Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Элементы выпуклого и динамического программирования. Учебное пособие
.pdf
Коши: найти траекторию x(t) управляемой системы, удовлетворяющую системе
уравнений x'(t) = f(t, x(t), u0(t)) и начальному условию x(t0) = x0.
Определения
Пара вектор-функций x(t), u(t) описывает процесс.
Если вектор-функции x(t) и u(t) имеют размерности n и m соответственно,
то процессу x(t), u(t) соответствует вектор-функция
h(x(t), u(t)) = (x1(t), …, xn(t), u1(t), …, um(t))T
размерности m + n. Функционал J(x(t), u(t)) определен для процесса x(t), u(t), ес-
ли он определен для соответствующей этому процессу вектор-функции h(x(t),
u(t)).
Вектор-функция одной переменной, непрерывная на промежутке [a, b], ку-
сочно-дифференцируема на [a, b], если она имеет производную во всех внут-
ренних точках этого промежутка за исключением, быть может, конечного числа
точек.
Заметим, что границы промежутка [t0, T] и состояния объекта на концах
промежутка не обязательно фиксировать заранее. Во многих случаях их заменяют краевыми условиями, которые указывают множества допустимых пар
(x(t0), t0) и (x(T), T).
4.2.2. Общая формулировка задачи оптимального управления
Определения
Допустим, что заданы: множество допустимых управлений U; система
дифференциальных связей (57); ограничения вдоль траектории (x(t), u(t), t)G;
краевые условия (x(t0), t0)B и (x(T), T)E. Процесс x0(t), u0(t) является допу-
стимым, если существуют числа t0 и T (t0 < T) такие, что:
а) функция u0(t) кусочно непрерывна и определена на [t0, T];
б) функция x0(t) кусочно-дифференцируема на [t0, T];
в) t0, T, x0(t0) и x0(T) удовлетворяют краевым условиям;
г) для процесса x0(t), u0(t) выполняются ограничения вдоль траектории;
д) функция x0(t) на отрезке [t0, T] является единственным решением задачи
Коши для системы дифференциальных связей при u(t) = u0(t) с начальным усло-
вием x(t0) = x0(t0).
Задача оптимального управления формулируется следующим образом:
найти вектор-функции u*(t), x*(t), которые максимизируют функционал J(x(t),
u(t)) на множестве допустимых процессов.
Здесь J(x(t), u(t)) ― целевой функционал, определенный на всех допустимых процессах, критерий качества управления; u*(t) ― оптимальное управле-
ние; x*(t) ― оптимальная траектория; x*(t), u*(t) ― оптимальный процесс;
61
G Rn Rm R ― замкнутая область1; B и E ― многообразия2 в Rn R. Заме-
*
0
t
T
t
dttuxF
0
T
t
dttuxF
0
),,(
1
2
3
тим, что вместе с оптимальным процессом x*(t), u*(t) определяются и значения
t0 =
и T = T*, фигурирующие в определении допустимого процесса.
Основные проблемы, относящиеся к теории оптимального управления:
– управляемость (существование допустимого управления, удовлетворяющего граничным условиям);
– разрешимость (существование оптимального управления);
– необходимые условия оптимальности;
– достаточные условия оптимальности;
– единственность оптимального решения.
4.2.3. Основные типы функционалов
Интегральный функционал от процесса x(t), u(t) имеет вид
J(x(t), u(t), t0, T) =
.
Если ограничения вдоль траектории отсутствуют, то задача оптимизации интегрального функционала при дифференциальных связях и краевых условиях
называется задачей Лагранжа.
Если в интегральном функционале F(x, u, t) 1, то J(x(t), u(t), t0, T) =(T – t0).
Задача минимизации этого функционал при дифференциальных связях и краевых условиях (частный случай задачи Лагранжа) называется задачей оптимального быстродействия.
Терминальный функционал от процесса x(t), u(t) имеет вид J(x(t), u(t), T) =
= Φ(x(T), T). Задачу оптимизации терминального функционала при дифферен-
циальных связях и краевых условиях называют задачей Майера.
Теорема 4.6. Задача Лагранжа является частным случаем задачи Майера3.
Более общей является задача Больца: при дифференциальных связях и
краевых условиях оптимизировать функционал
J(x(t), u(t), t0, T) =
+ Φ(x(T), T).
Здесь первое (интегральное) слагаемое можно интерпретировать как эффект,
полученный в течение процесса, а второе (терминальное) ― как остаточный
эффект, возникающий после завершения процесса.
См. раздел 4.2.4.
См. раздел 4.2.5.
Доказательство: Павлов В. Н. Математическая экономика. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. С. 21.
62
4.2.4. Варианты ограничений вдоль траектории
gi(x(t), u(t), t) = 0 для i
1
,1 k
, k1 ≤ n;
(58)
hi(x(t), u(t), t) ≤ 0 для i
kk ,1
1
,
(59)
Ограничения вдоль траектории в общем случае описываются системой
ограничений:
которые и определяют область G, указанную в формулировке задачи оптимального управления. Частными случаями являются ограничения на управление и
ограничения на фазовые переменные.
Ограничения на управление часто записывают в виде u(t)G(t) для t[t0, T],
где множества G(t) для t[t0, T] описаны соотношениями вида (58), (59) без за-
висимости от x(t) в левых частях. Если ограничения на управление отсутствуют
(как в задаче Лагранжа), то G(t) = Rm для всех t.
Ограничения на фазовые переменные записывают в виде (58) без зависимости от u(t) в левых частях. К таким ограничениям (при t{t0, T}) относятся и
краевые условия.
4.2.5. Варианты краевых условий
Задачу оптимального управления, в которой t0 или T фиксировано, называют задачей с закрепленным начальным или, соответственно, конечным мо-
ментом.
Задача, в которой начальный и конечный моменты закреплены, называется
задачей с фиксированным временем.
Левый (правый) конец траектории закреплен, если задано краевое условие
x(t0) = x0 (x(T) = x1). Левый (правый) конец траектории свободен, если краевые
условия на соответствующем конце не зависят от состояния. В остальных случаях говорят, что левый (правый) конец траектории является подвижным.
Связи между значениями t и x(t) на подвижном конце описывают равенствами вида (58) при t{t0, T} без зависимости от u(t) в левых частях. Эти ра-
венства определяют многообразия B и E, о которых говорится в формулировке
задачи оптимального управления.
4.3. Принцип максимума для задач с закрепленными концами
4.3.1. Задача с фиксированным временем
Рассмотрим задачу оптимального управления с закрепленными концами и
фиксированным временем управления для объекта, поведение которого на отрезке [t0, T] описано системой дифференциальных уравнений (57)
63
J(u) =
T
t
dtttutxf
0
)),(),((
0
→ max
(60)
при условиях
)(tx
j
= fj(x1(t), …, xn(t), u1(t), …, um(t), t) для всех j
n,1
, t[t0, T];
(61)
u(t)G Rm для всех t[t0, T];
(62)
t0 =
*
0
t
, T = T*, x(
*
0
t
) = x0, x(T*) = x1.
(63)
*
0
t
nj
jj
ttutxft
1
)),(),(()(ψ
ψ' = –
)ψ,ψ,,,(
0
tuxH
x
, или
)(ψ t
i
= –
))(ψ,ψ,),(),((
0
tttutx
x
H
i
для i
n,1
.
(64)
n,1
n,1
*
0
t
1
Здесь x(t) и u(t) ― вектор-функции размерности m и n соответственно, f0 ―
интегрируемая функция от n + m + 1 переменных. Ограничения вдоль траектории являются ограничениями на управление и имеют вид (62), где множество G
описано ограничениями вида (58), (59), левые части которых зависят только от
u(t). Краевые условия (63) означают, что концы фиксированы и заданы состояния на концах этого промежутка. Другими словами, нужно за период [
, T*]
перевести систему из состояния x0 в состояние x1.
Определения и обозначения
Введем сопряженные (или двойственные) переменные: постоянную ψ0 и
вектор-функцию ψ(t) = (ψ1(t), …, ψn(t)), действующую из R в R
1n
.
Функция Гамильтона (Гамильтона – Понтрягина), или гамильтониан име-
ет вид
H(x(t), u(t), t, ψ(t), ψ0) = ψ0f0(x(t), u(t), t) +
= ψ0f0(x, u, t) + ψ(t),
f(x, u, t).
Всякому допустимому процессу x(t), u(t) сопоставим систему линейных
дифференциальных уравнений относительно сопряженных переменных:
Следующая теорема дает необходимые условия оптимальности для задачи
(60)–(63).
Теорема 4.61. Пусть функции f0 и fj для j
по переменным хi, i
, и непрерывны вместе с этими производными по сово-
купности аргументов при х(t)Rn, u(t)G, t[
имеют частные производные
, T*]. Предположим, что вектор-
функции u*(t) и х*(t) размерности n и m соответственно описывают оптималь-
Доказательство: Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В. Мищенко Е. Ф. Математическая
теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, 1983 (теорема 6). Формулировка условия (в) уточнена по
книге: Ногин В. Д. Введение в оптимальное управление. СПб: ЮТАС, 2008 (теорема 4.1).
64
ный процесс для задачи (60) – (63). Тогда существуют число
*
0
ψ
*
0
ψ
*
0
ψ
*
0
t
*
0
t
*
0
t
*
0
ψ
*
0
ψ
t0 =
*
0
t
, x(
*
0
t
) = x0, x(T) = x1.
(65)
*
0
t
n,1
n,1
*
0
t
*
0
ψ
*
0
ψ
*
0
ψ
*
0
t
*
0
t
*
0
t
*
0
ψ
*
0
ψ
*
0
ψ
*
0
t
1
вектор-функция ψ*(t) размерности n такие, что
и непрерывная
а) либо
= 1, либо
= 0 и ψ*(t) 0n для некоторого t[
, T*];
б) вектор-функция ψ*(t) является решением системы дифференциальных
уравнений (64) на отрезке [
в) если вектор-функция u*(t) непрерывна в точке t[
max{H(x*(t), u, ψ*(t),
, T*];
, T*], то
) | uG} = H(x*(t), u*(t), ψ*(t),
).
Условие (в) ― это знаменитый принцип максимума Понтрягина.
4.3.2. Задача с незакрепленным конечным моментом
Теперь будем считать, что момент T* нужно определить наряду с вектор-
функциями x*(t) и u*(t). Тогда задача оптимального управления имеет вид (60)–
(62) с краевыми условиями
Это значит, что оптимальный процесс должен начаться в момент
и пере-
вести систему из исходного состояния x0 в состояние x1, причем момент T*, в
который будет достигнуто состояние x1, должен быть выбран из условия максимизации функционала (60). Сформулируем необходимые условия оптимальности для задачи (60)–(62), (65).
Теорема 4.71. Пусть функции f0 и fj для j
по переменным хi, i
, и непрерывны вместе с этими производными по сово-
купности аргументов при х(t)Rn, u(t)G, t[
имеют частные производные
, T*]. Предположим, что набор
(T,* u*(t), х*(t)) описывает оптимальный процесс для задачи (60) – (62), (65). То-
гда существуют число
и непрерывная вектор-функция ψ*(t) размерности n
такие, что:
а) либо
= 1, либо
= 0 и ψ*(t) 0n для некоторого t[
, T*];
б) вектор-функция ψ*(t) является решением системы дифференциальных
уравнений (64) на отрезке [
в) если вектор-функция u*(t) непрерывна в точке t[
max{H(x*(t), u, ψ*(t),
г) H(x*(t), u*(t), ψ*(t),
Доказательство: Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В. Мищенко Е. Ф. Математическая
теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, 1983 (теорема 8).
65
, T*];
) | uG} = H(x*(t), u*(t), ψ*(t),
) = 0 для всех t[
, T*], то
).
, T*].
Как видим, теорема 4.7 отличается от теоремы 4.6 только условием (г), ко-
J(x(t), u(t), t0, t1) =
1
0
)),( ),((
t
t
dtttutxF
+ φ0(t0, x(t0), t1, x(t1)) → max
)(tx
j
= fj(x(t), u(t), t) для t [t0, t1] и j
n,1
(дифференциальные связи),
u(t) G(t) для t [t0, t1] (ограничения на управление),
g(x(t), t) = 0k, где k ≤ n, и h(x(t), t) ≥ 0r для t [t0, t1] (фазовые ограничения),
φ(t0, x(t0), t1, x(t1)) = 0s (краевые условия).
H(x*(t), u*(t), t, λ0, ψ(t)) = max{H(x*(t), u(t), t, λ0, ψ(t)) | u(t) G(t)};
)(tx
j
n,1
1
2
торое в достаточной степени компенсирует неопределенность конечного момента.
4.3.2. О решении задач методом оптимизации
Решение аналитическое и решение численное
«Ручное» решение задач оптимального управления требует, как правило,
громоздкого перебора случаев и возможно только при небольшой размерности.
Сложность поиска формульного решения окупается тем, что оно допускает параметрический анализ, из которого можно делать содержательные выводы.
Предположим, что функция u(t) для задачи оптимального управления за-
дана в виде
при условиях
И выражена через x(t), ψ(t) и t с помощью принципа максимума
H(x*(t), u*(t), t, λ0, ψ(t)) = max{H(x*(t), u(t), t, λ0, ψ(t)) | u(t) G(t)};
Тогда задача сводится к определению 2n функций xj(t), ψj(t) из системы
2n дифференциальных уравнений, включающей дифференциальные связи
= fj(x(t), u(t), t) для t [t0, t1] и j
и сопряженные дифференциальные
уравнения. Краевыми условиями для этой задачи являются соотношения
φ(t0, x(t0), t1, x(t1)) = 0s, значения закрепленных и условия трансверсальности
для не закрепленных краевых параметров. Существуют численные методы1 решения такой краевой задачи, сводящие ее к решению последовательности задач
Коши2 и задач конечномерной оптимизации.
См.: Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. § 4 гл. 6; Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. § 7.
См. определение в приложении 2. Разд. П2.1.
66
Обоснование оптимальности процесса
J(x(t), u(t), t0, t1) =
1
0
)),( ),((
t
t
dtttutxF
+ φ0(t0, x(t0), t1, x(t1)) → max
)(tx
j
= fj(x(t), u(t), t) для t [t0, t1] и j
n,1
,
u(t) G(t) для t [t0, t1],
t0 = τ, x(t0) = a,
(t1, x(t1)) T.
1
2
3
При любом способе решения задачи оптимального управления следует
помнить, что необходимые условия оптимальности процесса не являются, вообще говоря, достаточными. Оптимальность процесса, найденного с помощью
этих условий, нужно обосновывать. Ниже сформулированы два признака достаточности необходимых условий оптимальности процесса:
1. Необходимые условия оптимальности являются достаточными, если функ-
ция Понтрягина линейна относительно вектора управляющих переменных u(t)1.
2. Представим себе, что функция u(t) с помощью принципа максимума
выражена через x(t), ψ(t) и t, и полученное выражение подставлено в функцию
Понтрягина. Результатом такой подстановки является функция G(x, ψ, t) =
= H(x, u(x, ψ, t), t, 0, ψ). Если эта функция вогнута по x, то процесс, удовлетворяющий необходимым условиям, является оптимальным2.
В любом случае, если доказана разрешимость задачи и необходимые
условия оптимальности позволили выявить конечное число «подозрительных»
процессов, то, сравнивая значения функционалов на этих процессах, мы выберем из них оптимальный. Сформулируем достаточный признак разрешимости
задачи максимизации функционала при дифференциальных связях и ограничениях на управление, предполагая, что начальный момент фиксирован, левый
конец траектории закреплен и краевые условия вида φ(t0, x(t0), t1, x(t1)) = 0s, задают множество T допустимых сочетаний (t1, x(t1))
при условиях
Теорема 5.3 (обобщенная теорема Вейерштрасса)3. Предположим, что:
а) множество U допустимых управлений, удовлетворяющих условию u(t) G(t)
для t [t0, t1], компактно в подходящем метрическом функциональном пространстве;
Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс,
2002), сноска на с. 384.
Там же.
Там же, разд. 11.4. Другие результаты, связанные с разрешимостью задачи оптимального управления,
см. в книге: Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. § 9.2.
67
б) система дифференциальных уравнений
)(tx
j
= fj(x(t), u(t), t) для t [t0, t1] и
j с начальными условиями t0 = τ, x(t0) = a, для всякого u(t) U определяет
единственную траекторию x(u, t), которая имеет с множеством T единственное
пересечение при t = t1(u);
в) функционал K(u) = J(x(u), u, t0, t1(u)) непрерывен по u на U.
Тогда задача максимизации функционала при дифференциальных связях и
ограничениях на управление имеет решение.
Литература
Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление (линейная теория). М.: Высш. школа, 2001.
Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.
Ногин В. Д. Введение в оптимальное управление. СПб.: ЮТАС, 2008. Гл.
1, 3–5.
Павлов В. Н. Математическая экономика. Новосибирск: Изд-во СО РАН,
2005. Разд. 3 и Д13.
68
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Пособие предназначено для поддержки курса «Математические модели и
методы исследования операций», который читается бакалаврам и студентам,
получающим второе высшее образование.
Цель пособия – предоставить обучающимся достаточный материал раз-
делам курса, помочь им в изучении приемов, приобретении и закреплении
навыков моделирования реальных ситуаций, анализа моделей и решения задач.
Этот курс играет особую роль в подготовке студентов экономических
специальностей. Объединяя экономическую теорию с математическим аппаратом, данный курс должен дать слушателям методики и инструменты для анализа реальных ситуаций и выбора целесообразных решений.
Пособие включает необходимые теоретические сведения и формулы,
множество типов задач и моделей с решениями, а также задач для самостоятельного решения с ответами и указаниями.
Цель пособия – предоставить учащимся достаточный материал по двум
основным разделам курса: выпуклому и линейному программированию. Пособие должно помочь студентам в более глубоком изучении этих тем, приобретении и закреплении навыков моделирования реальных ситуаций, анализа моделей и решения задач.
Для каждой модели динамического программирования, изложенной в пособии, сформулированы основные методы моделирования и варианты применения результатов анализа для принятия управленческих решений.
Учитывая целевую аудиторию, автор привела строгие доказательства
только для утверждений, полные обоснования которых не удалось найти в доступной литературе. В остальных случаях доказательство либо заменено ссылкой на источник, либо поручено читателю в качестве упражнения.
К каждой главе приложены набор иллюстрирующих теорию примеров и
список литературы для дополнительного чтения.
Необходимость разработки данного учебного пособия обусловлена внедрением новой концепции организации учебного процесса, отвечающей ФГОС
ВПО третьего поколения, предусматривающей увеличение объема самостоятельной работы студентов и обеспечение индивидуальной траектории обучения.
69
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Беллман, Р. Процессы регулирования с адаптацией / Р. Беллман. – М.:
Наука, 1964. – 360 с.
2. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. –
М.: Наука, 1980.
3. Гайлит, Е. В. Теория оптимального управления; учеб. пособие /
Е. В. Гайлит. – Новосибирск: Изд-во НГПУ, 2013.
4. Гайлит, Е. В. Математические модели и методы исследования опера-
ций: учеб. пособие / Е. В. Гайлит, А. Б. Хуторецкий. – Новосибирск: Изд-во
НГПУ, 2015.
5. Гайлит, Е. В. Методы оптимальных решений: учеб. пособие / Е. В. Гай-
лит. – СПб.: ФГБОУВО «СПбГПУТД», 2018.
6. Гайлит, Е. В. Специальные методы исследования операций и матема-
тические модели: учеб. пособие / Е. В. Гайлит. – СПб.: ФГБОУВО
«СПбГПУТД», 2018.
7. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономиче-
ская теория. – М.: Айрис-пресс, 2002.
8. Лагоша, Б. А. Методы и задачи теории оптимального управления: учеб.
пособие / Б. А. Лагоша, Т. Д. Дегтярева. – М., 2015.
9. Ногин, В. Д. Введение в оптимальное управление / В. Д. Ногин. – СПб.:
ЮТАС, 2008.
10. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин,
В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. – 4-е изд. – М.: Наука,
1983.
11. Сотсков, А. И. Оптимальное управление в примерах и задачах / А. И. Сот-
сков, Г. В. Колесник. – М.: Российская экономическая школа, 2012.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]