Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование механизмов средствами математического моделирования. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, полный алгоритм определения кинематических
1
B
1
B
X
1
B
Y
1
B
X
1
B
Y
1
B
X
1
B
Y
1
A
X
1
A
Y
1
A
X
1
A
Y
1
A
X
1
A
Y
B
X
1
B
X
1
B
Y
Y a
1
B
X
1
B
Y
Y a
0
2
B
X
2
B
Y
2
B
X
2
B
Y
2
B
параметров внутренней вращательной пары группы Ассура 2-го класса
4-го вида содержит решения (1.10), (1.11), (2.38), (2.40) и (2.42).
В случае частной постановки задачи, достаточно распространенной в практике исследования механизмов, параметры точки
,
,
,
,
можно задать постановкой задачи. Тогда алгоритм
–
рассматриваемой задачи будет содержать только системы уравнений
(1.10), (1.11), (2.40), (2.42).
Значительно более простой вид имеет алгоритм для неподвижного
горизонтального направляющего звена 4. Рассмотрим этот распространенный в практике проектирования случай.
2.2.7. Группа 4-го вида с неподвижным горизонтальным
направляющим звеном
Постановка задачи (рис. 2.9)
Дано:
,
4
Y Y
Определить:
4 4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
B
,
,
,
,
Рисунок 2.9 — Группа 2-го класса 4-го вида с неподвижным
горизонтальным направляющим звеном
Математическая модель
Система ограничений (2.36), налагаемая крайними поступательными кинематическими парами на точку
новки задачи имеет вид
31
, с учетом условий поста-
0
X Y Y X
2
B
BA
BA
X
Y
B
X
B
Y
2
B
X
2
B
Y
2
B
X
2
B
Y
С
X
С
Y
2
С
X
2
С
Y
2
С
X
3 3 3 3
, , ,
B B B B
X Y X Y
B B BA B B BA
2 1 2 1
Y
B B
2 4
0
. (2.43)
Вычислительный алгоритм
Продифференцировав систему (2.43) один раз и дважды по времени и разрешив полученные системы уравнений соответственно относительно проекций скорости и проекций ускорения точки
X X Y
B B B
2 1 1
X X Y X X Y Y X
B B B BA B B B A B B B A
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
1
Y
B
Y
B
2
2
Y
B
2
;
0
0
2.2.8. Группа 5-го вида
Постановка задачи (рис. 2.10)
4
,
Дано:
,
2
4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Определить:
, получим
.
,
,
Y
С
,
,
2
2
Y
2
B
1
3
4
4
C
2
Рисунок 2.10 — Группа 2-го класса 5-го вида
Математическая модель
Уравнения связей, налагаемых поступательными парами группы
на относительное движение звеньев 2–3, 3–4, в случае указанной постановки задачи имеют вид
32
0
0
X tg Y
4 4
B B
B X Y
3
B
B C BC
B C BC
X X Y
Y Y X
B C BC BC
B C BC BC
X X Y X
Y Y X Y
3
B
tg 0
tg 0
B B B B
3 2 1 2
X tg Y
B B B B
3 4 3 4
2
. (2.44)
4
Вычислительный алгоритм
Поскольку второе уравнение системы (2.44) содержит координаты
точки
4
;
, совпадающей с точкой
, определим проекции
скорости и проекции ускорения точки согласно уравнениям (1.10),
(1.11):
4 4
4 4
4 4
4 4
4
4
4 4
4 4
;
2
2
.
Продифференцировав систему (2.44) по времени и решая ее,
определим проекции скорости точки
X Y
B B B B
3 2 1 2
X Y
B B B B
3 4 3 2
:
2
. (2.45)
4
Тогда
где
Продифференцировав систему (2.44) по времени дважды учитывая, что
, получим:
42
33
AA
21
tgtg
42
tgAtgA
2241
tgtg
42
tg;tg
2
XYtgX
BBBBBB
2
XYtgX
BBBBBB
YXAYXA
4221
232323
cos
434343
cos
.
BBBB
4422
4
2
4
2
0
2
0
4
(2.46)
(2.47)
X
B
3
Y
B
3
2
4
Решение системы (2.47) относительно искомых проекций ускоре-
3
B
3
B
tg
90
)90(
tg
90
0
3
B
ния точки
где ;
имеет вид:
42
X
B
3
Y
B
3
21
2tg
XYXB .
2tg
BBBB
4344
cos
2
BB
21
tgtg
42
tgBtgB
tgtg
42
2322
cos
4
2
2
XYXB
BBBB
4
4
2241
Таким образом, полный вычислительный алгоритм определения
проекций скорости и проекций ускорения точки
(1.10), (1.11), (2.46), (2.48).
Обратим внимание на определенные неудобства решений (2.46),
(2.48) обусловленные свойствами функции
, входящей в данные вы-
, (2.48)
содержит решения
ражения. Если один из углов
или
2
использовать при этом решения (2.46), (2.48) нельзя. Оба
угла одновременно не могут быть равными
группа 5-го вида перестает существовать.
При
90
2
система (2.44) принимает вид:
3 2
0
X
B B
При
X tg Y
B B B B
3 4 3 4
90
4
:
X
4
.;0
BB
43
YtgX
2 BBBB
Алгоритм определения проекций скорости и проекции ускорения
точки
в каждом из двух частных случаях получим, выполняя с урав-
принимает значение
4
, поскольку при
. (2.49)
. (2.50)
2323
42
нениями систем (2.49) и (2.50) те же действия и в той же последовательности как и ранее относительно уравнений системы (2.44).
34
Рассмотрим достаточно распространенный частный случай группы
B
X
B
Y
2
B
X
2
B
Y
2
B
X
2
B
Y
Y a
0
0
0
0
3 3 3 3
, , ,
B B B B
X Y X Y
X
Y
3
B
0
0
3
B
3 2
0
B B
X X
3 2
0
B B
X X
5-го вида при
90
2
,
0
4
и неподвижном направляющем звене 4.
2.2.9. Группа 5-го вида с вертикальным направляющим
звеном внутренней пары и неподвижным горизонтальным
направляющим звеном крайней пары
Постановка задачи (рис. 2.11)
Дано:
Y
4
,
,
,
,
,
,
,
4
X
,
4
Y
,
4
X
4
Определить:
B
2
3
1
C
4
a
,
Рисунок 2.11 — Группа 2-го класса 5-го вида частный случай
Математическая модель
Математическое описание ограничений, налагаемых поступатель-
ными парами группы на точку
, является частным случаем системы
ограничений (2.49) т. е.
X
B B
3 2
Y
B B
3 4
. (2.51)
Вычислительный алгоритм
Решение системы (2.51) после ее дифференцирования один раз и
дважды по времени соответственно относительно проекций скорости и
проекции ускорения точки
имеют вид
Y
B
3
. (2.52)
Y
B
3
35
. (2.53)
2.2.10. Определение кинематических параметров
AB
BC
1
A
X
A
Y
A
X
A
Y
A
X
A
Y
C
X
C
Y
C
X
C
Y
C
X
C
Y
1
2
1
B
X
B
Y
B
X
B
Y
B
X
B
Y
Y
X
AB
произвольной точки жесткого звена по заданным параметрам двух
других точек этого звена
Ранее были рассмотрены математические модели и вычислительные алгоритмы определения кинематических параметров элементов
внутренних кинематических пар групп Ассура 2-го класса. Задачей кинематического анализа механизмов является определение параметров не
только этих, а и каких-либо других точек механизма.
Кинематические параметры точек механизма, не принадлежащих
элементам кинематических пар, можно определить после того, когда
будут определены параметры внутренних пар структурных групп. В результате этого для каждого звена станут известными параметры двух ее
точек, принадлежащих крайней и внутренней кинематической паре.
Рассмотрим, как определяются параметры произвольной точки
звена по известным параметрам двух его точек и заданной геометрий
взаимного расположения этих точек.
Если положение точки B относительно точек A и C задано двумя
дополнительными
задать коэффициент
1
и
2
, то, как видно из рис. 2.12, следует
взаимного расположения рассматриваемых
точек.
Постановка задачи (рис. 2.12)
Дано:
AC
,
Определить:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
B
C
Рисунок 2.12 — Размещение точек A, В и С, принадлежащих звену
B
,
AB
,
Если положение точки B задано дополнительным параметром
1
и алгебраическим углом , нет необходимости вводить коэф-
36
фициент взаимного размещения точек , поскольку
1
2
2
1
1
2 2 2
2 2 2
AB AB AB
BC BC BC
B A CA CA
X X k X L Y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
M X Y k M L M k
. В даль-
нейшем допускаем, что положение точки B относительно точек A и C
задано параметрами
,
, . Определение отрезка
при заданном
угле приведено в постановке задачи, на основании теоремы косинусов. Коэффициент взаимного размещения точек
, если последовательный обход точек A, В, С происходит по направлению движения
часовой стрелки (рис. 2.12), в противном случае
.
Математическая модель
Постановка рассматриваемой задачи ничем не отличается от постановки задачи исследования группы Ассура 2-го класса 1-го вида. Поэтому не будут отличаться и модели этих задач. т. е.
X Y
X Y
222
CACABC
, (2.54)
cos2
21
где
1
YX , находим по теореме
косинусов.
Вычислительный алгоритм
Согласно вышесказанному вычислительный алгоритм определения координат точки B в решаемой задаче также ничем не отличается
от алгоритма решения системы (2,10):
1
2
M
1
2
M
(2.55)
;
где
Y Y k Y L X
B A CA CA
CA CA AB BC AB
; ( )/ 2;
Формально, если точки A, В и С не лежат на одной прямой, алгоритмы определения проекций скорости точки В (2.12) и проекций
ускорений этой точки (2.14) можно использовать в решаемой задаче.
Если точки A, В и С лежат на одной прямой, приведенные алгоритмы
использовать невозможно – знаменатель уравнений равняется нулю.
Жесткое звено отличается от группы 1-го вида тем, что в нем расстояния между какими-либо двумя точками остается неизменным и не
37
зависит от времени, чего не наблюдается для случая группы Ассура 1-го
B A CA CA
X X k X L Y
B A CA CA
X X k X L Y
В
A
X
A
Y
A
X
A
Y
A
X
A
Y
C
X
C
Y
C
X
C
Y
C
X
C
Y
AB
AC
B
X
B
Y
B
X
B
Y
B
X
B
Y
ACC
ABB
.
CA AC
BA AB
вида. Поэтому алгоритм определения проекций скорости точки и проекций ускорения точки В жесткого звена могут отличаться от (2.12) и
(2.14). Продифференцировав систему (2.10) один раз и дважды по времени получим соответственно:
Y Y k Y L X
B A CA CA
Y Y k Y L X
B A CA CA
1
2
M
1
2
M
1
2
M
1
2
M
(2.56)
(2.57)
Воспользовавшись уравнениями систем (2.56) и (2.57), можно
определить проекции скорости и проекции ускорения произвольной
точки В жесткого звена при любом взаимном расположении точек A,
и С.
Рассматривая частные случаи, когда точки A, В и С твердого тела лежат на одной прямой системы уравнений (2.10), (2.55), (2.56),
(2.57) можно существенно упростить. Рассмотрим этот случай.
Постановка задачи (рис. 2.13)
Дано:
Определить:
,
,
,
,
,
,
,
,
Математическая модель
Из подобия треугольников
X
X
Y
CA AC
Y
BA AB
,
38
,
,
,
,
,
,
,
,
,
и
следует:
(2.58)
X
Y
C
AB
AC
AB
AC
AB
AC
B
A
B' C'
Рисунок 2.13 — Размещение точек A, В и С жесткого звена на одной
прямой
Вычислительный алгоритм
X X X
B A CA
Y Y Y
B A CA
AB
AC
(2.59)
X X X
B A CA
Y Y Y
B A CA
X X X
B A CA
Y Y Y
B A CA
AB
AC
AB
AC
(2.60)
(2.61)
Напомним, что для жесткого звена с известными параметрами ,
,
любой точки A этого звена, кинематические параметры любой его
точки B, расположенной на расстоянии , определяется уравнениями
(1.8), (1.9), (1.10), (1.11).
39
2.3. Кинематический анализ плоских рычажных механизмов
0
0
0
0
0
0,
C
X
C
Y
0
0
0
0,
Y a
0
0,
OA
AB
DC
BC
1
1
A
X
,
A
Y
A
X
,
A
Y
A
X
A
Y
B
X
,
B
Y
B
X
,
B
Y
B
X
B
Y
D
X
,
D
Y
D
X
D
Y
D
X
D
Y
E
X
E
X
E
X
E, F
координатным методом
Кинематический анализ плоских рычажных механизмов координатным методом рассмотрим на примере исследования механизма подачи заготовок, представленного на рисунке 2.14
Постановка задачи (рис. 2.14)
X
Дано:
,
C
Y
C
,
,
Определить:
,
X
O
,
, const
,
,
X
C
2
,
Y
,
,
B
O
,
Y
,
,
D
1
,
X
O
C
1
,
2
,
Y
O
,
E
,
2
,
5
3
Y
,
Y
,
X
,
E
Y
,
,
O
E
Y
O
t
,
,
,
,
22
,
,
,
,
6
2
a
A
2
O
1
1
X
4
C
Рисунок 2.14 — Кинематическая схема механизма подачи заготовок
Математическая модель
Математическая модель исследования механизма в целом в приведенной постановке задачи содержит математическое описание условий связей, налагаемых звеньями и кинематическими парами структурных групп, входящих в состав механизма, на элементы внутренних пар
этих групп, а также математические модели определения кинематических параметров точек присоединения следующих групп, если эти точ-
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]