Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Виртуальные лабораторные работы по теоретической механике. Версия 1. Учебное пособие
.pdf
4
1 1 1 2 2 3 3 4 4
4
1 2 3 4
1
;
kk
k
c
k
k
mx
m x m x m x m x
x
m m m m
m
4
1 1 1 2 2 3 3 4 4
4
1 2 3 4
1
.
kk
k
c
k
k
my
m y m y m y m y
y
m m m m
m
1
m
2
m
3
m
4
m
11
( , ),xy
22
( , ),xy
33
( , ),xy
44
( , )xy
1
,C
2
,C
3
,C
4
C
21
xx
34
0xx
1 1 1
1 2 3 4
( ( )) 0 0
0.
c
m x x
x
m m m m
Рис. 7. Механическая система из спички,
пробки и вилок
Случай 1 – вилки воткнуты симметрично. Выберем систему координат, связанную со спичкой (рис. 8). Координаты центра тяжести механической системы, состоящей из четырех тел, определяются формулами:
Здесь
=
– массы вилок;
центров тяжести соответственно вилок, пробки и спички. В силу
симметрии
,
поэтому
– масса пробки;
– координаты точек
,
21
– масса спички;
Рис. 8. Центр тяжести выше опоры
c
y
31
/mm
41
/mm
21
()yy
1 1 1 3 1 3 4 1 4
1
1
1 3 1 4 1
( ( / ) ( / ) )
2
(1 1 / / ) 2
c
m y y m m y m m y
y
yy
m m m m m
x2 O x1
C
1
C
4
y
3
yc
x
y
1
C
C
2
C
3
y
4
y
Для упрощения определения координаты
спичка намного легче вилки:
том симметрии
получим:
<< 1,
учтем, что пробка и
<< 1. Тогда с уче-
Таким образом, центр тяжести С всей системы лежит на середине
отрезка С1С2, который параллелен оси x.
Если вилки воткнуты широко в стороны (см. рис. 8), то линия их
центров тяжести С1С
окажется выше оси x и общий центр тяжести С
2
будет выше точки опоры О. Состояние равновесия будет неустойчивым, и конструкция упадет.
Если вилки воткнуть менее размашисто (см. рис. 9), т.е. так,
что линия С1С2 окажется ниже оси х, тогда общий центр тяжести
окажется ниже точки опоры О, и вся конструкция будет устойчиво
стоять.
Случай 2 – вилки воткнуты несимметрично, причем правая оказалась ближе к горизонтали (см. рис. 10). В каком положении уравновесится конструкция?
22
Рис. 9. Центр тяжести ниже опоры
С1
С2
x
y
yc
y1
С
О
XC
x
X1
X2
YC
Y2
Y1
y
C1
C2
C
Рис. 10. Вилки несимметричны. Центр тяжести ниже опоры
Свяжем систему координат со спичкой. В этом случае
х
> 0, х2 < 0, |х1| > |х2| , y1 < 0, y2 < 0.
1
23
Тогда
12
1 1 2 3 1 3 4 1 4
12
c
1 3 1 4 1
( ( / ) ( / ) )
0,
(1 1 / / ) 2 2
xx
m x x m m x m m x
xx
x
m m m m m
12
1 1 2 3 1 3 4 1 4
12
c
1 3 1 4 1
( ( / ) ( / ) )
0.
(1 1 / / ) 2 2
yy
m y y m m y m m y
yy
y
m m m m m
cc
cc
tg arctg .
xx
yy
Общий центр тяжести С окажется правее оси y. Вся конструкция
повернется вокруг точки опоры О таким образом, чтобы точка С оказалась строго под точкой О, т.е. линия ОС станет вертикальной. На
практике мы увидим, что спичка наклонилась в сторону той вилки, которая дальше отходит от оси y, связанной со спичкой.
Угол отклонения оси y, связанной со спичкой, от вертикали OC
определяется по формуле
4. Порядок выполнения работы
1. Запустите на исполнение программу Mechanics. Для этого выбе-
рите в меню «Пуск» операционной системы программу Mechanics или
щелкните дважды по иконке Mechanics на рабочем столе компьютера.
2. При успешном подключении к серверу в окне управления лабо-
раторным практикумом выделите наименование лабораторной работы
«Спичка. Определение условий устойчивого равновесия» щелчком
левой кнопки мыши, а затем щелкните по кнопке «Подключиться к
лабораторной работе». Откроется окно виртуального стенда выбранной работы (рис. 11). Открыть это окно можно также двойным щелчком левой кнопки мыши по наименованию лабораторной работы. Слева в верхней части окна находится индикатор «Состояние системы
сил», на котором схематично показана система, состоящая из пробки 1, спички 2 и вилок 3а и 3б.
24
10
12
14
11
9
7
8
4
5
6
1
3а
1
3б
2
9
5
6
9
13
7
Рис. 11. Окно виртуального стенда
В соответствии с заданием устанавливаются: длина спички и
вилок, углы между вилками и спичкой, а также расстояния от центра
масс вилок до точки их крепления к пробке. На индикаторе
«Состояние системы сил» отображается как процесс изменения
параметров элементов системы, так и состояние системы после
проверки результатов расчета.
3. В поле 4 введите длину спички (не более 100 мм). Щелкните по
кнопке 7 «Вперед» в зоне «Следующий шаг».
4. В зоне 5 «Параметры левой вилки» введите:
значение длины левой вилки (не более 200 мм) – в поле «d1,
мм»;
значение расстояния от центра масс левой вилки до точки креп-
ления к пробке – в поле «L1, мм»;
значение угла между левой вилкой и спичкой – в поле «α1,
град».
Щелкните по кнопке 7 «Вперед» в зоне «Следующий шаг».
25
5. В зоне 6 «Параметры правой вилки» введите:
значение длины правой вилки (не более 200 мм) – в поле «d2,
мм»;
значение расстояния от центра масс правой вилки до точки креп-
ления к пробке – в поле «L2, мм»;
значение угла между правой вилкой и спичкой – в поле «α2,
град».
Щелкните по кнопке 7 «Вперед» в зоне «Следующий шаг».
6. Рассчитайте угол поворота системы и введите полученное значе-
ние в поле 9. Щелкните по кнопке 7 «Вперед» в зоне «Следующий
шаг».
Примечание: в зоне индикатора 13 в сжатом виде выводятся ука-
зания по порядку выполнения работы.
Примечание: если при выполнении действий по пунктам 3–5 была
допущена ошибка, можно вернуться к предыдущему пункту и внести
необходимые исправления. Для этого в зоне «Следующий шаг»
щелкните по кнопке 8 «Назад», измените введенные значения и продолжите выполнение работы.
7. Щелкните по кнопке 9 «ПРОВЕРИТЬ» для проверки результа-
тов расчетов.
8. Оценка правильности выполнения расчетов отображается в зоне
индикатора 10.
Примечание: на индикатор 10 выводится также сообщение о текущем выполненном действии.
9. Чтобы повторить эксперимент, щелкните по кнопке 11 «ПО-
ВТОРИТЬ».
Примечание: на индикаторе 12 отображаются сведения об общем
количестве выполненных в текущем сеансе работы экспериментов, а
также о количестве успешно выполненных экспериментов.
10. Щелкните по кнопке 14 «О ПРОГРАММЕ» для получе-
ния информации об установленной версии программного обеспечения.
Примечание: остальные кнопки управления в текущей версии программного обеспечения не используются.
11. Для завершения работы щелкните по значку «×» в правом
верхнем углу окна.
26
5. Контрольные вопросы [5, 6]
1. Какое положение твердого тела называется равновесным?
2. Какое равновесное положение твердого тела называется устой-
чивым?
3. Какое равновесное положение твердого тела называется не-
устойчивым?
4. Как выглядит формула расчета координаты x центра масс со-
ставной механической системы?
5. Как выглядит формула расчета координаты x центра тяжести
составной механической системы?
6. Как выглядит формула расчета координаты x центра тяжести
составной плоской фигуры?
7. При вычислении координат центра тяжести составной плоской
фигуры используются некоторые практические приемы. Что значит
метод симметрии?
8. При вычислении координат центра тяжести составной плоской
фигуры используются некоторые практические приемы. Что значит
метод составных площадей?
9. При вычислении координат центра тяжести составной плоской
фигуры используются некоторые практические приемы. Что значит
метод отрицательных площадей?
10. При отыскании центра тяжести сложной плоской фигуры мож-
но использовать метод подвешиваний. Что это означает? Сколько подвешиваний необходимо выполнить?
27
2
1
.
2
c
T mV
2
1
.
2
Z
TI
Лабораторная работа № 3
ПЕТЛЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТРЕБУЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
КРУГЛОГО ТЕЛА
1. Цель работы
Научиться применять две формы теоремы об изменении
кинетической энергии к анализу динамики твердого тела.
2. Сведения из теории
Динамика является одним из разделов теоретической механики, в
котором изучаются движения механических систем под действием
приложенных к ним сил. Скалярной мерой механического движения
является кинетическая энергия.
Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно,
равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости:
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела:
Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии поступательного движения со ско-
28
ростью центра масс этого тела и кинетической энергии вращательного
22
11
22
cc
T mV I
,A Ph
22
нач кон
[( ) ( ) ]
2
c
A
нач
кон
тр
A F s
0
()
Z
A M F d
()
Z
MF
c
MN
c
AM
движения вокруг оси, проходящей через центр масс:
. (1)
Для оценки действия, оказываемого силой на тело при некотором
его перемещении, вводится понятие о работе силы. Приведем формулы
вычисления работы некоторых сил при их действии на тело.
Работа силы тяжести равна
где h − перемещение точки приложения силы тяжести по вертикали.
Работа упругой силы равна
,
где с – жесткость, а
и
− соответственно начальное и ко-
нечное удлинение упругого элемента.
Работа силы трения при условии, что она постоянна, равна
,
где s – перемещение точки приложения силы трения.
Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна
,
где
ния Z. В случае качения тела возникает момент сопротивления каче-
нию, который определяется формулой
где – коэффициент трения качения тела о поверхность; N – нормальная реакция. В частном случае, когда сила N постоянна, работа
сил сопротивления качению телу равна
где – угол поворота тела.
– момент приложенной силы F относительно оси враще-
, (2)
, (3)
29
Многие задачи динамики твердого тела при определении скоростей
0
ei
kk
T T A A
.
ei
kk
dT
WW
dt
.
e
ck
Ma F
точек тела решаются с помощью двух теорем – теоремы об изменении
кинетической энергии и теоремы о движении центра масс.
Теорема об изменении кинетической энергии записывается в двух
формах – интегральной
(4)
и дифференциальной
(5)
Здесь А и W – cоответственно работа и мощность внешних (e) и внутренних (i) сил. Первая форма теоремы используется в том случае, когда требуется определить зависимость скорости от перемещения; вторая форма – когда требуется определить зависимость скорости от времени.
Теорема о движении центра масс определяется формулой
(6)
3. Описание лабораторного стенда
Рассмотрим ситуацию, когда круглое тело (цилиндр или шар)
скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости, с разгона въезжает в полый цилиндр и делает в нем петлю – полный
оборот.
Для количественной оценки поставим задачу в следующем виде
(рис. 1): с какой высоты h нужно отпустить круглое тело 1 радиусом r
без начальной скорости, чтобы оно прошло всю окружность 2 радиусом R, не отделяясь от нее? Кроме того, необходимо определить давление N тела 1 на кольцо 2 в точке D, для которой DOB =. Задачу следует решить в двух постановках: сначала без учета сопротивления качению, а затем учесть сопротивление качению с коэффициентом δ.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]