Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Элементы выпуклого и динамического программирования. Учебное пособие
.pdf
3. Если задача Q1(s0) разрешима, то Fn(x*, s0) =
)(
0
*
1
sZ
n,1
n,1
n
j
jj
xf
1
)(
n
j
j
x
1
Fn(x, s0) =
n
j
jj
xf
1
)(
→ max при условиях 0 ≤ xj ≤ s
j–1
и sj = s
j–1
– xj для
n,1
(34)
, оптимальное значение
целевой функции в задаче (28)–(29) достигается при x = x*. Оптимальному решению x* соответствует последовательность состояний s*, определенная в соответствии с пунктами 3 и 4 описания метода ДП. #
Таким образом, метод динамического программирования корректно решает задачу динамического программирования, если удается преодолеть трудности параметрической оптимизации. Ниже мы рассмотрим основные типы прикладных задач динамического программирования.
3.4. Статические распределительные задачи
3.4.1. Распределение ресурса
Предположим, что в некоторой экономической системе n процессов (технологических способов) конкурируют за ресурс, суммарное использование ко-
торого ограничено величиной K. Технологический способ j
, используя xj
единиц ресурса, порождает эффект fj(xj). Естественно предположить, что эти
функции монотонно возрастают.
Оценкой эффективности распределения ресурса является суммарный эффект. Нужно найти самое эффективное распределение ресурса.
Пусть x = (xj | j
F(x) =
)T. Тогда задача формализуется следующим образом:
→ max при условиях
≤ K, x ≥ 0n.
Представим процедуру выбора управления x как многошаговую, считая,
что на шаге j определяется значение xj, количество ресурса, используемое способом j. Пусть sj ― нераспределенный остаток ресурса после шага j. Эта величина характеризует состояние системы в начале шага j + 1. Положим s0 = K
(наличие ресурса в начале шага 1).
Запишем фазовое уравнение: sj = s
– xj (остаток ресурса после шага j ра-
j–1
вен остатку ресурса после предыдущего шага за вычетом количества, предоставленного способу j). Множество управлений, допустимых на шаге j, имеет
вид Xj(s
) = [0, s
j–1
]. До шага j + 1 может быть распределено любое количество
j–1
ресурса от нуля до K, поэтому множество состояний, возможных в начале шага
j + 1, имеет вид Sj = [0, K].
Условие задачи не ограничивает множество терминальных состояний, поэтому можем считать, что Sn = R. Впрочем, из монотонности функции fn следует, что в оптимальном плане ресурс будет использован полностью, тогда sn = 0.
Эквивалентная формулировка задачи:
41
Это частный случай задачи (28) – (29), предположения 9 – 12 выполнены с
)(
1
*
nn
sZ
)(
1
*
nn
sx
)(
1
*
nn
sZ
1,1 n
)(
1
*
jj
sZ
)(
1
*
1 jjj
xsZ
)(
2
*
1 nn
sZ
n,1
*
j
x
*
r
x
)(
1
*
nn
sZ
)0(
*
n
Z
)(
12
*
nnn
xsZ
)(
2
*
1 nn
sZ
)(
2
*
nn
sZ
)0(
*
n
Z
)(
2
*
nn
sZ
)0(
*
1n
Z
)(
2
*
1 nn
sZ
1,1 n
)(
1
*
jj
sZ
)(
1
*
1 jj
sZ
)0(
*
j
Z
)(
1
*
jj
sx
очевидностью, следовательно, можем применить метод ДП.
Уравнение Беллмана для шага n:
Из монотонности функции fn следует, что
Уравнение Беллмана для шага j
= max{fj(xj) +
= max{fn(xn) | 0 ≤ xn ≤ s
= s
n–1
и
| 0 ≤ xj ≤ s
j–1
}, s
[0, K].
j–1
}, s
n–1
= fn(s
n–1
n–1
).
[0, K].
Это уравнение, вообще говоря, не решается формульно, в отличие от уравнения
для шага n. Уже для шага n – 1 получаем
0 ≤ x
n–1
≤ s
}. Для аналитического решения этого уравнения необходимы более
n–2
= max{f
n–1(xn–1
) + fn(s
n–2
– x
n–1
) |
сильные предположения о функциях fj.
Если аналитическое решение уравнений Беллмана невозможно, то обычно
предполагают, что ресурс распределяется дискретными «порциями» , причем
K = N (N ― натуральное число). Тогда
Sj = {0, , 2,…, K}, Xj(s
и уравнение Беллмана для j < n при каждом s
всех xjXj(s
j–1
).
) = {0, , 2,…, s
j–1
j–1Sj–1
можно решать перебором
j–1
},
Задача упрощается, если функции fj выпуклы.
Теорема 3.4. Предположим, что задача (34) удовлетворяет следующим
условиям: все функции fj выпуклы и fr(K) = max{fj(K) | j
j r и
= K.
}. Тогда
Доказательство
1.
= fn(s
) ― выпуклая функция по условию и
n–1
= 0. Из утвер-
ждений (е) и (г) теоремы 2.10 следует выпуклость функции
Тогда при любом s
Z
n–1(xn–1
n–2Sn–2
, s
) = f
n–2
максимум Z
n–1(xn–1
n–1(xn–1
) +
, s
) по x
n–2
n–1
.
[0, s
] достигается
n–2
на одном из концов промежутка1. Поэтому
= max{f
Ясно, что
следовательно,
= 0. Кроме того, обе функции в фигурных скобках выпуклы,
n–1
(0) +
, f
n–1(sn–2
) +
} = max{
, f
n–1(sn–2
― выпуклая функция по утверждению (д) теоремы
2.10.
Продолжая рассуждение, для j
= max{
, fj(s
по индукции докажем, что
j–1
)},
= 0 и
{0, s
j–1
= 0 при
)}.
}.
(1)
Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973 (следствие 32.3.1).
42
2. По доказанному
*
1
x
)(
0
*
1
sx
*
1
x
*
1j
s
*
j
x
*
1
x
*
1
s
*
2
x
)(
*
1
*
2
sx
*
r
x
*
j
x
n,1
n,1
n,1
n
j
jj
xf
1
)(
n
j
j
x
1
n
j
j
a
1
=
{0, K}. Если
= K, то
=
= 0 для всех j > 1.
Если же
что
= K для некоторого r и
3. Следовательно, Fn(K) = fr(K). Тогда fr(K) = max{fj(K) | j
= 0, то
= K,
=
{0, K}. Рассуждая по индукции, докажем,
= 0 для j r.
}, так как
Fn(K) ≥ fj(K) для всех j. #
Таким образом, при выпуклых функциях эффекта все доступное количество ресурса следует выделить одному способу – тому, который использует
этот ресурс с наибольшим эффектом. Заметим, что теорема 3.4 использует метод ДП для обоснования формульного решения задачи.
3.4.2. Распределение производства товаров (услуг)
Предположим, что товар (услугу) можно произвести n способами. Способ
j
производит xj единиц товара (услуги) с затратами fj(xj) и за рассматривае-
мый период может произвести не более aj единиц (aj ― мощность способа j).
Нужно распределить производство K единиц товара (услуги) между способами
так, чтобы минимизировать суммарные затраты. Будем считать, что функции
fj(xj) монотонно возрастают при xj[0, aj], fj(0) = 0 и fj(xj) = +∞ при xj > aj.
Пусть x = (xj | j
)T. Задача формализуется следующим образом:
F(x) =
→ min при условиях
= K, x ≥ 0n.
Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является выполнение неравенства
K ≤
.
Пусть на шаге j определяется значение xj, объем производства товара
(услуги) способом j. Состояние sj системы в начале шага j + 1 ― это нераспределенный объем производства после шага j. Положим s0 = K (нераспределенный
объем производства в начале шага 1). Производство в количестве K должно
быть распределено, поэтому после шага n система должна перейти в состояние
s = 0: Sn = {0}.
Фазовое уравнение имеет вид sj = s
– xj. Множество состояний, возмож-
j–1
ных в начале шага j + 1, описывается, как в предыдущей модели: Sj = [0, K].
Описание множества управлений, допустимых на шаге j, должно учитывать
мощность способа j: Xj(s
) = [0, min{s
j–1
, aj}].
j–1
Соответствующая задача ДП имеет вид
43
Fn(x, s0) =
n
j
jj
xf
1
)(
→ min при условиях
0 ≤ xj ≤ min{s
j–1
, aj} и sj = s
j–1
– xj для j
n,1
, sn = 0.
(35)
Уравнение Беллмана для шага n
)(
1*nn
sZ
)(
1
*
nn
sZ
)(
1
*
nn
sx
)(
1
*
nn
sZ
)(
1
*
nn
sZ
= fn(s
n–1
),
.если,существуетне
,если,
)(
1
11
1
*
nn
nnn
nn
as
ass
sx
(36)
1,1 n
)(
1*jj
sZ
)(
1
*
1 jjj
xsZ
1,1 n
n,1
1,1 n
;если)},()(),(min{
,если)},(),(min{
)(
11
*
11
*
1
111
*
1
1
*
jjjjjjjjj
jjjjjj
jj
asasZafsZ
assfsZ
sZ
(37)
= min{fn(xn) | 0 ≤ xn ≤ min{s
Из sn = s
случае будем считать, что
– xn следует, что xn = s
n–1
= fn(s
). Таким образом,
n–1
. Это невозможно, если s
n–1
= +∞. Если же s
Уравнение Беллмана для шага j
= min{fj(xj) +
| 0 ≤ xj ≤ min{s
Аналитическое решение уравнений Беллмана для j
, an}, sn = 0}, s
n–1
≤ an, то
n–1
, aj}}, s
j–1
[0, K].
n–1
> an. В таком
n–1
= s
[0, K].
j–1
возможно толь-
n–1
и
ко при дополнительных предположениях относительно функций fj. Если для таких предположений нет оснований, то обычно допускают, что товар (услуга)
производится неделимыми «порциями» , причем K = N и aj = nj для всех j
(N и nj для всех j ― натуральные числа). Тогда
Sj = {0, , 2,…, K}, Xj(s
) = {0, , 2,…, min{s
j–1
, aj}},
j–1
и уравнение Беллмана для j < n при каждом s
всех xjXj(s
j–1
).
j–1Sj–1
можно решать перебором
Задача упрощается при вогнутых функциях fj. Если ограничения способов
по мощности несущественны (например, K ≤ aj для всех j), то нетрудно доказать аналог теоремы 3.5: следует использовать только один способ, тот, который может произвести K единиц товара (услуги) с наименьшими затратами. Если же ограничения по мощности сохраняются, то удается только упростить
уравнения Беллмана.
Теорема 3.5. Допустим, что в задаче (35) для любого j
гнута на промежутке [0, aj]. Тогда, для j
,
функция fj во-
44
.)(если,существуетне
,)()()(иесли,
,)()(иесли,
,)()(если,0
)(
1
*
1
*
11
*
1
11
*
11
1
*
11
*
1
*
jj
jjjjjjjjjj
jjjjjjj
jjjj
jj
sZ
asZafsZasa
sfsZass
sZsZ
sx
(38)
Доказательство. По условию функция fj вогнута на [0, aj] для любого
n,1
)(
1
*
nn
sZ
)0(
*
1j
Z
)(
*
1 jj
sZ
n
jk
k
a
1
)(
1
*
1 jjj
xsZ
)(
1
*
1 jjj
xsZ
n
jk
k
a
1
s
j–1
[0,
n
jk
k
a
],
(39)
)(
1
*
jj
sx
)(
1
*
jj
sZ
)(
1
*
jj
sx
)(
1
*
jj
sx
)(
1
*
jj
sx
)(
1*jj
sZ
)(
1
*
jj
sx
)(
1
*
jj
sx
)(
1
*
jj
sZ
)(
1
*
1 jj
sZ
)(
1
*
1 jjj
asZ
)0(
*
j
Z
)(
1
*
jj
sZ
1
j
. Тогда из (36) следует, что функция
Допустим, что j < n и
Рассмотрим функцию Zj(xj, s
и вогнута на [0, aj], функция
гнута при
Тогда функция Zj(xj, s
то функция Zj(xj, s
xj = min{s
, aj}.
j–1
При любом s
Zj(xj, s
Если s
) достигает минимума по xjXj(s
j–1
≤ aj, то
j–1
) вогнута в области определения. Если
j–1
) конечна при некоторых xjXj(s
j–1
, которое удовлетворяет условию (39), вогнутая функция
j–1
{0, s
= 0, функция
sj[0,
) = fj(xj) +
j–1
0 ≤ s
} и
j–1
– xj ≤
j–1
конечна и вогнута на [0, an].
конечна и вогнута при
].
. Функция fj(xj) определена
по предположению определена и во-
.
), например, при
j–1
) на конце отрезка 0 ≤ xj ≤ min{s
j–1
j–1
определяется первой строкой форму-
, aj}1.
лы (37), причем первое значение в фигурных скобках возникает при
а второе ― при
= s
. Если же s
j–1
> aj, то
j–1
{0, aj} и
= 0,
опре-
деляется второй строкой формулы (37), причем первое значение в фигурных
скобках возникает при
Функция fj монотонно возрастает на [0, aj] и fj(s
= 0, а второе ― при
= aj.
) = +∞ при s
j–1
> aj, поэто-
j–1
му равенство (37) эквивалентно
Тогда
= min{
= 0 и функция
, fj(s
), fj(aj) +
j–1
}.
при условии (39) вогнута по утверждениям
(е), (г) и (д) теоремы 2.10.
Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973 (следствие 32.3.1).
45
Таким образом, по индукции доказано, что функция Zj(xj, s
)0(
*
j
Z
)(
1
*
jj
sZ
)(
1
*
jj
sZ
1,0 n
n,1
n,1
F(x) =
nk
kk
xс
1
→ max при условиях
n
k
kk
xw
1
≤ W, xk
k
m,0
для всех k.
(40)
1
ласти определения,
= 0, функция
определена и вогнута при усло-
) вогнута в об-
j–1
вии (39) и для нее справедлива формула (37).
Из предшествующих рассуждений очевидна справедливость первых трех
строк формулы (38). Если (39) не выполняется, то терминальное состояние 0 не
достигается из состояния s
j–1
и
= +∞. Это доказывает последнюю строку
формулы (38). #
Теорема 3.5 позволяет существенно сократить перебор в задаче распределения производства с вогнутыми функциями затрат.
Следствие 3.4. В условиях теоремы 3.5 множества Sj для j
ваются следующим образом: S0 = {K}, Sj = {0}{s
s
j–1Sj–1
, s
> aj} для j > 0. При этом можно считать, что Xj(s
j–1
j–1
| s
j–1Sj–1
) = {0, min{s
j–1
}{s
описы-
– aj |
j–1
, aj}}.
j–1
Доказательство. Из (38) следует, что из всех возможных управлений
условно оптимальными могут быть только 0 и min{s
значения xj можно исключить из Xj(s
Тогда по формуле перехода либо sj = s
либо sj = s
– aj (при xj = aj < s
j–1
j–1
). #
j–1
).
(при xj = 0), либо sj = 0 (при xj = s
j–1
, aj}. Поэтому другие
j–1
≤ aj),
j–1
3.5. Задача о ранце
3.5.1. Основная модель
Линейная задача о ранце (ЛЗР) формулируется следующим образом. Есть
неделимые предметы n типов, mk предметов типа k
. Предмет типа k весит
wk > 0 и имеет ценность ck > 0. Нужно уложить в ранец набор предметов с суммарным весом не более W и максимальной суммарной ценностью.
Пусть xk ― число предметов типа k в загружаемом наборе, x = (xk | k
)T.
Формализация задачи:
Следствие 3.51. Опимальное решение задачи (40) существует при всех до-
пустимых сочетаниях параметров.
Если отказаться от условия целочисленности и считать, что xk[0, mk] для
всех k, то решение строится следующим образом: упорядочим типы предметов
по невозрастанию стоимости на единицу веса (ck /wk) и положим
Доказательство оставляем читателю.
46
x1 = min{m1, W/w1}, xk = min{mk,
k
k
j
j
w
xW
1
1
k
w
s
n,1
)(,0
1kk
sd
n
k
kk
xc
1
n,1
)(
1
*
nn
sZ
)(,0
1nn
sd
)(
1
*
nn
sx
1,1 n
)(
1
*
kk
sZ
)(
1
*
1 kkkk
xwsZ
)(,0
1kk
sd
H(x) =
n
k
kk
xw
1
→ min при условиях
n
k
kk
xc
1
≥ A, xk
k
m,0
для всех k.
(41)
} для k > 1.
Перейдем к решению ЛЗР в виде (40) методом ДП.
На шаге k определяется значение xk, число загружаемых предметов типа k.
Состояние s
зованная до шага k. Тогда фазовое уравнение имеет вид sk = s
системы в начале шага k ― это «грузоподъемность», не исполь-
k–1
– wkxk. Положим
k–1
s0 = W. В задаче нет ограничений на состояние системы после шага n, может
считать, что Sn = [0, W].
Обозначения
[x] — целая часть числа xR, наибольшее целое число, не превосходящее x.
dk(s) = min{mk,
} для k
и sR.
Множество управлений, допустимых на шаге k, если в начале шага система
находится в состоянии s
k–1
Xk(s
k–1
) =
.
Множество Sk состояний, возможных в начале шага k + 1:
Sk = {s – wkxk | sS
, xkXk(s)} при k > 0, S0 = {W}.
k–1
Задача ДП, соответствующая задаче (40), имеет вид
Fn(x, W) =
Уравнение Беллмана для шага n:
отсюда
Уравнение Беллмана для шага k
→ max при условиях xkXk(s
= dn(s
n–1
).
= max{ckxk +
) и sk = s
k–1
= max{cnxn | xn
| xk
– wkxk для k
k–1
} = cndn(s
}.
n–1
.
),
Множества Sk для всех k и Xk(s) для всех k, s конечны, поэтому уравнения Беллмана решаются перебором.
3.5.2. Обратная задача о ранце
Допустим, что при исходных данных разд. 3.5.1 нужно составить самый
легкий набор предметов с суммарной ценностью не менее A:
Здесь переменные интерпретируются, как в задаче (40). Это обратная задача о
ранце (ОЗР).
47
Следствие 3.61. Задача (41) разрешима, если и только если
n
k
kk
nc
1
k
с
s
n,1
)(,0
1kk
sg
Hn(x, A) =
n
k
kk
xw
1
→ min при условиях
xkXk(s
k–1
) и sk = max{0, s
k–1
– ckxk} для k
m,1
, sn = 0.
(42)
)(
1
*
nn
sZ
= min{wnxn | xn
)(,0
1nn
sg
, s
n–1
≤ cnxn}.
(43)
)(
1
*
nn
sZ
)(
1
*
nn
sx
)(
1
*
nn
sx
)(
1*nn
sZ
1,1 n
)(
1*kk
sZ
}),0(max{
1
*
1 kkkk
xcsZ
)(,0
1kk
sg
≥ A.
Шаг k состоит в выборе значения xk. Будем считать, что состояние s
k–1
си-
стемы в начале шага k равно разности между величиной A и ценностью набора,
составленного до шага k, если эта разность положительна, в противном случае
s
= 0.
k–1
Отсюда получаем фазовое уравнение: sk = max{0, s
– ckxk}.
k–1
Обозначения
]x[ — минимальное целое число, не меньшее, чем xR.
gk(s) = min{nk,
Понятно, что Xk(s
} для k
) =
k–1
и sR.
, Sk = {max{0, s
– ckxk}| sS
k–1
, xkXk(s)}
k–1
при k > 0 и S0 = {A}. В конце шага n требуемая ценность должна быть накоплена, поэтому Sn = {0}.
Задача ДП, эквивалентная задаче (41), имеет вид
Предположим, что задачи (41) и (42) разрешимы.
Уравнение Беллмана для шага n
Если cngn(s
минимизация в (43) происходит на пустом множестве, значение
делено; положим
Уравнение Беллмана для шага k
n–1
) ≥ s
, то
n–1
= +∞.
= min{wkxk +
= cngn(s
n–1
) и
= gn(s
). В противном случае
n–1
не опре-
| xk
}.
Множества Sk для всех k и Xk(s) для всех k, s конечны, поэтому уравнения Беллмана решаются перебором.
3.5.3. Задача о выборе проектов
Предположим, что для каждого из n инвестиционных проектов указаны
необходимые затраты wk и ожидаемый эффект (например, прибыль) ck. Все про-
(1)
Доказательство оставляем читателю.
48
екты совместимы, поэтому выбор проектов для реализации ограничен только
n
k
kk
xc
1
n
k
kk
xw
1
)(
1
*
nn
sZ
;если,
,если,0
11nnn
nn
wsс
ws
)(
1
*
nn
sx
;если,1
,если,0
11nn
nn
ws
ws
1,1 n
)(
1
*
kk
sZ
.если)},(),(max{
,если),(
11
*
11
*
1
11
*
1
nkkkkkkk
kkkk
wswsZсsZ
wssZ
)(
1
*
kk
sx
случае.противномв1
),()(или если,0
1
*
11
*
11 kkkkkkkk
sZwsZсws
nk
kk
xw
1
nk
kk
xc
1
nk
k
c
1
величиной K доступных для инвестирования средств. ЛПР стремится получить
максимальный суммарный ожидаемый эффект.
Это частный случай ЛЗР при nk = 1 для всех k:
F(W) =
→ max при условиях
≤ K, xk{0, 1} для всех k.
Здесь xk = 1, если проект k выбран для реализации, иначе xk = 1.
В обозначениях подразд. 3.5.1 имеем
dk(s) = 1, если s ≥ wk, иначе dk(s) = 0;
Xk(s
Уравнение Беллмана для шага k
) = {0, 1}, если s
k–1
Sk = S
k–1
{s
=
– wk | s
k–1
≥ wk, иначе Xk(s
k–1
k–1Sk–1
, s
=
k–1
≥ wk};
k–1
) = {0};
=
Отсюда
=
.
Обратная задача: составить набор проектов, обеспечивающий суммарный
эффект не менее A с минимальными суммарными затратами. Это частный случай ОЗР при mk = 1 для всех k. Интерпретируя xk так же, как в предыдущей задаче, получим следующую модель:
H(x) =
→ min при условиях
≥ A, xk{0, 1} для всех k.
По следствию 3.6 необходимым и достаточным условием разрешимости
обратной задачи является неравенство
≥ A.
Если задача разрешима, то решение можно найти методом ДП. Для этого
опишем шаги процедуры и состояния системы, как в подразд. 3.5.2. Положим:
gk(s) = 1, если s > 0, иначе gk(s) = 0;
Xk(s
Sk = S
49
) = {0, 1}, если s
k–1
{max{0,s
k–1
– ck} | s
k–1
> 0, иначе Xk(s
k–1
k–1Sk–1
} для k > 0, S0 = {A}.
) = {0};
k–1
Уравнение Беллмана для шага n
)(
1
*
nn
sZ
.0если,
,0если,
,0если,0
1
1
1
nn
nnn
n
sc
csw
s
)(
1*nn
sx
.0если,определенне
,0если,1
,0если,0
1
1
1
nn
nn
n
sc
cs
s
1,1 n
)(
1
*
kk
sZ
.если)},(),(min{
,0если},),(min{
,0если,0
11
*
11
*
1
11
*
1
1
kkkkkkkk
kkkkk
k
cscsZwsZ
cswsZ
s
)(
1
*
kk
sx
)(
1
*
1 kk
sZ
)(
1
*
1 kk
sZ
)(
1
*
1 kkk
сsZ
)(
1
*
kk
sx
n,1
T,1
1,1 T
htk(x) ≤ gtk(x) для x ≥ 0 и всех t, k.
(44)
=
Соответственно, находим условно оптимальное управление
=
Уравнение Беллмана для шага k
=
Поэтому
s
= 0; 0 < s
k–1
В остальных случаях
= 0, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:
≤ ck и
k–1
≤ wk; s
> ck и
k–1
≤ wk +
= 1.
.
3.6. Распределение возобновляемого ресурса в динамике
Для определенности будем считать, что распределяемым и возобновляемым ресурсом являются денежные инвестиции.
3.6.1. Задача Вентцель
Предположим, что экономическая система может использовать n технологических способов в течение T лет. В начале периода система создает инвести-
ционный фонд K0. Технологический способ k
, получив в начале года t
инвестиции в размере xtk, дает в течение года прибыль gtk(xtk). В конце года
t
технологический способ k отчисляет сумму htk(xtk) в инвестиционный
фонд. Будем считать, что
В начале каждого года система выделяет технологическим способам инвестиции из накопленного инвестиционного фонда. Нераспределенная часть прибыли года t (вся прибыль при t = T) потребляется в конце года. Нужно так распределить инвестиции каждого года, чтобы максимизировать суммарное (за
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]