Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Курс лекций
.pdf
Пусть для произвольного начального приближения метод Рэлея сходится
к собственному значению
ной функции
𝑋
(1)
𝑘
или
получена линейная комбинация этих функций
(2)
𝑋
можно путем симметризации:
𝑘
λ𝑘. Метод не гарантирует сходимости к конкрет-
(2)
𝑋
. В результате итераций, вероятнее всего, будет
𝑘
𝑋𝑘(𝑥)
. Восстановить
𝑋
(1)
𝑘
и
(1)
𝑋
(𝑥)∼
𝑘
Задача 1.5. В точке
<𝑙
) находится полупроницаемый барьер с коэффициентом проницаемости
α =50∕𝑙
. Определить уровни энергии и волновые функции стационарных
𝑋𝑘(𝑥)−𝑋𝑘(−𝑥)
2
𝑥=0
бесконечно глубокой потенциальной ямы (
, 𝑋
(2)
𝑘
(𝑥)∼
𝑋𝑘(𝑥)+𝑋𝑘(−𝑥)
.
2
состояний частицы в таком поле (Горюнов A.Ф. [11], задача 2.63).
−
2
𝑑
+αδ(𝑥)ψ =𝐸ψ(𝑥), −𝑙<𝑥<𝑙,
2
𝑑𝑥
ψ(−𝑙)=ψ(𝑙)=0.
Решение задачи распадается на две серии:
2
µ
𝑘
, µ𝑘— корни µ ctgµ =−
𝑙
2
π𝑛
, 𝑛∈ℕ.
𝑙
α𝑙
2
ψ
(𝑥)=sin
𝑘
ψ
(𝑥)=sin
𝑛
λ
𝑙−𝑥), 𝐸𝑘=
(
𝑘
λ
𝑥, 𝐸𝑛=
𝑛
𝑥<
,
Собственные значения из двух серий чередуются, начиная с 𝐸
𝑘=1
.
Задача 1.6. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной
яме
0<𝑥<𝑙
. В части ямы
𝑥>𝑙∕3
потенциал равен
𝑈0=900∕𝑙
первые уровни энергии частицы, которые превышают значения
2
. Определить
𝑈
. Найти
0
соответствующие волновые функции стационарных состояний частицы.
−
2
𝑑
+𝑈0η(3𝑥−𝑙)ψ =𝐸ψ(𝑥), 0<𝑥<𝑙,
2
𝑑𝑥
ψ(0)=ψ(𝑙)=0.
Решение задачи для 𝐸>𝑈
2
𝑘
, ψ𝑘(𝑥)=
𝐸𝑘=
3µ
𝑙
:
0
2𝐸𝑘−𝑈0𝑙
sin
𝐸𝑘𝑙
sin
3
3
sin
sin𝐸𝑘𝑥, 𝑥<
𝐸𝑘−𝑈
(
0
𝑙−𝑥
)
, 𝑥
𝑙
,
3
𝑙
,
3
71
где
µ𝑘— корни уравненияµ
𝑙𝑈
𝑝=
ных корней µ
3
0
=10
. Последнее уравнение имеет бесконечное число положитель-
>𝑝, что эквивалентно условию 𝐸𝑘>𝑈
𝑘
2
−𝑝2tgµ +µ tg2
µ
2
0
−𝑝
.
2
=0
, параметр
Задача 1.7. Частица находится в потенциальной яме с потенциалом
𝑈=+∞
при
𝑥<0
и постоянным потенциалом
𝑈0=400∕𝑙
2
при
𝑥>𝑙
. Найти
уровни энергии связанных состояний частицы и соответствующие волновые
функции (Горюнов A.Ф. [11], задача 2.64).
2
𝑑
−
+𝑈0η(𝑥−𝑙)ψ =𝐸ψ(𝑥), 0<𝑥,
2
𝑑𝑥
ψ(0)=0, lim
𝑥→∞
ψ(𝑥)=0.
В связанном состоянии находятся частицы, которые нельзя обнаружить
на бесконечности, в данной задаче это частицы с энергиями
говоря, для произвольного потенциала
есть. Численное моделирование провести в области
𝑈
не очевидно, что такие состояния
0
𝑥∈[0,2𝑙]
𝐸<𝑈
с заданием
. Вообще
0
нулевого условия на правой границе.
Точное решение задачи:
−𝑈0−𝐸𝑘𝑙
𝑒
sin
−𝑈0−𝐸𝑘𝑥
𝑘
sin𝐸𝑘𝑥, 𝑥<𝑙,
𝐸𝑘=
2
µ
𝑘
, ψ𝑘(𝑥)=
𝑙
µ
где
µ𝑘— корни
на константыµимеет конечное число корней до
условию связанного состояния 𝐸<𝑈
Задача 1.8. В неглубокой потенциальной яме (
частица. Потенциал вне ямы равен
sinµ =±
такие, что
µ
0
tgµ <0
.
0
,
µ
𝑈0=400∕𝑙
=𝑙𝑈0=20
0
µ <µ
, что эквивалентно
0
−𝑙<𝑥<𝑙
2
. Найти уровни энергии
. Уравнение
) находится
связанных состояний частицы и соответствующие волновые функции. Задачу
решать в ограниченной области
[−2𝑙,2𝑙]
с заданием нулевых граничных
условий (Горюнов A.Ф. [11], задача 2.65).
2
−
𝑑𝑥
lim
𝑥→±∞
𝑑
+𝑈
2
ψ(𝑥)=0.
η
0
𝑥−𝑙
(
ψ =𝐸ψ(𝑥), 𝑥∈ℝ,
)
72
В решении чередуются квантовые состояния с четными —
−𝑈0−𝐸𝑘𝑙
𝑒
cos
cos𝐸𝑘𝑥, 𝑥<𝑙,
𝐸𝑘𝑙𝑒
−𝑈0−𝐸𝑘𝑥
, 𝑥𝑙,
𝐸𝑘=
2
µ
𝑘
, ψ𝑘(𝑥)=
𝑙
где
µ𝑘— корни
cosµ =±
µ
такие, что
µ
0
tgµ >0
,
µ
=𝑙𝑈0=20
0
, и нечетными
волновыми функциями:
−𝑈0−𝐸𝑘𝑙
𝑒
sin
sin𝐸𝑘𝑥, 𝑥<𝑙,
𝐸𝑘𝑙𝑒
−𝑈0−𝐸
𝑥
𝑘
sgn(𝑥), 𝑥𝑙,
𝐸𝑘=
2
µ
𝑘
, ψ𝑘(𝑥)=
𝑙
где µ
— корни sinµ =±
𝑘
µ
такие, что tgµ <0, µ0=𝑙𝑈0=20.
µ
0
Задача 1.9. Найти волновые функции и уровни энергии стационарных
состояний частицы в треугольной потенциальной яме
𝑈(𝑥>0)=α3𝑥
α >0— характеристика наклона.
2
𝑑
−
+α3𝑥ψ =𝐸ψ(𝑥), 0<𝑥,
2
𝑑𝑥
ψ(0)=0, lim
𝑥→∞
ψ(𝑥)=0.
, где
Задачу следует моделировать в ограниченной области
нулевого условия на правой границе. Использовать
𝑥∈[0,𝑙]
𝑙≫1∕α
с заданием
, к примеру
𝑙=15∕α . Точное решение:
ψ
(𝑥)=Ai(α𝑥−µ
𝑘
, 𝐸𝑘=α
)
𝑘
2
µ
, µ𝑘— корни Ai(−µ)=0,
𝑘
где Ai — функция Эйри.
Задача 1.10. Найти волновые функции и уровни энергии стационарных
состояний частицы внутри параболической потенциальной ямы (гармониче-
ский осциллятор). Потенциал 𝑈(𝑥)=ω2𝑥
2
𝑑
−
lim
𝑥→∞
+𝑈(𝑥)ψ =λψ(𝑥), 𝑥∈ℝ,
2
𝑑𝑥
ψ(𝑥)=0.
Задачу следует моделировать в ограниченной области
нулевых условий на границах. Использовать
2
.
𝑥∈[−𝑙,𝑙]
𝑙≫1∕ω
с заданием
, к примеру
𝑙=8∕ω
.
73
Точное решение:
𝐻
ω𝑥, 𝐸𝑘=(2𝑘+1)ω,
𝑘
где 𝐻
ψ
(𝑥)=exp−
𝑘
— полиномы Эрмита.
𝑘
ω𝑥
2
2
Задача 1.11. В центре круговой потенциальной ямы
потенциал
𝑈(𝑟)=4∕𝑟
2
. Определить уровни энергии и волновые функции
стационарных состояний частицы в таком поле.
1𝑟𝑑
−
ψ(𝑟0)=0, lim
𝑑𝑟
𝑑
𝑟
+𝑈(𝑟)ψ(𝑟)=λψ(𝑟), 0<𝑟<𝑟0,
𝑑𝑟
𝑟ψ′(𝑟)=0.
𝑟→0
Решения выражаются через функции Бесселя:
2
µ
, µ𝑘— корни 𝐽2(µ)=0.
𝑟
0
ψ
𝑘
(𝑟)=𝐽
µ
𝑟
𝑘
2
𝑟
0
, 𝐸𝑘=
(𝑟<𝑟0)
задан
Задача 1.12. Найти волновые функции и уровни энергии стационарных
состояний частицы в бесконечно глубокой сферической потенциальной яме
(𝑟<𝑟
Решение:
).
0
𝑑
𝑑𝑟
sin
𝑑ψ
2
𝑟
=−𝐸ψ(𝑟), 0<𝑟<𝑟0,
𝑑𝑟
𝑟ψ′(𝑟)=0.
𝑟→0
𝑟
λ
𝑟
𝑘
, 𝐸𝑘=
π𝑘
𝑟
2
, 𝑘∈ℕ.
0
ψ
1
2
𝑟
ψ(𝑟0)=0, lim
(𝑟)=
𝑘
Задача 1.13. Найти волновые функции и уровни энергий электрона в
атоме водорода без учета углового момента. Рассмотреть модель атома с
кулоновским потенциалом 𝑈(𝑟)=−2∕(𝑎0𝑟), где 𝑎
1
𝑑
𝑑
𝑑𝑟
2
𝑟
𝑑𝑟
−
2
𝑟
ψ(𝑟0)=0, lim
−
2
ψ =𝐸ψ(𝑟), 0<𝑟,
𝑎0𝑟
𝑟ψ′(𝑟)=0.
𝑟→0
— боровский радиус:
0
Моделирование проводить в ограниченной области
нулевых условий на границе. Использовать
𝑟0≫𝑎
, для получения первых
0
энергетических уровней достаточно выбрать 𝑟0=100𝑎
74
𝑟<𝑟
.
0
, с заданием
0
Точное решение:
U(x) = U0tanh2(ax)
E
1
E
2
E
3
E
4
E
5
E
6
ψ
где
1
𝐿
— обобщенные полиномы Лагерра. Построить графики плотности
𝑘
вероятности
(𝑟)=exp
𝑘
9
𝑝(𝑟)=ψ(𝑟)2𝑟
𝑟
𝑎0𝑘
2𝑟
1
𝐿
𝑘
2
для самых низких уровней энергии. Какое по-
, 𝐸𝑘=−
𝑎0𝑘
1
(𝑎𝑘)
, 𝑘∈ℕ,
2
ложение является наиболее вероятным для электрона в основном состоянии?
Задача 1.14. Найти волновые функции и уровни энергии связанных состояний частицы в потенциале Пёшль – Теллера:
2
−
lim
𝑥→∞
𝑑𝑥
𝑑
+𝑈(𝑥)ψ =𝐸ψ(𝑥), 𝑥∈ℝ,
2
ψ(𝑥)=0.
𝑈(𝑥)=𝑈0tanh
2
(𝑎𝑥)
, ко-
Использовать потенциал
торый на константу отличается от оригинального. Задачу следует моделировать в ограниченной
области
правой границе. Использовать
ру
𝑙=6∕𝑎
существует
потенциальной яме:
ψ
(𝑥)=𝑃
𝑘
𝑥 <𝑙
. Если потенциал
𝑘
(
𝑚
с заданием нулевого условия на
𝑈0=𝑚(𝑚+1)𝑎
𝑚
связанных состояний
𝑙≫1∕𝑎
, к приме-
2
, то
(𝐸<𝑈0)
tanh(𝑎𝑥)), 𝐸𝑘=𝑈0−(𝑎𝑘)2, 𝑘=1,𝑚.
в
Рис. П.1.1. Решение
задачи 1.14
Здесь
𝑘
𝑃
— присоединенные функции Лежандра.
𝑚
Собственные значения нумеруются, начиная с высоких энергий.
На рис. П.1.1 показан потенциал Пешль – Теллера и волновые функции
связанных состояний частицы в таком потенциале. Волновые функции
графике смещены на соответствующие уровни энергии 𝐸
Задача 1.15. Полиномы Лежандра встречаются при решении задач ма-
.
𝑘
ψ𝑘на
тематической физики в сферических координатах. Найти численно первые
полиномы Лежандра как решение задачи на собственные функции:
𝑑
𝑑𝑥
lim
𝑥→±1
1−𝑥
2
1−𝑥
𝑑𝑢
=−λ𝑢(𝑥), −1<𝑥<1,
𝑑𝑥
2
𝑢′(𝑥)=0.
75
Решение задачи через полиномы Лежандра 𝑃𝑘(𝑥):
𝑢𝑘(𝑥)=𝑃𝑘(𝑥), λ𝑘=𝑘(𝑘+1), 𝑘∈ℕ0.
Задача 1.16. Присоединенные функции Лежандра встречаются при решении задач математической физики в сферических координатах. В частности,
через них вводятся сферические функции. Присоединенные функции Лежандра являются ограниченными решениями задачи на собственные функции:
𝑑
𝑑𝑥
lim
𝑥→±1
1−𝑥
2
1−𝑥
𝑑𝑢
−
𝑑𝑥
2
𝑢′(𝑥)=0.
Приближенно найти присоединенные функции Лежандра
2
𝑚
1−𝑥
𝑢=−λ𝑢(𝑥), −1<𝑥<1,
2
𝑚
𝑃
𝑛
для
𝑚=1
как
решение задачи на собственные функции и собственные значения.
𝑢𝑛(𝑥)=𝑃
𝑚
(𝑥), λ𝑛=𝑛(𝑛+1), 𝑛∈ℕ, 𝑛𝑚.
𝑛
Задача 1.17. Струна длиной𝑙зафиксирована с двух концов. Определить
моды колебаний струны, которые соответствуют самым низким собственным
частотам.
𝑋′′=−λ𝑋, 0<𝑥<𝑙,
𝑋(0)=𝑋(𝑙)=0.
Решение:
𝑋𝑘(𝑥)=sin
λ
𝑥, λ𝑘=
𝑘
π𝑘
𝑙
2
, 𝑘∈ℕ.
Задача 1.18. Концы струны длиной𝑙могут свободно смещаться в пер-
пендикулярном направлении. Определить моды колебаний струны, которые
соответствуют самым низким собственным частотам.
𝑋′′=−λ𝑋, 0<𝑥<𝑙,
𝑋′(0)=𝑋′(𝑙)=0.
Решение:
𝑋𝑘(𝑥)=cos
λ
𝑥, λ𝑘=
𝑘
π𝑘
𝑙
2
, 𝑘∈ℕ0.
Задача 1.19. Левый конец струны зафиксирован, а правый может свободно смещаться в перпендикулярном направлении. Определить моды колебаний струны, которые соответствуют самым низким собственным частотам.
𝑋′′=−λ𝑋, 0<𝑥<𝑙,
𝑋(0)=0, 𝑋′(𝑙)=0.
76
Решение:
2
)
, 𝑘∈ℕ0.
𝑋𝑘(𝑥)=sin
λ
𝑥, λ𝑘=
𝑘
π
2𝑘+1
(
2𝑙
Задача 1.20. Левый конец струны зафиксирован, а правый — закреплен
через пружину. Определить моды колебаний струны, соответствующие самым
низким собственным частотам.
𝑋′′=−λ𝑋, 0<𝑥<𝑙,
𝑋(0)=0, 3𝑋(𝑙)+𝑙𝑋′(𝑙)=0.
Решение:
𝑋𝑘(𝑥)=sin
λ
𝑥, λ𝑘=
𝑘
Задача 1.21. Круглая мембрана радиусом
2
µ
𝑘
, µ𝑘— корни µ +3tgµ =0.
𝑙
𝑟
закреплена по краю. Опре-
0
делить моды колебаний мембраны, которые соответствуют самым низким
собственным частотам.
1𝑟𝑑
𝑅(𝑟0)=0, lim
Решение (𝐽
— функции Бесселя первого рода):
𝑘
µ
𝑘
𝑅𝑘(𝑟)=𝐽
0
𝑟
Задача 1.22. Края круглой мембраны радиусом
𝑟
𝑑𝑟
𝑟
, λ𝑘=
0
𝑑𝑅
=−λ𝑅(𝑟), 0<𝑟<𝑟0,
𝑑𝑟
𝑟𝑅′(𝑟)=0.
𝑟→0
2
µ
𝑘
, µ𝑘— корни 𝐽0(µ)=0.
𝑟
0
𝑟
могут свободно сме-
0
щаться в перпендикулярном направлении. Определить моды колебаний
мембраны, которые соответствуют самым низким собственным частотам.
1𝑟𝑑
𝑅
𝑑𝑅
𝑟
𝑑𝑟
′
(𝑟0)=0, lim
=−λ𝑅(𝑟), 0<𝑟<𝑟0,
𝑑𝑟
𝑟→0
𝑟𝑅′(𝑟)=0.
Решение (𝐽
— функции Бесселя первого рода):
𝑘
2
µ
𝑘
, µ𝑘— корни 𝐽1(µ)=0.
𝑟
0
𝑅𝑘(𝑟)=𝐽
µ
𝑟
𝑘
0
𝑟
0
, λ𝑘=
77
Задача 1.23. Края круглой мембраны радиусом
𝑟
закреплены через
0
пружину. Определить моды колебаний мембраны, которые соответствуют
самым низким собственным частотам.
Решение (𝐽
𝑅𝑘(𝑟)=𝐽
1𝑟𝑑
20𝑅(𝑟0)+𝑟0𝑅′(𝑟0)=0, lim
— функции Бесселя первого рода):
𝑘
µ
0
𝑟
𝑘
𝑑𝑟
𝑟
0
𝑑𝑅
𝑟
=−λ𝑅(𝑟), 0<𝑟<𝑟0,
𝑑𝑟
, λ𝑘=
𝑟𝑅′(𝑟)=0.
𝑟→0
2
µ
𝑘
, µ𝑘— корни 20𝐽0(µ)=µ𝐽1(µ).
𝑟
0
Задача 1.24. Найти волновые функции и уровни энергии стационарных
состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме:
2
𝑑
ψ
=−λψ(𝑥), 0<𝑥<𝑙,
2
𝑑𝑥
ψ(0)=ψ(𝑙)=0.
Волновые функции:
ψ
(𝑥)=sin
𝑘
λ
𝑥, λ𝑘=
𝑘
π𝑘
𝑙
2
, 𝑘∈ℕ.
Задача 1.25. Найти волновые функции и уровни энергии стационарных
состояний частицы в бесконечно глубокой круглой потенциальной яме:
𝑑𝑟
𝑟
𝑑ψ
=−λψ(𝑟), 0<𝑟<𝑟0,
𝑑𝑟
𝑟ψ′(𝑟)=0.
𝑟→0
1𝑟𝑑
ψ(𝑟0)=0, lim
Решение:
2
µ
𝑘
, µ𝑘— корни 𝐽0(µ)=0.
𝑟
0
ψ
𝑘
(𝑟)=𝐽
µ
𝑟
𝑘
0
𝑟
0
, λ𝑘=
Задача 1.26. Функции Бесселя 1-го порядка встречаются при решении
задач математической физики в полярных координатах. К примеру, задача о колебаниях закрепленной мембраны. Найти собственные функции,
78
соответствующие наименьшим собственным значениям.
1𝑟𝑑
𝑅(𝑟0)=0, lim
𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑟
𝑑
𝑅(𝑟)−
1
𝑅(𝑟)=−λ𝑅(𝑟), 0<𝑟<𝑟0,
2
𝑟
𝑟𝑅′(𝑟)=0.
𝑟→0
Решения выражаются через функции Бесселя:
2
µ
𝑘
, µ𝑘— корни 𝐽1(µ)=0.
𝑟
0
𝑅𝑘(𝑟)=𝐽
µ
𝑟
𝑘
1
𝑟
0
, λ𝑘=
79
П.2. Эллиптические уравнения
Каждая задача в разделе включает два пункта. Задание в пункте (а)
приведено в полной постановке и с точным решением. Пункт (а) подходит
для верификации численного метода. Наличие точного решения позволяет
оценить порядок аппроксимации, скорость сходимости методов и т.д.
Для решения пункта (б) сначала следует выполнить математическую
постановку задачи. Тип уравнения и граничных условий в пункте (б) такой
же, как и для задачи в пункте (а), это должно упростить постановку.
Задача 2.1. Найти решение уравнения Пуассона с граничными условиями
Дирихле в прямоугольнике:
∆𝑢=−𝑓(𝑥,𝑦), 0<𝑥<1, 0<𝑦<2,
а).
𝑢(0,𝑦)=0, 𝑢(1,𝑦)=sin(5)cos
𝑢(𝑥,0)=sin5𝑥, 𝑢(𝑥,2)=−sin5𝑥;
𝑓(𝑥,𝑦)=sin5𝑥
25+π2𝑦
2
cos
π𝑦
2
2
+π sin
π𝑦
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=sin5𝑥cos
2
б). Квадратную металлическую пластинку достаточно долго нагревают
точечным лазерным излучением с постоянной мощностью. Края пластинки поддерживаются при нулевой температуре. Построить распределение
температуры в пластинке.
2
π𝑦
,
2
2
π𝑦
.
2
2
.
Задача 2.2. Найти решение уравнения Пуассона с граничными условиями
Неймана по оси 𝑦и периодическими условиями вдоль оси 𝑥:
∆𝑢=(9𝑦−10)sin4𝑥𝑒
−5𝑦
, 0<𝑥<π, 0<𝑦<1,
а).
𝑢(𝑥+π,𝑦)=𝑢(𝑥,𝑦),
𝑢𝑦(𝑥,0)=sin4𝑥, 𝑢𝑦(𝑥,1)=−
4
⋅sin4𝑥.
5
𝑒
Точное решение: 𝑢0(𝑥,𝑦)=sin4𝑥⋅𝑦𝑒
−5𝑦
.
б). В доме сделан водяной теплый пол. Трубки с горячей водой имеют радиус
𝑟
, они расположены параллельно друг другу на расстоянии𝐿и
0
залиты бетонной стяжкой толщиной𝐻. Трубки создают постоянный источник тепла
𝑄
в толще бетона. Полагаем, что нижняя часть стяжки хорошо
теплоизолирована, а полученное от труб тепло равномерно рассеивается с
поверхности пола. Найти распределение температуры в толще бетона.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]