Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Курс лекций
.pdf
Отклонение многочленов от нуля не изменяется,
𝑇𝑛=1
. Для полиномов на отрезке также справедлива лемма 8.1. Многочлены Чебышёва
наименее отклоняются от нуля на отрезке
2𝑛−1
шим коэффициентом
2
(𝑏−𝑎)
.
𝑛
[𝑎,𝑏]
среди полиномов со стар-
Предположим, что отрезок
т.е.
0<𝑎<𝑏
. Рассмотрим систему полиномов
Все корни полиномов
𝑇𝑛(𝑥)
[𝑎,𝑏]
расположен на положительной полуоси,
𝑃𝑛(𝑥)
с другой нормировкой.
располагаются на интервале
(𝑎,𝑏)
, значение
𝑇𝑛(0)0, поэтому мы можем ввести полиномы 𝑃𝑛(𝑥)с условием 𝑃𝑛(0)=1:
𝑇𝑛(𝑥)
𝑃𝑛(𝑥)=
.
𝑇𝑛(0)
Для многочленов
гочлены
𝑃𝑛(𝑥)
𝑃𝑛(𝑥)
свободный член равен единице. Поскольку мно-
получены из
𝑇𝑛(𝑥)
путем умножения на константу, для них
выполняются свойства многочленов Чебышёва, связанные с корнями и экстремумами.
Найдем
𝑃𝑛(𝑥)
и отклонение
𝑃𝑛
. Фактически требуется вычислить зна-
чение 𝑇𝑛(0), введем величину κ =𝑏∕𝑎, значение κ >1:
𝑎+𝑏
𝑇𝑛(0)=cos𝑛arccos−
=(−1)𝑛cos𝑛arccos
𝑏−𝑎
Величина под
также выражением для арккосинуса через натуральный логарифм
=−𝑖ln𝑧+𝑧2−1
arccos
больше единицы. Воспользуемся формулой Эйлера, а
. Получим формулу
κ +1
κ −1
arccos𝑧=
.
𝑧+𝑧2−1
cos(𝑛arccos𝑧)=
𝑛
+𝑧−𝑧2−1
𝑛
.
2
Формула справедлива для комплексных𝑧, а также для действительных
Применим формулу для вычисления 𝑇𝑛(0):
𝑇𝑛(0)=
Поскольку
(−1)
2
κ >1
𝑛
κ +1
κ −1
+
κ +1
κ −1
2
−1
𝑛
κ +1
+
κ −1
, при раскрытии выражений можно не задумываться о
−
κ +1
κ −1
2
−1
комплексных числах и ветвлениях:
κ +1
κ −1
±
κ +1
κ −1
2
−1=
κ +1
κ −1
±
4κ
(κ −1)
κ ±2κ +1
=
2
κ −1
=
(κ ±1)
(κ +1)(κ −1)
2
𝑧>1
𝑛
.
.
.
61
В результате получаем выражение
𝑛
κ +1
κ −1
, где 0<ρ1<1, тогда
1
𝑛
ρ
+
1
𝑛
ρ
1
𝑇𝑛(0)=
Введем величину ρ
𝑇𝑛(0)=
1
(−1)
=
(−1)
2
κ−1
κ+1
𝑛
2
Итоговое выражение для полиномов 𝑃
𝑛
=
κ −1
+
κ +1
(−1)𝑛(1+ρ
2ρ
:
𝑛
2𝑥−(𝑎+𝑏)
𝑃𝑛(𝑥)=(−1)𝑛𝑞𝑛cos𝑛arccos
𝑏−𝑎
, ξ =
Полиномы
𝑞𝑛=
𝑃𝑛(𝑥)
κ −1
κ +1
2𝜌
1+ρ
𝑛
1
, ρ1=
2𝑛
1
понадобятся в дальнейшем, в первую очередь нас инте-
ресует максимальное отклонение от нуля: 𝑃𝑛=𝑞
𝑛
.
2𝑛
)
1
𝑛
1
.
,
(8.2)
𝑏
.
𝑎
.
𝑛
Лемма 8.2
Доказательство. Докажем от противного. Пусть полином
ряет условиям леммы. То есть существует упорядоченный набор точек
∈[𝑎,𝑏]
, в которых
дуются. Без ограничения общности можно считать, что
Рассмотрим многочлены степени𝑛с фиксированным
свободным членом
ный набор точек
𝑎𝑥𝑛𝑥
в которых некоторый полином
симальные по модулю значения, т.е.
при этом знаки
𝑄𝑛(𝑥)
наименее отклоняется от нуля на отрезке
𝑐
. Пусть существует упорядочен-
0
𝑥𝑘на отрезке [𝑎,𝑏], где 𝑎>0:
⋯𝑥1𝑥0𝑏,
𝑛−1
𝑄𝑛(𝑥)
принимает мак-
𝑄𝑛(𝑥𝑘)=𝑄𝑛
𝑄
𝑥
чередуются. Тогда многочлен
(
)
𝑛
𝑘
среди многочленов со свободным членом равным
𝑄
достигает экстремумов, и при этом знаки
𝑛
𝑄𝑛(𝑥)
удовлетво-
𝑄𝑛(𝑥𝑘)
𝑄𝑛(𝑥𝑘)=(−1
[𝑎,𝑏]
𝑘
𝑄𝑛
)
𝑐
𝑥𝑘∈
чере-
0
для 𝑘=0,𝑛.
Предположим, что существует отличный от него полином
𝑄𝑛(𝑥)
, кото-
рый имеет такой же свободный член, но меньше отклоняется от нуля, т.е.
∀𝑥 𝑄𝑛(𝑥)<𝑄𝑛. Рассмотрим разность:
,
.
,
𝑅(𝑥)=𝑄𝑛(𝑥)−𝑄𝑛(𝑥)=𝑥𝑄
62
𝑛−1
(𝑥),
здесь удалось вынести переменную𝑥, поскольку свободный член сокращается, и остается некоторый полином
имеет степень𝑛и как минимум один корень в точке
значения 𝑅(𝑥)в узлах𝑥
:
𝑘
𝑄
𝑛−1
(𝑥)
степени
𝑛−1
𝑥=0
. Полином
. Рассмотрим
𝑅(𝑥)
𝑅(𝑥𝑘)=(−1
При четных𝑘значение
функции
полином
𝑅(𝑥)
𝑅(𝑥)𝑛
в узлах
𝑥
раз меняет знак, т.е. имеет𝑛корней. Приходим к противо-
𝑘
𝑘
𝑄𝑛−𝑄𝑛(𝑥𝑘), 𝑘=0,𝑛.
)
𝑅(𝑥𝑘)>0
, при нечетных —
𝑅(𝑥𝑘)<0
, т.е. значения
чередуются. Отсюда следует, что на отрезке
речию, поскольку 𝑅(𝑥)имеет на отрезке не более 𝑛−1корней.
Следствие.
Среди полиномов со свободным членом равным единице,
полиномы
[𝑎,𝑏]
. Лемма справедлива, поскольку многочлены
𝑃𝑛(𝑥)
наименее отклоняются от нуля на отрезке
получены из многочленов Чебышёва путем умножения на
константу. Для многочленов
𝑃𝑛(𝑥)
выполняются все свой-
ства многочленов Чебышёва, связанные с экстремумами и
чередованием знаков на отрезке [𝑎,𝑏].
Задача. Пусть полином 𝑓
задан в форме
(λ)
𝑓(λ)=(1−𝜏1λ)⋅(1−𝜏2λ)⋅...⋅(1−𝜏𝑛λ),
[𝑎,𝑏]
𝑃𝑛(𝑥)
требуется минимизировать отклонение
выбора параметров
𝜏
,
𝜏
,…,
𝜏
1
2
. Заметим, что
𝑛
𝑓(λ)
на отрезке
𝑓(0)=1
λ ∈[𝑎,𝑏]
, полиномы
путем
𝑃𝑛(𝑥)
наименее отклоняются от нуля среди многочленов со свободным членом
равным единице. Требуем выполнения
выбрать
𝜏𝑘=𝑥
−1
𝑘
, где
𝑥
— корни многочлена Чебышёва на отрезке
𝑘
𝑓(λ)𝑃𝑛(λ)
: это возможно, если
[𝑎,𝑏]
. В
этом случае отклонение 𝑓(λ)минимально и определяется (8.2).
8.3. Итерации с чебышёвским набором параметров
Пусть требуется решить систему линейных уравнений
симметричная положительно определенная матрица. Рассмотрим явный
нестационарный итерационный метод в канонической форме:
𝑥
−𝑥
𝑘+1
𝜏
Каким образом выбрать итерационные параметры
𝑘+1
𝑘
+𝐴𝑥𝑘=𝑓.
𝜏
,
𝜏
1
итерации погрешность 𝑥𝑛−𝑥была минимальна?
,…,
2
𝐴𝑥+𝑓
𝜏
𝑛
, где𝐴—
, чтобы на𝑛-й
63
Теорема 8.2
Пусть
𝐴=𝐴𝑇>0
,
λ
,
min
λ
— минимальное и макси-
max
мальное собственные значения𝐴. Среди явных нестационарных итерационных методов решения СЛАУ минимальную погрешность
𝑥𝑛−𝑥
на𝑛-м шаге имеет
метод с набором параметров:
λ
κ =
𝜏𝑘=
max
, ρ0=
λ
min
𝜏
0
1+ρ0𝑡
При этом, для погрешности справедлива оценка:
Доказательство. Для погрешности
имеет вид 𝑧
=(𝐸−𝜏
𝑘+1
𝑘+1
𝐴)𝑧
, следовательно,
𝑘
𝑧𝑛=(𝐸−𝜏𝑛𝐴)⋅(𝐸−𝜏
𝑛−1
κ −1
, 𝜏0=
κ +1
(2𝑘−1)π
, 𝑡𝑘=cos
𝑘
2𝑛
𝑥𝑛−𝑥𝑞𝑛𝑥0−𝑥,
𝑛
2ρ
1+ρ
1
,
2𝑛
1
𝑞𝑛=
κ −1
ρ
=
1
.
κ +1
𝑧𝑘=𝑥𝑘−𝑥
итерационная процедура
𝐴)⋅...⋅(𝐸−𝜏1𝐴)𝑧0=𝑅𝑛𝑧0.
2
,
λ
+λ
min
max
, 𝑘=1,𝑛.
(8.3)
Матрица
радиус 𝑅
𝑅
симметрична, а значит,
𝑛
, и оценка не улучшаема:
𝑛
𝑅𝑛 =ν
, где
ν
— спектральный
𝑧𝑛𝑅𝑛⋅𝑧0=ν⋅𝑧0.
Пусть
λ1,
λ2,…,
λ𝑚— собственные значения матрицы𝐴, а
𝑣
— соответству-
𝑘
ющие собственные векторы. Они же являются СВ для матрицы 𝑅
𝑅𝑛𝑣𝑘=(𝐸−𝜏𝑛𝐴)⋅(𝐸−𝜏
В последней строке приведено СЗ матрицы
Тогда спектральный радиус матрицы 𝑅
ν=max
𝐸−𝜏
(
λ
𝑘
𝑛λ𝑘
)⋅(
max
𝐴)⋅...⋅(𝐸−𝜏1𝐴)𝑣𝑘=
𝑛−1
𝐸−𝜏
λ∈[λ
=(𝐸−𝜏
𝑛−1λ𝑘
min,λmax
𝑛λ𝑘
:
𝑛
⋅...⋅(𝐸−𝜏
)
𝐸−𝜏
(
]
)⋅(
𝑛
𝐸−𝜏
λ
)⋅(
𝑛−1λ𝑘
𝑅
, которое соответствует
𝑛
)
1λ𝑘
𝐸−𝜏
⋅...⋅(𝐸−𝜏
)
λ
)
𝑛−1
⋅...⋅(𝐸−𝜏
:
𝑛
𝑣𝑘.
)
1λ𝑘
𝑣
.
𝑘
λ
.
)
1
64
Требуется минимизировать величину
:
]
𝜏
+λ
2
−1
следует выбрать корни многочлена Чебышёва на
𝑘
λ
max
+
max
−λ
2
Для этого в качестве
отрезке[λ
min,λmax
−1
𝜏
=
𝑘
λ
min
При этом будет справедлива оценка:
ν
. Решение такой задачи нам известно.
min
(2𝑘−1)π
cos
, 𝑘=1,𝑛.
2𝑛
κ −1
κ +1
, κ =
λ
λ
max
min
.
ν
2ρ
1+ρ
𝑛
1
, ρ1=
2𝑛
1
После минимальных преобразований получается выражение из условия
теоремы. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим простейший случай
𝑛=1
. В этом случае мы получаем метод
простой итерации с оптимальным параметром:
2
𝜏=
λ
min
+λ
.
max
То есть метод простой итерации с оптимальным параметром обеспечивает
минимальную погрешность на каждом шаге. Показатель геометрической
прогрессии, с которым убывает погрешность, равен
𝑞=
2ρ
1
1+ρ
=
2
1
(κ +1)1+
2(κ −1)
(κ−1)
(κ+1)
=
2
2
2(κ −1)
κ +1+
(κ−1)
κ+1
=
2
=
2(κ −1)
(κ +1)2+(κ −1)
κ −1
=
κ +1
2
,
данная формула уже была получена ранее другим способом (см. (3.8)).
8.4. Скорость сходимости
Оценим количество итераций
метров, которое требуется для достижения точностиε. Погрешность метода
после𝑛-й итерации
𝑥𝑛−𝑥𝑞𝑛𝑥0−𝑥
ной достигается при 𝑞𝑛<ε, отсюда следуют условия:
𝑛
2ρ
1+ρ
1
2𝑛
1
<ε ⇒
𝑞𝑛=
𝑛
метода с чебышёвским набором пара-
0
. Погрешность менееεот началь-
1
+ρ
𝑛
ρ
1
2
𝑛
>
1
⇒
ε
1
ρ
1
>
𝑛
1
+
ε
1
−1.
2
ε
65
Последний переход справедлив при
1
>1
𝑛
ρ
1
мо выполняется при следующих условиях:
. Последнее неравенство заведо-
1
ρ
2
>
𝑛
ε
1
⇒ 𝑛ln
1
ρ
1
>ln
2
.
ε
Необходимое число итераций для достижения точности ε:
ln(2∕ε
𝑛0(ε)=
ln(1∕ρ
)
.
)
1
Самый неблагоприятный случай достигается для плохо обусловленных
матриц, когда параметр κ ≫1и ρ1≈1. В этом случае
κ +1
κ −1
=ln1+
κ −1
2
≈
κ −1
2
≈
2
.
κ
ln
ρ
1
=ln
1
Оценка числа итераций до заданной точности:
κ
𝑛0(ε)≈
2
2
ln
, 𝑛0=𝑂(κ).
ε
Ранее для метода простой итерации с оптимальным параметром была
получена оценка (3.9):
κ
𝑛0(ε)≈
1
ln
2
, 𝑛0=𝑂(κ).
ε
Ускорение метода с чебышёвским набором параметров огромное. Грубо
говоря, если метод простой итерации требует
жения точностиε, то метод с чебышёвскими параметрами достигнет такой
точности за
𝑛0=1000итераций.
𝑛0=10
6
итераций для дости-
8.5. Порядок чебышёвских параметров
Не смотря на невероятное ускорение сходимости, которое предполагает
метод, он не лишен недостатков при реализации на ЭВМ. Оказалось, что на
практике метод неустойчив. Наличие машинной погрешности при представлении чисел с плавающей точкой в памяти компьютера чаще всего приводит
к накоплению большой погрешности и расходимости метода.
Заметим, что с математической точки зрения порядок использования
итерационных параметров
порядка параметров
(8.3)
. В отсутствие машинной погрешности, при использовании любого по-
рядка параметров
𝜏
𝑘
𝜏
на𝑛-й итерации мы придем к одной погрешности. При
𝑘
𝜏
,
𝜏
,…,
𝜏
1
2
не имеет значения. Независимо от
𝑛
для финальной погрешности справедлива оценка
66
этом на промежуточных итерациях
велика, т.е. на промежуточных итерациях
𝑘<𝑛
𝑥
погрешность может быть очень
никак не приближено к точному
𝑘
решению.
Метод оптимального упорядочивания чебышёвских параметров предложили В.И. Лебедев и С.А. Финогенов [9]. Способ выбора оптимального
порядка итерационных параметров исчерпывающе описан у А.А. Самарского [10, с. 572]. Здесь он не приводится, продемонстрируем на примере.
На рис. 8.1 приведены графики погрешностей от итерации при использовании различных итерационных методов решения СЛАУ. Тестируется метод
простой итерации с оптимальным параметром и методы с чебышёвскими
параметрами. В качестве тестовой задачи выбрано уравнение Пуассона
на небольшой двумерной сетке
40×60
ячеек. На рисунке приведены графики для метода простой итерации с оптимальным параметром и метода
с чебышёвскими параметрами с различными способами упорядочивания
параметров. Начальная погрешность равна единице.
Выполняется 256 итераций каждым методом. Метод с простейшим упорядочиванием параметров Чебышёва по возрастанию оказался неустойчивым.
Упорядочивание в случайном порядке оказывается устойчивым, однако при
этом в ходе итераций погрешность принимает значения порядка
10
11
(на
грани расходимости). В методе с оптимальным упорядочиванием параметров максимальная погрешность на итерациях порядка
метода сходятся к одной погрешности
ε =4,2⋅10
−3
3
10
. Два сходящихся
, как и предполагает
теория. Метод простой итерации завершается с погрешностью ε =0,6.
Рис. 8.1. Погрешность итерационных методов при различных способах упорядочивания
чебышёвских параметров
67
Список литературы
1.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. —
С. 432.
2.
Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1977.
3.
Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П. и др. Математика XIX века. Кн. 1: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.:
Наука, 1978. — С. 256.
4. Hart J.F. Computer approximation. — Krieger Publishing Co., Inc., 1978.
5.
Русский орфографический словарь / О.Е. Иванова, В.В. Лопатин,
И.В. Нечаева и др. — М.: Российская академия наук. Институт русского языка им. В.В. Виноградова, 2005. — С. 960.
6.
Агеенко Ф.Л. Словарь собственных имен русского языка. [Электронный ресурс]. — Режим доступа:
//www.litres.ru/book/florenciya-ageenko/
slovar-sobstvennyh-imen-russkogo-yazyka-48447419
(дата обращения: 23.08.2025).
https:
7.
Абилов В.А., Керимов М.К. Об оценках остаточных членов кратных рядов
Фурье–Чебышёва и кубатурных формул чебышёвского типа // Журнал
вычислительной математики и математической физики. — 2003. — Т. 43,
№ 5. — С. 643–663.
8.
Remez E.Y. Sur le calcul effectif des polynomes d’approximation de
Tschebyscheff // CR Acad. Sci. Paris. — 1934. — Vol. 199, no. 2. — P. 337–340.
9.
Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышёвском циклическом итерационном методе // Журнал
вычислительной математики и математической физики. — 1971. — Т. 11,
№ 2. — С. 425–438.
10. Самарский А. А. Теория разносных схем. — М.: Наука, 1977. — С. 656.
11.
Горюнов А.Ф. Методы математической физики в примерах и задачах. —
М.: Физматлит, 2015. — Т. 1. — С. 872.
68
Приложение. Задачи к лабораторным работам
П.1. Собственные векторы и собственные значения
В тексте задач используются следующие обозначения:
Дирака,
η(𝑥)
— функция Хевисайда,
𝐽𝑛(𝑥)
— функция Бесселя первого рода
δ(𝑥)
— дельта-функция
порядка 𝑛.
Задача 1.1. Левый конец струны закреплен, а правый конец может пере-
мещаться свободно в перпендикулярном направлении. Линейная плотность
струны равнаρ, на свободном конце подвешена бусина массой𝑚. Масса бу-
сины равна четверти веса всей струны:
𝑚=
1
ρ𝑙
. Определить форму стоячих
4
волн струны (Горюнов A.Ф. [11], задача 2.11).
𝑋′′=−λ ρ(𝑥)𝑋, 0<𝑥<𝑙,
𝑋(0)=0, 𝑋′(𝑙)=0,
ρ(𝑥)=1+
𝑚
δ(𝑥−𝑙).
ρ
Решение:
2
µ
𝑘
, µ𝑘— корни µ tgµ =
𝑙
ρ𝑙
.
𝑚
𝑋𝑘(𝑥)=sin
λ
𝑘
𝑥, λ𝑘=
Задача 1.2. В центре струны длиной𝑙, закрепленной за два конца, подве-
шена бусина массой𝑚. Линейная плотность струны равнаρ, а масса бусины
равна половине веса всей струны:
𝑚=
1
ρ𝑙
. Определить форму стоячих волн
2
струны (Горюнов A.Ф. [11], задача 2.8).
𝑋′′=−λ ρ(𝑥)𝑋, −𝑙<𝑥<𝑙,
𝑋(−𝑙)=𝑋(𝑙)=0,
ρ(𝑥)=1+
𝑚
δ(𝑥).
ρ
Собственные функции распадаются на две серии:
2
µ
𝑘
, µ𝑘– корни µ tgµ =
𝑙
2
π𝑛
, 𝑛∈ℕ.
𝑙
2ρ𝑙
,
𝑚
𝑋𝑘(𝑥)=sin
𝑋𝑛(𝑥)=sin
λ
𝑙−𝑥), λ𝑘=
(
𝑘
λ
𝑥, λ𝑛=
𝑛
69
Собственные значения из двух серий чередуются, начиная с λ
𝑘=1
.
Задача 1.3. Концы неоднородной струны (
0<𝑥<𝑙
) закреплены. Линейная плотность левой половины струны в 4 раза меньше плотности правой
половины. Определить форму стоячих волн струны (Горюнов A.Ф. [11], задача
2.7.1).
𝑋′′=−λ ρ(𝑥)𝑋, 0<𝑥<𝑙,
𝑋(0)=𝑋(𝑙)=0,
ρ(𝑥)=1+3η(2𝑥−𝑙).
Общий вид собственных функций задачи:
𝑙
,
2
𝑙
.
2
𝑋(𝑥)=
sinλ𝑥, 𝑥<
𝐵(λ)sin2
λ
𝑙−𝑥
(
, 𝑥
)
Собственные значения λ разделяются на три серии:
1
3
, 𝑘∈ℕ, 𝐵
=
(
)
𝑘
2cos
(−1)
λ
=
(
)
𝑛
2
𝑛+1
,
λ
𝑙
𝑘
2
.
λ
1
(2𝑘−1)π ∓arccos
λ
=
𝑘
𝑙
2π𝑛
λ
=
𝑛
, 𝑛∈ℕ, 𝐵
𝑙
Собственные значения возрастают при чередовании значений из трех серий.
Сначала идут значения из серии
λ𝑘с минусом, потом
λ𝑘с плюсом, затем
λ𝑛.
Задача 1.4. Разложение в классические ряды Фурье осуществляется
по собственным функциям, которые являются решением краевой задачи с
периодическими граничными условиями.
𝑋′′=−λ𝑋, −𝑙<𝑥<𝑙,
𝑋(𝑥)=𝑋(𝑥+2𝑙).
Положительные собственные значения
равную двум. Таким образом, каждому собственному значению
ответствует пара линейно независимых собственных функций 𝑋
λ𝑘вырождены и имеют кратность
λ
>0
(1)
𝑘
𝑘
и 𝑋
(2)
𝑘
со-
. В
качестве пары таких функций удобно выбрать одну четную (косинус) функцию и одну нечетную (синус):
(1)
𝑋
(𝑥)=sin
𝑘
(2)
𝑋
(𝑥)=cos
𝑘
λ
𝑥, λ𝑘=
𝑘
λ
𝑥, λ𝑘=
𝑘
π𝑘
𝑙
π𝑘
𝑙
2
, 𝑘∈ℕ,
2
, 𝑘∈ℕ0.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]