Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в теорию вероятностей. Учебное пособие-1
.pdf
того, что проведено ровно m опытов, вычисляется по формуле
p
(ξ )Pm=
=
m
⋅
qp
при
nm <
, и
(ξ )Pm=
=
1−m
q
при nm = .
1−
Задача 11.2. На экзамене преподаватель задает студенту не
более пяти вопросов. Экзаменатор прекращает задавать вопросы,
как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой из вопросов, равна
0,8. Составить закон распределения случайной величины ξ — числа
вопросов, которые задаст преподаватель студенту.
Решение. Величина ξ принимает возможные значения 1, 2, 3,
4, 5. Ясно, что ξ = 1, если студент не ответил на первый вопрос.
Значит, P(ξ = 1) = 1 – 0,8 = 0,2. ξ принимает значение 2, если сту-
дент ответил на первый вопрос и не ответил на второй, поэтому
P(ξ = 2) = 0,8 · 0,2 = 0,16. Далее находим P(ξ = 3) = (0,8)
= 0,128, P(ξ = 4) = (0,8)
3
· 0,2 = 0,0124. Преподаватель задает пя-
2
· 0,2 =
тый вопрос, если студент ответил на четыре предыдущих, следо-
4
вательно, P(ξ = 5) = (0,8)
= 0,4096. Легко проверить, что сумма
всех вероятностей равна единице. Запишем результат в таблицу.
ξ
p
1 2 3 4 5
0,2 0,16 0,128 0,1024 0,4096
Этот пример знакомит нас с геометрическим распределением
вероятностей.
Биномиальное распределение
Биномиальным
называют закон распределения дискретной
случайной величины, описывающей число появления некоторого
события А в n независимых испытаниях с двумя исходами. Если
событие А в каждом из испытаний наступает с вероятностью p, то
вероятность того, что А в n испытаниях произойдет ровно m раз,
вычисляется по формуле
(ξ )
Pm= =
n
C
m
n
mnmqp−
, где q = 1 – p.
ξ
0
q
n
С
1
n
⋅⋅
qp
n
…
…
11 −
Cpq
m
mmnm
n
−
…
…
p
п
n
71
Соответствующее такому ряду распределение дискретной
случайной величины называется биномиальным.
Биномиальное распределение имеют, например, такие случайные величины: число гербов, выпадающее при п бросаниях монеты; число попаданий в цель при п выстрелах (если вероятность
попадания при одном выстреле не меняется).
Задача 11.3. Пусть монета бросается 4 раза, а случайная вели-
чина ξ — это число выпавших гербов. Составить закон распределения случайной величины.
Решение. Для
ξ
возможными значениями являются числа 0, 1,
2, 3, 4. Вероятности, с которыми принимаются эти значения, вычисляются по формуле (6.1) (с. 36 гл. 6):
)(mP
n
n
m
C
=
mnmqp−
, где
p = q = 1/2, поскольку мы находимся в условиях схемы Бернулли.
Находим эти вероятности:
41
n
4
4/1)2/1()1(
== CP
,
P
n
8/3)2( =
,
P
40
n
,
4/1)3( =
n
P
n
4
, и запи-
16/1)4( =
16/1)2/1()0(
== CP
сываем случайную величину в виде таблицы.
ξ
p
0 1 2 3 4
1/16 1/4 3/8 1/4 1/16
Такое распределение вероятностей является биномиальным.
Распределение Пуассона
,
Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то для вычисления вероятностей в этом случае используют приближенную формулу
m
(ξ )
где
λ np=
Pm e
(среднее число появления события), и говорят, что слу-
==
n
чайная величина распределена
λ
m
по закону Пуассона. (Последняя
λ
−
,
!
формула уже встречалась нам в теореме Пуассона.)
72
Ряд распределения Пуассона (синоним — закон Пуассона)
имеет вид:
ξ
p λ
0
−
e
λ e−⋅
1
λ
2 …
2
λ
2!
λ
−
e
…
m
m
λ
m
λ
−
e
!
…
…
Легко убедиться, что сумма вероятностей во второй строке
таблицы равна единице. Это следует из того, что сумма ряда
∞
λ/!
0
m
=
m
равна
m
λ
.
e
Поскольку вероятность «успеха» в одном испытании очень
мала, закон Пуассона называют также законом редких явлений.
Методами математической статистики установлено, что распределение Пуассона имеют такие случайные величины, как число
опечаток на странице машинописного текста, поступление вызовов на АТС в единицу времени, число покупателей в магазине
в определенный час и тому подобные.
Задача 11.4. Машинистка делает в среднем две опечатки на
трех страницах текста. Случайная величина ξ — число опечаток
на одной странице. Выдвинуть гипотезу о законе распределения ξ
и вычислить вероятность того, что на странице не будет ни одной
опечатки.
Решение. Представим себе работу машинистки над страницей
как повторные независимые испытания, проводимые по схеме
Бернулли: каждый печатный знак (из n штук на странице) может
быть напечатан верно или нет. Предположим, что вероятность опечатки в одном знаке постоянна и равна р. Она настолько мала, что
произведение λ = np = 2/3. Исходя из таких допущений, предпола-
гаем, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона
ξ
p
0
2
−
3
e
1
2
−
2
−
3
e
⋅
3
2 …
2
2
−
3
2!
2
−
3
e
…
m
2
−
3
!mm
2
−
3
e
…
…
73
Следовательно, искомая вероятность равна
Р(0) = е
–2/3
≈ 0,5145. Таким образом, с вероятностью 0,5145
(≈ 52%) на странице не будет ни одной опечатки.
Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим задачу о выборке данного состава. Пусть даны п
предметов, из которых ровно т отмечены. Все п предметов тщательно перемешаны. Наугад без возвращения выбираются l предметов из п. Рассмотрим случай, когда l ≤ т и l ≤ п – т. Обозначим
через X число отмеченных предметов среди l выбранных. Очевидно, что X — это дискретная случайная величина, имеющая множество значений {0, 1, ... , l}. Ряд распределения для X имеет вид
ξ
p
l
C
0
mnC−
l
n
…
…
C
k
m
C
C
k
kl
−
mn
−
l
n
…
…
l
С
m
l
C
n
Распределение дискретной случайной величины, соответствующее такому ряду, называется гипергеометрическим. Аналогичные формулы могут быть записаны для выборок, где содержатся
элементы трех и более сортов, а также для случая, когда l > т или
l > п – т. Важно, что мы «следим» только за одним из сортов.
Задача 11.5. В пакете перемешаны семена декоративных тыкв
разных сортов: двенадцать семян грушевидной, десять семян пупырчатой и пять семян круглой. Выбираем случайным образом
три семечка из этого пакета. Случайная величина ξ — число семе-
чек пупырчатой тыквы среди выбранных. Выдвинуть гипотезу
о законе распределения ξ и найти вероятность того, что выбрано
ровно одно семя пупырчатой тыквы.
Решение. Если предположить, что все сочетания из 27 по 3
равновозможны, то получим гипергеометрический закон распределения.
74
ξ
{
}
p
0
03
CC
⋅
10 17
3
C
27
1 2
12
CC
⋅
10 17
C
3
27
21
CC
⋅
10 17
3
C
27
3
30
CC
⋅
10 17
3
C
27
12
CC
Искомая вероятность равна
P
()
3
1
=
⋅
10 17
3
C
27
.
Задача 11.6 Изыскатель бурит скважины в садоводстве «Ла-
дога» до первого обнаружения чистой питьевой воды. Вероятность получить воду при каждом бурении постоянна и равна 0.1.
Случайная величина ξ — число сделанных скважин. Найти закон
распределения ξ и вероятность того, что будет сделано менее
40 попыток.
Решение. Если предположить, что попытки делаются незави-
симо друг от друга, то получаем стандартное геометрическое распределение с параметром р = 0,1.
ξ
p
1 2 …. 39
0,1 0,9·0,1 …. (0,9)
38
·0,1
Искомая вероятность равна
1, ... , 39 0,1 0,9 0,1 ... (0,9) 0,1()Р +⋅++ ⋅=
38
. Используя формулу
суммы для геометрической прогрессии, получим, что эта вероятность равна 1 – (0,9)39, что, примерно, равно 0,984.
Задача 11.7. Для группы, в которой 3 отличника, 12 студентов
имеют хорошие и отличные оценки, а 15 студентов имеют удовлетворительные оценки написать закон распределения случайной ве-
личины ξ.
Решение. Случайная величина
ξ
может принимать следующие
значения: 2, 3, 4, 5. Запишем закон распределения случайной вели-
ξ
чины
в виде таблицы:
ξ
p
2 3 4 5
0 0,5 0,4 0,1
В партии 10% нестандартных деталей. Наугад
отобраны 4 детали. Написать закон распределения дискретной
75
случайной величины ξ — числа нестандартных деталей среди че-
p
тырех отобранных.
Решение. Вероятность появления нестандартной детали
в каждом случае равна 0,1.
отобранных деталей:
1) Вообще нет нестандартных
2) Одна нестандартная
3) Две нестандартные детали
4) Три нестандартные детали
5) Четыре нестандартных детали
Найдем вероятности того, что среди
)0(
=P
4
!4
)1(
=P
4
!3!1
⋅
!4!0
⋅
31
=⋅
!4
!4
)2(
=P
4
!2!2
⋅
!4
)3(
=P
4
!1!3
⋅
!4
)4(
=P
4
⋅
!0!4
40
=⋅
2916,09,01,0
;
22
=⋅
13
0036,09,01,0
=⋅
04
Запишем результаты в виде таблицы (биномиальное распределение):
ξ
0 1 2 3 4
6561,09,01,0
0486,09,01,0
;
;
;
0001,09,01,0
=⋅
.
p
0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001
Задача 11.9.
В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных.
Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения
числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение. Запишем закон распределения случайной величины
ξ в виде таблицы (гипергеометрическое распределение):
ξ
0 1 2
02
CC
⋅
82
2
C
10
1
=
45
11
CC
⋅
82
2
C
10
16
=
45
20
CC
⋅
82
2
C
10
28
=
45
Задача 11.10.
Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон
распределения случайной величины ξ — числа появлений шестерки.
76
Решение: Запишем закон распределения случайной величины
p
ξ в виде таблицы (биномиальное распределение):
ξ
p
0 1 2 3
125
216
25
72
15
216
1
216
Задача 11.11. Устройство состоит из трех независимо работа-
ющих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном
опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших
элементов в одном опыте.
Решение. Запишем закон распределения случайной величины
ξ
в виде таблицы (биномиальное распределение):
ξ
0 1 2 3
3
0,9 0,729=
12 2
3
3 0,1 0,9 0, 243Cpq =⋅ ⋅ =
0,027
0,001
Задача 11.12. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность
попадания для каждого выстрела равна 0,4. Составить закон распределения числа попаданий.
Решение. По формуле Бернулли:
2304,0
=P
5,3
5,2
5!
P =⋅=
0,5
0! 5!
⋅
,
!5
=P
!3!2
⋅
05
0,4 0, 6 0,0778
32
3456,06,04,0
=⋅
.
,
01024,0
=P
5,5
!5
=P
5,1
!4!1
⋅
,
0768,0
=P
5,4
41
2592,06,04,0
=⋅
Запишем результаты в виде таблицы (биномиальное распреде-
ление):
ξ
p
0 1 2 3 4 5
0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,01024
,
,
77
ξ
M
x
M
12. Числовые характеристики
дискретных случайных величин
При изучении одномерной случайной величины возникает
проблема предсказания среднего значения М, которое она может
принимать при п измерениях. Кроме того, для случайных величин,
имеющих большое количество возможных значений, актуальна
проблема выделения «наиболее вероятной» части из всего множества значений. Последняя проблема может быть более четко сформулирована следующим образом: определить окрестность М, в ко-
торую значения случайной величины попадут с определенной
вероятностью (например, 0,99). Для ответа на поставленные вопросы используются так называемые числовые характеристики
случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Здесь мы рассмотрим их определения для случайных величин дискретного типа.
Математическое ожидание
Пусть дискретная случайная величина ξ имеет известный закон распределения:
p
х
1
р
1
х
2
р
2
…
…
х
п
р
п
Определение 12.1. Математическое ожидание
случайной
величины ξ обозначается M(ξ). Оно характеризует среднее значение этой величины (ожидаемое значение). Если ξ принимает конечное число значений, то M(ξ) вычисляется по формуле
n
=⋅+⋅ ++⋅ =
(ξ)
pxp xp xp
11 2 2
...
nn
. (12.1)
ii
i
=
1
Если множество значений ξ конечно, то математическое ожидание (ξ)M представляет собой сумму нескольких чисел, следова-
тельно, всегда существует. Если же множество значений ξ счетно,
то (ξ)
78
представляет собой сумму числового ряда (бесконечно
много слагаемых). Такая сумма может быть не определена (ряд
M
x
M
M
M
расходится). В таком случае говорят, что математическое ожидание не существует.
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно
этой величине.
Если случайная величина ξ может принимать только одно зна-
чение а с вероятностью 1, то M(ξ) = а⋅1 = а.
Математическое ожидание суммы случайных величин
2.
равно сумме математических ожиданий этих величин.
Пусть ξ = x + y. Тогда
3.
Математическое ожидание произведения независимых
(ξ)MMx y=+
()
= () ()
xMy+ .
случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.
Случайные величины x и y принято называть независимыми,
если они являются численными характеристиками независимых
случайных событий. Если величины x и y независимы, то в обозна-
чениях, введенных выше, случайная величина
(ξ)
Постоянный множитель случайной величины можно вы-
4.
Mxy=⋅ = () ()
()
xMy⋅ .
ξ
y=⋅.
нести за знак математического ожидания.
Заметим, что это свойство является прямым следствием
свойств 1 и 3, так как
Приведем далее без доказательства
ния математического ожидания случайных величин
( ) () () ()
ax M a M x aM x=⋅= .
формулы для вычисле-
, имеющих
стандартные дискретные распределения:
1. Геометрический закон:
(ξ)M
1
=
,
p
2. Биномиальный закон: M(ξ) = n · p,
3. Закон Пуассона: M(ξ) = λ,
lm
4. Гипергеометрический закон:
M
(ξ)
⋅
=
.
n
В случае, когда закон распределения не является стандартным,
можно найти математическое ожидание по определению.
79
Дисперсия дискретной случайной величины
x
x
x
x
Пусть дискретная случайная величина ξ имеет известный закон распределения:
ξ
p
х
1
р
1
х
2
р
2
…
…
х
п
р
п
Пусть существует математическое ожидание M(ξ). Дисперсия
D(ξ) случайной величины ξ характеризует отклонение случайной
величины ξ от математического ожидания, то есть характеризует
разброс случайной величины относительно ее среднего значения.
Дисперсию можно было бы измерить с помощью суммы величин
(ξ)
Mp−⋅
()
ii
, но такая мера неудобна, поскольку отклонения мо-
гут принимать как положительные, так и отрицательные значения,
которые при суммировании сокращаются.
Определение 12.2. Дисперсия — математическое ожидание
2
случайной величины
( (ξ)) ( (ξ)) ... ( (ξ))
(ξ)D =
MpxMp xMp−⋅+−⋅++−⋅
112 2
ξξM− .
()
22 2
(ξ)D =
()
n
ii
i
=
1
2
nn
(ξ ξ )((ξ))
MMxM p
=−−
()
2
()
,
. (12.2)
Пользуясь свойствами математического ожидания, преобразуем формулу для вычисления дисперсии:
2
(ξ)D =
=
(ξ ξ )MM− =
()
22
(ξ ) 2 (ξ) (ξ) (ξ)MMMM−+
()
22
(ξ 2ξ (ξ) (ξ))MMM−+
22
=
(ξ ) (ξ)MM−
=
.
Следовательно, дисперсия может быть найдена так же по формуле:
22
(ξ)D =
(ξ ) (ξ)MM−=
n
i
=
1
2
p
ii
n
−
i
=
1
2
. (12.3)
p
ii
Формулой (12.3) удобно пользоваться при вычислении дисперсии на практике. Из этой формулы и свойств математического
ожидания вытекают следующие свойства дисперсии.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]