Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Курс лекций
.pdf
Задача 2.3. Решить задачу Дирихле в прямоугольнике для экранирован-
ного уравнения Пуассона:
∆𝑢−4𝑢=0, −1<𝑥<1, −1<𝑦<1,
а).
𝑢(−1,𝑦)=𝑢(1,𝑦)=sinh(1−𝑦)sinh(1+𝑦),
𝑢(𝑥,−1)=𝑢(𝑥,1)=sinh(𝑥+1)sinh(𝑥−1).
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=sinh(𝑥+𝑦)sinh(𝑥−𝑦
.
)
б). На прямоугольный пружинный матрас кладут тонкое тяжелое кольцо
массой𝑀. Пружины матраса распределены равномерно и имеют жесткость
𝑘. Построить поверхность матраса, считать, что края матраса закреплены.
Задача 2.4. Решить задачу Неймана для уравнения Пуассона:
∆𝑢=−6, −1<𝑥<1, −1<𝑦<1,
а).
𝑢𝑥(−1,𝑦)=−12, 𝑢𝑥(1,𝑦)=4,
𝑢𝑦(𝑥,−1)=14, 𝑢𝑦(𝑥,1)=−14.
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=(1−2𝑥
2
)
−7𝑦
2
.
б). По трубе с сечением𝑆течет несжимаемая жидкость. Жидкость поступает в трубу слева через отверстие с сечением
и вытекает справа через два отверстия с сечениями
𝑣
. Построить векторное поле скорости жидкости в трубе.
2
𝑆1=0,5𝑆
𝑆2=0,05𝑆
со скоростью
со скоростью
𝑣
1
Задача 2.5. Найти решение уравнения Пуассона с граничными условиями
Дирихле по оси 𝑥и периодическими условиями по оси 𝑦:
∆𝑢=4−29sin(5𝑥+2𝑦), −1<𝑥<1, 0<𝑦<π,
а).
𝑢(−1,𝑦)=2+sin(2𝑦−5), 𝑢(1,𝑦)=2+sin(2𝑦+5),
𝑢(𝑥,𝑦+π)=𝑢(𝑥,𝑦).
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=2𝑥2+sin(5𝑥+2𝑦
.
)
б). Меж ду обкладками бесконечного конденсатора (моделируется периодическими граничными условиями) помещены два заряда —
Построить линии напряженности электростатического поля.
Задача 2.6. Решить задачу Неймана для экранированного уравнения
Пуассона в прямоугольнике:
2
, −1<𝑥<1, −1<𝑦<1,
а).
∆𝑢−4𝑢=121−2𝑥
𝑢𝑥(−1,𝑦)=2cosh2−12, 𝑢𝑥(1,𝑦)=2cosh2+12,
𝑢𝑦(𝑥,−1)=2sinh2, 𝑢𝑦(𝑥,1)=−2sinh2.
𝑞
и
𝑞
1
.
2
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=6𝑥2+sinh2𝑥−cosh2𝑦.
81
б). В прямоугольную камеру через точечное отверстие с постоянной
скоростью поступает газ, который содержит радиоактивный изотоп с коэффициентом распадаβ. Через некоторое время в камере устанавливается
стационарное распределение изотопа. Построить его концентрацию.
Задача 2.7. Найти решение уравнения Пуассона в прямоугольной периодически замкнутой области:
∆𝑢=−25sin(3𝑥+4𝑦)−32cos4𝑦, 0<𝑥<2π,0<𝑦<π,
а).
𝑢(𝑥+2π,𝑦)=𝑢(𝑥,𝑦), 𝑢(𝑥,𝑦+π)=𝑢(𝑥,𝑦).
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=sin(3𝑥+4𝑦)+2cos4𝑦.
б). В узлах квадратной решетки расположены в шахматном порядке
положительно и отрицательно заряженные ионы. Ионы имеют одинаковый
по модулю заряд, т.е. решетка является электронейтральной. Построить эквипотенциальные линии электростатического поля, которое создает решетка.
Задача 2.8. Найти решение уравнения Пуассона с условиями Дирихле и
Неймана на границах:
а).
∆𝑢=6−724(1−2𝑥
θ
𝑥,𝑦)=tanh3(1−2𝑥
(
2
+(1−3𝑦)
)
2
−(1−3𝑦
)
𝑢(0,𝑦)=𝑢(1,𝑦)=tanh3−(1−3𝑦
𝑢𝑦(𝑥,0)=61−tanh
𝑢𝑦(𝑥,1)=−121−tanh
2
3(1−2𝑥
2
3(1−2𝑥
2
−1,
)
2
θ
𝑥,𝑦
(
2
,0<𝑥<1,0<𝑦<1,
)
2
,
)
2
−4.
)
)
1−θ
2
(
𝑥,𝑦
,
)
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=θ(𝑥,𝑦).
б). На подвешенный гамак кладут тяжелое тонкое кольцо массой𝑀.
Построить поверхность гамака. Предполагается, что два противоположных
края гамака зафиксированы, а другие два свободны.
Задача 2.9. Найти решение экранированного уравнения Пуассона в
квадратной периодически замкнутой области:
∆𝑢−𝑢=−𝑓(𝑥,𝑦), 0<𝑥<π, 0<𝑦<π,
а).
𝑢(𝑥+π,𝑦)=𝑢(𝑥,𝑦), 𝑢(𝑥,𝑦+π)=𝑢(𝑥,𝑦);
𝑓(𝑥,𝑦)=sin2𝑥𝑒
−cos2𝑦
2cos2𝑦−1
(
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=sin2𝑥𝑒
2
.
)
−cos2𝑦
.
б). В узлах квадратной решетки расположены в шахматном порядке положительно и отрицательно заряженные ионы. Положительные ионы имеют
82
заряд
𝑞
, отрицательные —
1
𝑞
. Предполагаем, что решетка создает элек-
2
тростатическое поле, которое удовлетворяет экранированному уравнению
Пуассона. Построить эквипотенциальные линии поля.
Задача 2.10. Найти решение уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле в прямоугольнике:
∆𝑢=−𝑓(𝑥,𝑦), 0<𝑥<2, 0<𝑦<1,
а).
𝑢(0,𝑦)=sin5𝑦, 𝑢(2,𝑦)=−sin5𝑦,
𝑢(𝑥,0)=0, 𝑢(𝑥,1)=sin(5)cos
π𝑥
2
2
;
𝑓(𝑥,𝑦)=sin5𝑦
25+π2𝑥
2
cos
π𝑥
2
2
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=sin5𝑦⋅cos
+π sin
2
π𝑥
.
π𝑥
2
2
.
2
б). Эластичный тент натянут на четыре параболических опоры,
=𝑥(3−𝑥
, расположенных по сторонам квадрата 3×3 м. Построить по-
)
верхность получившегося шатра.
Задача 2.11. Найти решение уравнения Пуассона с граничными услови-
ями Неймана по оси 𝑥и периодическими условиями вдоль оси 𝑦:
−5𝑥
, 0<𝑥<1, 0<𝑦<π,
4
sin4𝑦,
5
𝑒
а).
∆𝑢=(9𝑥−10)sin4𝑦𝑒
𝑢𝑥(0,𝑦)=sin4𝑦, 𝑢𝑥(1,𝑦)=−
𝑢(𝑥,𝑦+π)=𝑢(𝑥,𝑦).
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=𝑥𝑒
−5𝑥
sin4𝑦.
𝑓(𝑥)=
б). Бесконечная металлическая пластина имеет множество прямых
параллельных прорезей, расположенных с периодом𝐿, ширина прорезей
равна
α𝐿
. Рядом на расстоянии
𝐻
расположена точно такая же пластина.
Смоделировать движение несжимаемой жидкости через такую систему из
двух решеток. Построить векторное поле скорости.
Задача 2.12. Решить задачу Дирихле для экранированного уравнения
Пуассона в прямоугольнике:
∆𝑢−4𝑢=0, −1<𝑥<1, −1<𝑦<1,
а).
𝑢(−1,𝑦)=𝑢(1,𝑦)=sinh(𝑦+1)sinh(𝑦−1),
𝑢(𝑥,−1)=𝑢(𝑦,1)=sinh(1−𝑥)sinh(1+𝑥).
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=sinh(𝑥+𝑦)sinh(𝑦−𝑥
.
)
83
б). Прямоугольную камеру заполняют газом, который содержит радиоактивный изотоп с коэффициентом распадаβ. Газ поступает в камеру
через 12 форсунок, расположенных по окружности. Мощность всех форсунок одинакова и постоянна. Концентрация изотопа на границе камеры
поддерживается равной нулю. Построить распределение изотопа в камере,
которое установится спустя некоторое время.
Задача 2.13. Решить задачу Неймана для уравнения Пуассона:
∆𝑢=−6, −1<𝑥<1, −1<𝑦<1,
а).
𝑢𝑥(−1,𝑦)=14, 𝑢𝑥(1,𝑦)=−14,
𝑢𝑦(𝑥,−1)=−12, 𝑢𝑦(𝑥,1)=4.
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=−7𝑥2+(1−2𝑦
б). Прямоугольная камера размером
[0,𝑙𝑥]×[0,𝑙𝑦]
2
.
)
заполнена несжимаемой жидкостью. Жидкость втекает с постоянной скоростью через левую
границу камеры
𝑥∈[𝑥1,𝑙𝑥]
и вытекает с постоянной скоростью через ниж-
нюю границу 𝑦∈[𝑦1,𝑙𝑦]. Построить поле скорости жидкости.
Задача 2.14. Найти решение уравнения Пуассона с граничными услови-
ями Дирихле по оси 𝑦и периодическими условиями по оси 𝑥:
∆𝑢=4−29sin(2𝑥+5𝑦), 0<𝑥<π, −1<𝑦<1,
а).
𝑢(𝑥+π,𝑦)=𝑢(𝑥,𝑦),
𝑢(𝑥,−1)=2+sin(2𝑥−5), 𝑢(𝑥,1)=2+sin(2𝑥+5).
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=sin(2𝑥+5𝑦)+2𝑦
б). Имеется бесконечная пластина толщиной𝐻, т.е.
2
.
𝑦∈[0,𝐻]
. В пластине случайным образом расположено большое количество точечных источников тепла с постоянной мощностью. Для охлаждения пластину помещают
в теплоемкую среду, которая охлаждает поверхность пластины до температуры
𝑇
. Построить стационарное распределение тепла в пластине. Задача
0
моделируется с периодическими граничными условиями по оси 𝑥.
Задача 2.15. Решить задачу Неймана для экранированного уравнения
Пуассона в прямоугольнике:
2
, −1<𝑥<1, −1<𝑦<1,
а).
∆𝑢−4𝑢=121−2𝑦
𝑢𝑥(−1,𝑦)=2sinh2, 𝑢𝑥(1,𝑦)=−2sinh2,
𝑢𝑦(𝑥,−1)=2cosh2−12, 𝑢𝑦(𝑥,1)=2cosh2+12.
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=−cosh2𝑥+sinh2𝑦+6𝑦
2
.
84
б). На прямоугольный пружинный матрас кладут тонкое тяжелое кольцо
массой𝑀. Пружины матраса распределены равномерно и имеют жесткость
𝑘. Построить поверхность матраса.
Задача 2.16. Найти решение уравнения Пуассона в периодически за-
мкнутой прямоугольной области:
∆𝑢=−32cos4𝑥−25sin(4𝑥+3𝑦), 0<𝑥<π,0<𝑦<2π,
а).
𝑢(𝑥+π,𝑦)=𝑢(𝑥,𝑦), 𝑢(𝑥,𝑦+2π)=𝑢(𝑥,𝑦).
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=2cos4𝑥+sin(4𝑥+3𝑦
.
)
б). В узлах квадратной решетки расположены в шахматном порядке
положительно и отрицательно заряженные ионы. Ионы имеют одинаковый
по модулю заряд, т.е. решетка является электронейтральной. Построить
линии напряженности поля, которое создает решетка.
Задача 2.17. Найти решение уравнения Пуассона с условиями Дирихле
и Неймана на границах:
а).
∆𝑢=6−72(1−3𝑥)2+4(1−2𝑦
θ
𝑥,𝑦)=tanh3(1−2𝑦
(
𝑢𝑥(0,𝑦)=61−tanh
𝑢𝑥(1,𝑦)=−121−tanh
2
)
2
3(1−2𝑦
2
−(1−3𝑥
)
3(1−2𝑦
𝑢(𝑥,0)=𝑢(𝑥,1)=tanh3−(1−3𝑥
2
)
)
2
−1,
2
)
θ
𝑥,𝑦
(
2
, 0<𝑥<1,0<𝑦<1,
−4,
2
.
)
)
1−θ
2
(
𝑥,𝑦
,
)
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=θ(𝑥,𝑦).
б). Имеется прямоугольный блок. Левую и правую поверхности блока
нагревают постоянным тепловым потоком𝑞. Верхняя и нижняя поверхности
блока поддерживаются при температурах
𝑇
и
𝑇
1
. Построить стационарное
2
распределение температуры в блоке.
Задача 2.18. Найти решение экранированного уравнения Пуассона в
квадратной периодически замкнутой области:
∆𝑢−𝑢=−𝑓(𝑥,𝑦), 0<𝑥<π, 0<𝑦<π,
а).
𝑢(𝑥+π,𝑦)=𝑢(𝑥,𝑦), 𝑢(𝑥,𝑦+π)=𝑢(𝑥,𝑦);
𝑓(𝑥,𝑦)=𝑒
−cos2𝑥
sin2𝑦(2cos2𝑥−1
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=𝑒
−cos2𝑥
2
.
)
sin2𝑦.
б). В узлах квадратной решетки расположены в шахматном порядке
положительно и отрицательно заряженные ионы c зарядами
𝑞
и
𝑞
1
. Предпо-
2
85
лагаем, что решетка создает электростатическое поле, которое удовлетворяет экранированному уравнению Пуассона. Построить линии напряженности
поля.
86
П.3. Параболические уравнения
В постановках для уравнения Шрёдингера встречается понятие волнового
пакета. Волновой пакет — совокупность волн с разными частотами, которые
описывают обладающую волновыми свойствами формацию, в общем случае
ограниченную во времени и пространстве.
Пустьα— угол, под которым распространяется волновой пакет, единичный вектор
волновое число как
как𝒓радиус-вектор, а как
плотности вероятности в начальный момент времени. Амплитуду волнового
пакета в начальный момент времени будем описывать функцией 𝑎(𝑟;ε).
В качестве амплитуды
куполообразную функцию, которая имеет максимум в нуле и обращается в
нуль при значениях 𝑟ε, к примеру:
где η(𝑥)— функция Хевисайда.
𝒏=(cosα,sinα
𝒌=𝑘⋅𝒏
𝑎(𝑟;ε)=η(ε −𝑟
— направление распространения. Обозначим
)
, где𝑘— модуль волнового числа. Обозначим
𝒓
— точку, на которую приходится максимум
0
𝑎(𝑟;ε)
можно выбрать произвольную гладкую
π𝑟
3
)
⋅cos
, 𝑟∈ℝ, (П.3.1)
2ε
Локализованный волновой пакет:
𝑖(𝒌,𝒓
ψ(𝒓)=𝑎(𝒓−𝒓0;ε)⋅𝑒
)
. (П.3.2)
Плоский волновой пакет:
𝑖(𝒌,𝒓
ψ(𝒓)=𝑎((𝒓−𝒓0,𝒏);ε
)
)
. (П.3.3)
Волновой пакет, вообще говоря, состоит из суммы множества плоских
волн с различными волновыми числами. При движении волновой пакет
неизбежно будет распадаться, поскольку слагаемые с разными волновыми
числами имеют различные энергии и скорости распространения. Волновое
2
число свободной частицы связано с ее энергией по формуле
𝐸=
ℏ2𝑘
. Эта
2𝑚
формула позволяет сделать оценки высоты потенциального барьера, который
сможет преодолеть волновой пакет.
Задача 3.1. Прямоугольная область разделена посередине потенциальным барьером с потенциалом
𝑈
, смоделировать прохождение локализо-
0
ванного волнового пакета (П.3.2) через потенциальный барьер.
Задача 3.2. Имеется бесконечная (периодическое замыкание вдоль𝑥)
металлическая пластина
𝑟0=0,2𝐻
имеет теплоемкость𝑐в несколько раз выше окружающей. Верх-
0<𝑦<𝐻
. Круглая область в центре пластины
няя граница пластины теплоизолирована, а нижнюю границу нагревают
точечным тепловым потоком𝑞в точке
𝑥
. Смоделировать распространение
0
тепла.
87
Задача 3.3. Прямоугольную камеру заполняют газом, который содержит
радиоактивный изотоп с коэффициентом распадаβ. Газ поступает в камеру
через 12 форсунок, расположенных по окружности. Мощность всех форсунок
одинакова и постоянна. Концентрация изотопа на границе камеры поддерживается равной нулю. Построить распределение концентрации изотопа в
камере в различные моменты времени, если в начальный момент времени
концентрация равна нулю.
Задача 3.4. Прямоугольная комната обогревается системой «теплый пол».
Предполагаем, что стены комнаты хорошо теплоизолированы, а теплый пол
равномерно прогревает комнату по всей площади. Когда средняя температура в комнате достигает отметки
𝑇
, хозяин открывает форточку для
max
проветривания. С освежающим зимним воздухом тепло из комнаты уходит
с постоянным потоком тепла𝑞. Когда средняя температура в комнате опускается до
𝑇
, хозяин закрывает форточку. Рассчитать распределение тепла
min
в комнате при таком режиме проветривания, если начальная температура
равна 𝑇
min
.
Задача 3.5. В прямоугольной периодически замкнутой (по оси𝑦) области
расположен круглый потенциальный барьер
вать прохождение плоского волнового пакета
𝑈(𝑟)=𝑈
(П.3.3)
через барьер, волновой
η
0
𝑟0−𝑟
(
. Смоделиро-
)
пакет движется вдоль оси 𝑥.
Задача 3.6. Прямоугольную камеру заполняют газом, который содержит
радиоактивный изотоп с коэффициентом распадаβ. Газ поступает в камеру
через 12 форсунок, расположенных по три штуки на каждой границе камеры.
Мощность всех форсунок одинакова и постоянна. Построить распределение
концентрации изотопа в камере в различные моменты времени, если в
начальный момент времени концентрация изотопа равна нулю.
Задача 3.7. Локализованный волновой пакет
(П.3.2)
распространяется
под углом в периодически замкнутой квадратной области.
Задача 3.8. Имеется прямоугольный блок
материал блока имеет теплоемкость
ний слой
𝑥<𝐻
обладает высокой теплоемкостью
𝑐
, в то время как небольшой внутрен-
0
𝑥<𝑙
,
0<𝑦<𝑙
𝑥
𝑐1≫𝑐
. Основной
𝑦
. Плотность
0
материала блокаρи теплопроводностьκпостоянны. Слева и справа от
блока отводят тепло, поэтому температура на боковых поверхностях равна нулю. Нижнюю поверхность блока подогревают постоянным тепловым
потоком, а верхняя поверхность блока теплоизолирована. Смоделировать
распространение тепла в блоке.
Задача 3.9. Имеется бесконечная (периодическое замыкание) композитная пластина (рис. П.3.1). Основной материал пластины (матрица) имеет
теплоемкость 𝑐
ших гранул имеет очень высокую теплоемкость
, дополнительный материал (наполнитель) в форме неболь-
0
𝑐1≫𝑐
. Плотностьρи
0
теплопроводностьκдвух материалов совпадают. Начальная температура
88
пластины однородна и равна
𝑇
. Затем пластина охлаждается при контакте
0
со средой с нулевой температурой, теплообмен со средой происходит по
закону Ньютона. Смоделировать процесс охлаждения пластины.
Задача 3.10. Численно смоделировать рассеяние локализованного волнового пакета (П.3.2) на клиновидном потенциальном барьере. Пример по-
тенциального барьера, клин с вершиной в точке (𝑥0,𝑦0):
𝑈(𝑥,𝑦)=𝑈
0
η
𝑥−𝑥
(
3(𝑥0−𝑥)+(𝑦0−𝑦)).
)η(
0
Задача 3.11. Имеется бесконечная (периодическое замыкание вдоль𝑦) композитная пластина
(см. рис. П.3.1). Основной материал пластины (матрица) имеет теплоемкость
𝑐
, дополнительный матери-
0
ал (наполнитель) в форме небольших гранул имеет
очень высокую теплоемкость
𝑐1≫𝑐
. Плотностьρи
0
теплопроводностьκдвух материалов совпадают. Левая граница пластины теплоизолирована, а правую
границу пластины нагревают постоянным тепловым
потоком, равномерно распределенным по границе.
Рис. П.3.1. Композит
Смоделировать распространение тепла в пластине.
Задача 3.12. Прямоугольную камеру заполняют газом, который содержит
радиоактивный изотоп с коэффициентом распадаβ. Газ поступает в камеру
с постоянной скоростью через форсунку, которая перемещается по камере
по траектории:
𝑥(𝑡)=16𝑎sin3𝑡, 𝑦(𝑡)=𝑎(13cos𝑡−5cos2𝑡−2cos3𝑡−cos4𝑡).
На границах камеры поддерживается нулевая концентрация изотопа. Построить распределение концентрации изотопа в камере в различные моменты
времени. В начальный момент времени концентрация изотопа равна нулю.
Задача 3.13. Прямоугольная комната обогревается печкой с постоянной
мощностью𝑄, которая расположена в центре комнаты. Система «умный дом»
связывает работу обогревателя с показаниями термометра на стене комнаты.
Обогреватель включается, когда температура на термометре опускается до
значения
𝑇
и снова выключается при достижении температуры
min
𝑇
max
. Теплопотери в комнате вызваны двумя «холодными» стенами, которые являются
внешними стенами дома, они и обеспечивают постоянный отток тепла
𝑞
из комнаты. Рассчитать распределение тепла в комнате при таком режиме
работы обогревателя, если начальная температура в комнате равна 𝑇
min
.
Задача 3.14. В прямоугольной периодически замкнутой (по оси𝑥) об-
ласти расположен потенциальный барьер с щелью
Смоделировать прохождение плоского волнового пакета
𝑈(𝑥)=𝑈
(П.3.3)
η
𝑥−ε
(
0
)
через щель,
волновой пакет движется вдоль оси 𝑦.
.
89
Задача 3.15. Прямоугольную камеру заполняют газом, который содержит
радиоактивный изотоп с коэффициентом распадаβ. Газ поступает в камеру
с постоянной скоростью через форсунку, которая перемещается по камере
по траектории:
𝑥(𝑡)=
𝑎cosω𝑡
, 𝑦(𝑡)=
1+sin2ω𝑡
𝑎sinω𝑡cosω𝑡
.
1+sin2ω𝑡
Границы камеры изолированы. Построить распределение концентрации
изотопа в камере в различные моменты времени, если в начальный момент
времени концентрация изотопа равна нулю.
Задача 3.16. В центре квадратной периодически замкнутой области
расположен гладкий куполообразный потенциальный барьер. Смоделировать рассеяние плоского волнового пакета
(П.3.3)
на данном потенциале. В
качестве потенциала можно выбрать знакомую функцию (П.3.1):
𝑈(𝑥,𝑦)=𝑈0⋅𝑎(𝑥2+𝑦2;ε).
Задача 3.17. Имеется квадратный блок
материал блока имеет теплоемкость
тре
𝑟<𝑟
обладает высокой теплоемкостью
0
𝑐
, в то время как круглая область в цен-
0
𝑥<𝐻,𝑦<𝐻
𝑐1≫𝑐
. Плотность материала
0
. Основной
блокаρи теплопроводностьκпостоянны. Левая и правая границы блока
теплоизолированы, верхняя поверхность поддерживается при нулевой температуре. Нижняя поверхность блока нагревается по линейному закону до
некоторого предельного значения
𝑇
, т.е.
0
𝑇𝐵(𝑡)=min(α𝑡,𝑇
. Смоделиро-
)
0
вать распространение тепла в блоке, если начальная температура равна
нулю.
Задача 3.18. Имеется бесконечная (периодическое замыкание) компо-
зитная пластина (см. рис. П.3.1). Основной материал пластины (матрица)
имеет теплоемкость
небольших гранул имеет очень высокую теплоемкость
ρ
и теплопроводностьκдвух материалов совпадают. Пластина по всей по-
𝑐
, дополнительный материал (наполнитель) в форме
0
𝑐1≫𝑐
. Плотность
0
верхности контактирует со средой, теплообмен с которой происходит по
закону Ньютона. В начальный момент времени пластина и среда находятся в
равновесии при нулевой температуре, затем среда начинает нагреваться по
линейному закону
𝑇(𝑡)=α𝑡
. Смоделировать процесс нагревания пластины.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]