Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Виртуальные лабораторные работы по теоретической механике. Версия 1. Учебное пособие
.pdf
В данной работе рассматриваются плоские системы сил, которые
1
2
3
могут быть сходящимися (линии их действия пересекаются в одной точке), параллельными (линии их действия параллельны), либо произвольными. При изучении равновесия сходящейся системы сил можно обойтись без рассмотрения моментов и поэтому достаточно двух уравнений
равновесия. При изучении равновесия систем несходящихся сил вводится понятие момента силы относительно точки. Правило знаков для момента на плоскости вытекает из пространственной задачи – положительным моментом считается тот, который вращает тело против часовой
стрелки. Система из двух равных, параллельных и противоположно
направленных сил называется парой сил. Пару сил можно заменить моментом пары, который равен произведению модуля силы, составляющей
пару, на плечо пары или расстояние между линиями действия ее сил.
Если рассматриваемое тело взаимодействует с другими телами, которые ограничивают свободу его перемещения, то такие тела называют
связями, а силы взаимодействия несвободного тела и связей называют
реакциями связей. Всякое несвободное тело можно рассматривать как
свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями
этих связей.
3. Описание лабораторного стенда [4]
Для моделирования равновесия тела рассмотрим виртуальный
стенд (рис. 1), который состоит из рамки 1, рейки 2 и ряда связывающих их пружинных динамометров 3. Каждый динамометр установлен
с некоторым натяжением и выполняет роль силы, приложенной к рейке. Линия действия этой силы совпадает с продольной осью динамометра, а величина силы отвечает его показанию в килограммах.
Рис. 1. Виртуальный лабораторный стенд
11
Точка приложения силы – это место присоединения крючка динамо-
arctg( / ) arctg(100/146) 34.4CE CD
A
Y
B
X
B
Y
F
D
150
C
E
A
Y
A
Y
B
X
B
x
y
270
α
B
метра к рейке, а направления всех сил – от рейки. При этом пара сил
моделируется с помощью двух параллельно установленных динамометров с заданным расстоянием между осями и одинаковым и противоположно направленным натяжением.
Рассматривается равновесие рейки под действием приложенных к
ней сил. Количество и расположение динамометров (сил) может меняться. Три из них выполняют роль реакций отброшенных связей,
остальные – внешние силы.
4. Примеры
Пример 1
Рис. 2. Расчетная схема 1
Рейка AB (рис. 2) загружена одной силой F, приложенной в точке C
под углом к вертикали. F = 3.77 кГс, CD = 100 мм, CE =
= 146 мм,
делить опорные реакции рейки в точках А и В.
Решение. Устанавливаем четыре динамометра. Один в точке С
задает внешнюю силу, три динамометра моделируют связи в опорных
точках A, B. Намечаем оси координат (x, y), отбрасывая мысленно
связи, заменяем их силами реакций связей
12
. Требуется опре-
,
,
.
Cоставляем уравнения равновесия:
sin 0
iB
X X F
cos 0
i A B
Y F Y Y
270 150cos 16.5sin 0
BA
M Y F F
B
X
A
Y
B
Y
3
cos 0
iA
X X F
3
sin 0
i A B
Y Y Y N F
3
280 280 cos 16.5 0
AB
M M N Y F
N
B
A
X
A
Y
A
140
280
287
E
H
F
2
F
1
D
Y
B
16.5
α
F
3
α
x
y
α
,
,
.
Решая эту систему уравнений, находим опорные реакции:
= 2.13 кГс,
= 1.6 кГс,
= 1.51 кГс.
Пример 2
Рейка AB (рис. 3) загружена четырьмя силами F1 = 7.25 кГс, F2 =
= 7.25 кГс, F3 = 4.8 кГс, N = 1 кГс. При этом силы F1, F2 образуют
пару. Требуется определить реакции связей в точках А и В.
Решение. Устанавливаем семь динамометров – четыре для внешних
сил и три для реакций. Принимаем систему координат, обозначаем
реакции XA, YA, YB. Вычисляем угол α = 54.5° (как в примере 1).
Пару сил F1, F2 заменяем моментом
М = F
∙ DE = 7.25 ((287 – 140) – 16.5 / tg α ) sinα = 800 кГс · мм.
2
Cоставляем уравнения равновесия:
,
,
.
Рис. 3. Расчетная схема 2
13
Реакции связей находим, решая эту систему:
1
10
11
14
12
9
6
8
4
5
7 13
2
13
6
XA = 2.79 кГс, YA = 1.22 кГс, YB = 3.69 кГс.
5. Порядок выполнения работы
1. Запустите на исполнение программу Mechanics. Для этого выбе-
рите в меню «Пуск» операционной системы программу Mechanics или
щелкните дважды по иконке Mechanics на рабочем столе компьютера.
2. При успешном подключении к серверу в окне управления лабо-
раторным практикумом выделите наименование лабораторной работы
«Рамка. Определение реакций связей» щелчком левой кнопки мыши, а затем щелкните по кнопке «Подключиться к лабораторной
работе». Откроется окно виртуального стенда выбранной работы
(рис. 4). Открыть это окно можно также двойным щелчком левой
кнопки мыши по наименованию лабораторной работы.
Рис. 4. Окно виртуального стенда
Слева в верхней части окна изображена «Схема приложения сил»,
на которой показаны рамка 1, рейка 2 и динамометры 3. Количество
внешних сил может выбираться от одной до четырех с помощью кно-
14
пок 4 «Д1», …, «Д4». При щелчке по этим кнопкам на схеме приложения сил отображаются соответствующие им динамометры. Количество
динамометров, для которых определяются реакции связей, фиксировано и равно трем, этим динамометрам присвоены обозначения «Д5»,
«Д6»,«Д7». На «Схеме приложения сил» динамометры отображаются
отрезками прямых линий, цвета которых соответствуют цветам индикаторов, расположенных слева от кнопок выбора динамометров.
Точки приложения всех сил к рейке и рамке можно изменять,
щелкнув левой кнопкой мыши по концу динамометра (значок «+») в
точке приложения силы и, не отпуская кнопку мыши, переместить этот
конец в нужную позицию на балке или рамке.
3. В соответствии с заданием щелчком левой кнопки мыши по
кнопкам 4 выберите динамометры «Д1», …, «Д4» приложения внешних сил, в поля 5 введите значения сил F для выбранных динамометров. Щелкните по кнопке 6 «Вперед» в зоне «Следующий шаг».
4. Расположите динамометры Д1, ..., Д7 на «Схеме приложения
сил» (левой кнопкой мыши захватите конец динамометра (+) и, не от-
пуская, переместите на нужную позицию). Щелкните по кнопке 6
«Вперед» в зоне «Следующий шаг».
5. Рассчитайте реакции связей для динамометров Д5, Д6, Д7 и вве-
дите в поля 7 значения реакций Fc. Щелкните по кнопке 6 «Вперед» в
зоне «Следующий шаг».
Примечание: на индикаторе 13 в сжатом виде выводятся указания
по порядку выполнения работы.
Примечание: если при выполнении действий по пунктам 5–7 была
допущена ошибка, можно вернуться к предыдущему пункту и внести
необходимые исправления. Для этого в зоне «Следующий шаг»
щелкните по кнопке 8 «Назад», скорректируйте схему приложения сил
или измените значения сил и продолжите выполнение работы.
6. Щелкните по кнопке 9 «ПРОВЕРИТЬ» для проверки результа-
тов расчетов.
7. Оценка правильности выполнения расчетов отображается в поле
индикатора 10.
Примечание: в поле индикатора 10 выводится также сообщение о
текущем выполненном действии.
8. Чтобы повторить эксперимент, щелкните по кнопке 12 «ПО-
ВТОРИТЬ».
Примечание: на индикаторе 11 отображаются сведения об общем
количестве выполненных в текущем сеансе работы экспериментов, а
также о количестве успешно выполненных экспериментов.
15
9. Щелкните по кнопке 14 «О ПРОГРАММЕ» для получения ин-
формации об установленной версии программного обеспечения.
Примечание: остальные кнопки управления в текущей версии программного обеспечения не используются.
10. Для завершения работы щелкните по значку «×» в правом
верхнем углу окна.
6. Контрольные вопросы [5, 6]
1. Что такое «плоская сходящаяся система сил»? Сколько уравне-
ний равновесия можно составить для такой системы?
2. Что такое «пространственная сходящаяся система сил»? Сколько
уравнений равновесия можно составить для такой системы?
3. Что такое «плоская произвольная система сил»? Сколько урав-
нений равновесия можно составить для такой системы?
4. Сколько уравнений можно составить для плоской задачи равно-
весия одного твердого тела?
5. Сколько существует форм записи уравнений для плоской задачи
равновесия одного твердого тела?
6. Как называются эти формы записи уравнений равновесия?
7. Сколько уравнений можно составить для пространственной за-
дачи равновесия одного твердого тела?
8. Сколько уравнений можно составить для плоской задачи равно-
весия двух твердых тел? Как выглядят эти уравнения?
9. Сколько уравнений можно составить для плоской задачи равно-
весия трех твердых тел? Как выглядят эти уравнения?
10. О чем говорится в теореме Вариньона?
11. Как вычисляется момент силы относительно оси?
12. Куда направлен вектор момента силы относительно оси?
16
Лабораторная работа № 2
СПИЧКА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ
УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
С ОДНОЙ ТОЧКОЙ ОПОРЫ
1. Цель работы
Научиться определять положение центра тяжести системы
нескольких твердых тел и оценивать устойчивость равновесного
состояния конструкции с одной точкой опоры.
2. Сведения из теории.
Общее понятие об устойчивости равновесия [4]
Как заставить спичку стоять вертикально, если ее нельзя втыкать
или приклеивать к основанию? Этот маленький фокус иллюстрирует
общее понятие об устойчивом и неустойчивом состояниях равновесия
механической системы.
Для начала вспомним, что такое состояние равновесия. Это такое
положение механической системы, при котором геометрическая сумма
всех сил равна нулю, а также сумма моментов всех сил относительно
любой точки тоже равна нулю.
Равновесное состояние механической системы будет устойчивым,
если при любом малом отклонении система вернется в исходное положение.
Рассмотрим для определенности одно твердое тело под действием
плоской системы сил. Если тело свободно, то оно имеет три степени
свободы – два линейных перемещения по осям x, y и одно угловое
перемещение вокруг оси z. Если на тело наложено три связи, то они
ликвидируют все три степени свободы, и тело не сможет потерять сво-
17
его состояния равновесия. В этом случае говорить об устойчивости
Рис. 1. Математический
маятник
Рис. 2. Инверсный маятник
P
N
PS
P
N
P
N
P
N
PS
PN
P
N
равновесия бессмысленно. Если на тело наложены две связи со стороны неподвижного шарнира, то оно может вращаться вокруг него.
В этом случае получается механизм с одной степенью свободы, и этот
механизм может находиться в равновесии, которое может оказаться
либо устойчивым, либо неустойчивым, либо безразличным.
Рассмотрим математический маятник (рис. 1). На практике это
строительный отвес – сосредоточенная масса на нити. При отклонении
нити от вертикали система сил, действующая на нить с грузом, состоит
из трех векторов сил:
∑Fk = N + PN + P
= (N + PN) + P
S
= 0 + P
S
S
≠ 0,
т.е. сила PS будет возвращать груз к нижнему положению, в котором
система сил будет уравновешенной,
∑F
= N + P = 0,
k
Обратим внимание – здесь центр масс ниже точки подвеса.
Теперь рассмотрим стержень, стоящий вертикально на нижнем
торце (рис. 2). На практике это удержание в равновесном состоянии
18
длинного шеста на руке или голове. В исходном состоянии равновесия
система сил уравновешенная:
∑F
= N + P = 0.
k
При отклонении от вертикали система сил, действующая на стержень, будет неуравновешенной:
∑F
= N + PN + P
k
= (N + PN) + P
S
= 0 + P
S
S
≠ 0,
и сила PS будет уводить стержень от равновесного состояния. Здесь
центр масс находится выше точки опоры.
Из этих двух примеров можем сделать вывод: если механическая
система имеет только одну точку опоры или подвеса, то для устойчивого равновесия необходимо, чтобы центр масс системы находился
ниже этой точки.
3. Описание лабораторного стенда
Существует детская игрушка – птичка (рис. 3), которая остается в
горизонтальном положении, опираясь только на клюв. Даже если ее
качнуть, она все равно после некоторых колебаний вернется в горизонтальное положение. Птичка находится в устойчивом равновесном состоянии. Значит, на основании вышесказанного ее центр масс находится строго под клювом. При этом точка, в которой находится центр
масс, расположена вне тела птички, в воздухе. Как этого удалось добиться?
Если посмотреть на птичку сверху (рис. 4), то видно, что она симметрична относительно вертикальной плоскости, проходящей через
клюв. Значит, центр тяжести должен лежать в этой плоскости. Если бы
она была выполнена из однородного материала, то чисто визуально
видно, что в этом случае центр тяжести находился бы в районе основания крыльев.
При рассмотрении птички снизу на просвет (рис. 5) видим, что в
концах крыльев находятся утяжелители для смещения центра тяжести
вперед, в зону клюва. А при рассмотрении птички спереди (рис. 6)
видно, что центр тяжести за счет утяжелителей находится ниже точки
опоры клюва.
19
Рис. 3. Птичка в равновесии
Рис. 4. Птичка. Вид сверху
Рис. 5. Птичка. Вид снизу
Рис. 6. Птичка. Вид спереди
Таким образом, путем введения дополнительных грузиков удалось
отрегулировать положение центра тяжести птички.
Из рассмотренных примеров становится понятным, как поставить
спичку вертикально – для этого на нее надо навесить дополнительные
массы таким образом, чтобы центр масс полученной составной механической системы оказался ниже точки опоры. То есть получить аналог птички.
Можно собрать, например, такую механическую систему: сверху
на спичку наколоть пробку, а в нее воткнуть симметрично две вилки
(рис. 7). Рассмотрим два случая.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]