющей, как правило, аналитического решения, и даже численными
методами ее трудно решить с достаточной точностью. Теория упругости позволяет точно описать математически задачу, но для ее практического решения нужно что-то упростить, наложить какие-то ограничения. Без этого теория упругости будет чисто описательной наукой.
Проведя максимальное количество упрощений, мы получим сопротивление материалов – инженерную науку о прочности.
Сопротивление материалов – наука о прочности, а точнее – это
раздел механики деформируемого твердого тела, рассматривающий
методы расчета на прочность и жесткость типовых элементов конструкций при условии их долговечности и экономичности.
механика деформируемого твердого тела, которая
сопротивление материалов, сопоставим его с
19
Задачей курса сопротивления материалов является разработка до-
статочно простых инженерных приемов расчета типовых деталей. При
решении задачи накладывается максимально возможное количество
ограничений и допущений на форму тела, свойства материала, нагрузку и т. д. В результате расчетные формулы получаются простыми и
удобными для практических инженерных расчетов.
2.2. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ
Оказывается, что все задачи сопротивления материалов можно в
принципе решить по одному алгоритму, схема которого изображена на
рис. 16.
Составление расчетной схемы расчет опорных реакций
расчет внутренних сил
рассмотрение условия прочности
расчет напряжений
Рис. 16
Рассмотрим ступени этого алгоритма.
2.2.1. СОСТАВЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ
При составлении расчетной схемы выполняются схематизация детали, схематизация опор и схематизация нагрузки.
Схематизация детали. При всем разнообразии конструктивных
элементов их можно свести к сравнительно небольшому числу основных форм, а именно к четырем.
1. Форма бруса (рис. 17).
Рис. 17
Брус – это тело, у которого длина существенно (в 10 и более раз)
превышает характерный размер поперечного сечения. Ось бруса может
иметь любую форму. Брус может быть плоским или пространственным.
Брус – основное тело, рассматриваемое в сопротивлении материалов.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]