Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование механизмов средствами математического моделирования. Учебное пособие
.pdf
2.2.2. Группа 2-го вида
A
X
A
Y
A
X
A
Y
A
X
A
Y
C
X
C
Y
C
X
C
Y
C
X
C
Y
AB
3
3
3
1
B
X
B
Y
B
X
B
Y
B
X
B
Y
23
r
.
3
tg
13
r
AB
r
2
B
Постановка задачи (рис. 2.4.)
Дано:
,
,
,
Определить:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
,
,
,
,
Рисунок 2.4 — Группа 2-го класса 2-го вида
Математическая модель
Уравнения математической модели кинематического анализа
,
группы 2-го вида содержат условия неизменности расстояния между
точками A и В жесткого звена 1 (рис. 2.4) и условия параллельности
вектора относительного перемещения звеньев
направляющему
звену 3:
2 2 2
X Y
BA BA BA
Y Y
B B B C
2 3 3 3
X X
B B B C
tg
3
2 3 3 3
(2.16)
Второе уравнение системы (2.16) можно преобразовать, исключив
из этой записи
как условие параллельности векторов
,
, эта
запись будет использована при определении проекций скорости и проекций ускорения точки
. На этапе определения координат точек
группы можно использовать только условия связей, налагаемых на эти
точки звеньями группы, а не парами. Поэтому запишем систему (2.16) в
виде
21
2 2 2
3
3
cos
2 2
AC AC AC
X Y
AC
AC
Y
X
0
AC
AC
Y
X
0
1
90
CBA
1
2
B
3
B
3
B
B C BC
B C BC
X X Y
Y Y X
B C BC BC
B C BC BC
X X Y X
Y Y X Y
2
B
0
0
X Y
BA BA BA
Y
BC
X
BC
tg
3
Вычислительный алгоритм
С учетом условий указанной постановки задачи решение системы
(2.17) относительно координат точки В имеет вид
X X
B C BC
Y Y
B C BC
sin
, (2.18)
где
(2.17)
;
BC AC AC
при
cos sin
3 1 3
arctg
X
фициент схемы сборки группы
случае
(рис. 2.4).
2 2 2
AC
; arctg
при
, если
X
AC
, коэф-
, в противном
;
Для определения проекции скорости и проекции ускорения точки
, необходимо знать проекции скорости и проекции ускорения сопря-
женной с нею точки
направляющего звена 3. Для точки
проекции
скорости определяются из уравнений (1.10), а проекции ускорений — из
уравнений (1.11). Тогда
3
3
3
3
3
3
3 3
3 3
;
2
2
.
Продифференцировав систему уравнений (2.16) по времени, определим проекции скорости
:
X X Y Y
B A BA B A BA
2 2
X Y Y X
B B BC B B BC
2 3 2 3
22
. (2.19)
Отметим, что в записи уравнений связей, налагаемых жестким
2
B
,
BC BA
BA BC BA BC
BA BC BA BC
X X Y Y
A BA A BA B BC B BC
A X X Y Y A X Y Y Y
2 ( ) 0.
2
B
,
BA BC BA BC
BA BC BA BC
X X Y Y
2 2 2 1 2 1
;
A BA A BA B A B A
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3
2 ( )
B BC B BC B B B C B B B C
звеном на проекции скорости или проекции ускорения точки, которая
является одной из сопряженных точек поступательной пары, необходимо обязательно указать номер звена, которому эта точка принадлежит.
Указывать в этом уравнении индекс звена другой точки, принадлежащей вращательной паре, не обязательно.
В уравнениях связей, налагаемых жестким звеном на координаты
точек, даже если они являются одной из сопряженных точек поступательной кинематической пары, указывать индекс не обязательно. Решение системы уравнений (2.19) относительно проекций скорости точки
имеет вид
X
B
2
Y
B
2
где
1 2
2 2 3 3
;
Продифференцировав систему (2.16) дважды по времени, получим
X X Y Y X Y
B A BA B A BA B A B A
2 1 2 1 2 1 2 1
X Y Y X X Y Y X
B B BC B B BC B B B C B B B C
2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3
Проекции ускорения точки
решения системы (2.21), такие:
X
B
2
Y
B
2
A X A Y
1 2
AY A X
X X Y Y
1 2
BC BA
2 2
, полученные в ходе совместного
B X B Y
1 2
BC BA
B Y B X
X X Y Y
1 2
BC BA
(2.20)
.
0
(2.21)
(2.22)
где
B X X Y Y X Y
1
B X Y Y X X Y Y X
2
Таким образом, полный алгоритм определения параметров внутренней кинематической пары группы Ассура 2-го класса 2-го типа содержит решения (2.18), (1.10), (1.11), (2.20), (2.22).
2 2
.
23
Если частной постановкой задачи заданы параметры точки
1
B
B
X
B
Y
2
B
X
2
B
Y
2
B
X
2
B
Y
2
B
A
X
A
Y
1
A
X
1
A
Y
1
A
X
1
A
Y
Y a
AB
1
0
0
2 2
B B B
X X X
Y Y Y a
2 2 2
( )
BA BA BA
Y a const
,
,
,
,
,
, — то алгоритм определения параметров
—
точки
будет включать лишь системы уравнений (2.20) и (2.22).
Вычислительный алгоритм определения кинематических параметров внутренней пары групп 2-го класса 2-го вида с вертикальным
или горизонтальным направляющим звеном имеет существенно более
простой вид. Рассмотрим один из таких случаев.
2.2.3. Группа 2-го вида с неподвижным горизонтальным
направляющим звеном
Постановка задачи (рис. 2.5)
Дано:
Y
B
2
Определить:
,
,
,
,
,
,
,
B
1
,
,
Y
B
2
, ,
,
ограничений (2.16), (2,17) принимает вид:
Рисунок 2.5 — Группа 2-го класса 2-го вида с горизонтальным
направляющим звеном
Математическая модель
С учетом конкретной постановки задачи
X Y
B
24
B B C
2 3 3
. (2.23)
система
Алгоритм определения кинематических параметров точки
2
B
2 2
( )
BA
BA
Y
X
2 1 2 1
B A B A
A
X
A
Y
1
A
X
1
A
Y
1
A
X
1
A
Y
1
0
0
X a
AB
2 2
, ,
B B B
Y Y Y
имеет вид
Вычислительный алгоритм
X X a Y
B A BA A
0
Y
B
X X Y
Y
B
B A A
2 1 1
0
2
; (2.25)
; (2.24)
X X Y
B A A
2 1 1
Y
0
B
2
Y
BA
X X
BA BA
2 2
X Y
. (2.26)
Решения (2.24–2.26) найдены из уравнений математической модели (2.23) соответственно без их дифференцирования и после дифференцирования один раз и дважды по времени.
2.2.4. Группа 2-го вида с неподвижным вертикальным
направляющим звеном
Постановка задачи (рис. 2.6)
Дано:
1
,
,
,
,
,
,
,
X
B
,
X
2
B
2
B
Определить:
,
Рисунок 2.6 — Группа 2-го класса 2-го вида с неподвижным вертикальным
направляющим звеном
25
Математическая модель
X X X a
2 2 2
( )
BA BA BA
X a const
2
B
2 2
( )
BA
BA
X
Y
2 1 2 1
B A B A
A
X
A
Y
1
A
X
1
A
Y
1
A
X
1
A
Y
B
X
B
Y
2
B
X
2
B
Y
2
B
X
2
B
Y
2
A
X
2
A
Y
2
A
X
2
A
Y
С учетом постановки задачи
чений (2.16), (2,17) примет вид:
X Y
Вычислительный алгоритм
Алгоритм определения кинематических параметров точки
имеет вид
X
0
B
Y Y a X
B A BA A
X
B
2
Y Y X
B A A
2 1 1
B B C
2 3 3
B
0
система ограни-
. (2.27)
(2.28)
(2.29)
X
Y Y X
0
B
2
B A A
2 1 1
2 2
BA
X Y
X
Y Y
BA BA
. (2.30)
Решения (2.28–2.30) найдем из уравнений математической модели
(2.23) соответственно без их дифференцирования и после дифференцирования один раз и дважды по времени.
2.2.5. Группа 3-го вида
Постановка задачи (рис. 2.7)
Дано:
Определить:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
26
Рисунок 2.7 — Группа 2-го класса 3-го вида
2
A
0
0
0
2
A
AB AB
AB AB
A X A Y
B AB B AB A AB A AB
A X X Y Y A X Y Y Y
2 ( ) 0.
Математическая модель
Уравнения связей, налагаемых на точку
жестким звеном 2 и
поступательной парой, имеют вид:
X Y Y X
2 2 2
X Y
BA BA BA
A A AB A A AB
2 1 2 1
. (2.31)
Вычислительный алгоритм
Продифференцировав систему (2.31) по времени, получим систему алгебраических уравнений:
X X Y Y
A B AB A B AB
2 2 2 2
X Y Y X
A A AB A A AB
2 1 2 1
, (2.32)
решение которой относительно проекций скорости точки
X
A
2
1 2
X Y
2 2
AB AB
A Y A X
2
1 2
2 2
X Y
AB AB
Y
A
имеет вид:
(2.33)
где
1 2
2 2 1 1
Продифференцировав систему (2.31) по времени дважды,
получим:
X X Y Y X Y
A B AB A B AB A B A B
2 2 2 2 2 2 2 2
X Y Y X X Y Y X
A A AB A A AB A A A B A A A B
2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2
;
2 2
.
0
(2.34)
27
Проекции ускорения точки
2
A
,
AB AB
AB AB
B X B Y
2 2 2 2 2 2
;
B AB B AB A B A B
1 1 2 1 2 2 2 1 2 2
2
A
2
A
1
A
1 1 1 1
, , , , ,
A A A A A A
X Y X Y X Y
4 4 4 4
, , , , ,
C C C C C C
X Y X Y X Y
1 1 1 4 4 4
, , , , ,
3 3 3 3
, , , , ,
B B B B B B
X Y X Y X Y
2 3
B B
1
B
стему уравнений (2.34):
находим разрешая совместно си-
X
A
2
1 2
B Y B X
2
1 2
2 2
2
Y
A
где
B X X Y Y X Y
1
B X Y Y X X Y Y X
2
A AB A AB A A A B A A A B
2 2
X Y
AB AB
2 2
X Y
AB AB
(2.35)
.
Решения (2.33), (2.35) — это алгоритм определения проекций скорости и проекций ускорения элемента (точки
) внутренней кинемати-
ческой пары группы Ассура 2-го класса 3-го вида. Координаты точки
, смежной с точкой
, равны координатам геометрической точки A,
заданным постановкой задачи.
2.2.6. Группа 4-го вида
Постановка задачи (рис. 2.8)
Дано:
,
Определить:
Рисунок 2.8 — Группа 2-го класса 4-го вида
Математическая модель
Уравнения связей между параметрами точки
, которая
принадлежит внутренней вращательной паре группы, и точками
и
28
4
B
, которые геометрически совпадают с точкой
2
B
21
r
24
r
AB
r
BC
r
0
0
2
B
1
4
.
1
B
4
B
B A BA
B A BA
X X Y
Y Y X
B A BA BA
B A BA BA
X X Y X
Y Y X Y
, однако принадле-
жат соответственно звеньям 1 и 4, являются скалярными записями
условий параллельности векторов относительного перемещения звеньев
,
соответствующим направляющим звеньям
X Y Y X
B B BA A A BA
2 1 2 1
X Y Y X
B B BC B B BC
2 4 2 4
. (2.36)
,
т. е.:
Как отмечалось, уравнения связей, налагаемых кинематическими
парами на элементы этих пар, можно использовать для определения координат смежных точек. Поэтому искомые координаты внутренней пары
определяем из уравнений связей (1.5), налагаемых на геометри-
ческую точку B направляющими звеньями 1 и 4 крайних пар группы:
Y
BA
tg
X
X
BA
Y
BC
BC
tg
(2.37)
Вычислительный алгоритм
Решение системы (2.37) относительно координат точки B имеет
вид:
XX
где
.
22
CACAAC
YY
cos
1
,sin
1
Y
X
CA
CA
arctgYX
2
(2.38)
ACAB
ACAB
)sin(
42
;
)cos(
14
Проекции скорости и проекции ускорений точек
ляют из уравнений (1.10), (1.11). Тогда
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
29
и
опреде-
;
2
2
;
B C BC
B C BC
X X Y
Y Y X
B C BC BC
B C BC BC
X X Y X
Y Y X Y
2
B
0
0
,
BA BC BA BC
Y X X Y
B BA B BA B BC B BC
A X Y Y X A X Y Y X
2 0
2 0.
2
B
;
,
BA BC BA BC
BA BC BA BC
Y X X Y
2 ( );
4 4 2 4 2 4 2 4 4 4
2 ( )
B BC B BC B B B C B B B C
4 4
4 4
4
;
4
4 4
4 4
Проекции скорости точки
4 4
4 4
определим из уравнений, получен-
2
2
.
ных после дифференцирования по времени системы уравнений (2.36):
X Y Y X
B B BA B B BA
2 1 2 1
X Y Y X
B B BC B B BC
4 2 4 2
. (2.39)
Решение системы (2.39) относительно искомых параметров имеет
вид:
X
B
2
A X A Y
1 2
AY A X
Y
B
2
1 2
Y X X Y
BA BC BA BC
BC BA
BC BA
(2.40)
где
1 2
1 1 4 4
;
.
Продифференцировав систему (2.36) по времени дважды, получим:
X Y Y X X Y Y X
X Y Y X X Y Y X
B B AB B B AB B B B A B B B A
2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1
B B BC B B BC B B B C B B B C
2 4 2 4 2 4 4 4 2 4 2 4
Решение системы (2.41) относительно проекций ускорений точки
имеет вид:
X
B
B X B X
1 2
2
BC BA
Y
B
2
где
B X Y Y X X Y Y X
1
B BA B BA B B B A B B B A
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
B X Y Y X X Y Y X
2
B Y B Y
Y X X Y
1 2
BC BA
.
(2.41)
(2.42)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]