Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Автоматизация управления качеством тонколистового проката. Автоматизация управления свойствами тонколистового проката. Книга 1. Учебное пособие
.pdf
y
= a0 +
pj 1
aj xj,
(2.7)
y
= b0+b1x1+ b2x2+…+ bixi+ …+ bpxp+ b11x
1
2
+ b22x
2
2
+…+ bjjx
j
2
+…+
+bppx
p
2
+ b12x1 x2+ b13x1 x
3
+…,
(2.8)
MS(x) = Мi[∆Т(х), ε(х),Тн(х), Тв(х),Тох(х), tн, tв, tох]; (2.5)
MS(y) = Мj[σ
ост. г
(y), ε
(у), σ
(y), Тн(у), Тв(у), Тох(у), tн, tв, tох], (2.6)
ост. x
где MS – механические свойства металла; Мi, Мj – неизвестные функции
(виды зависимостей), i =1,…,I ; j =1,…,J; х, y - координата по длине и ширине
полос; ∆Т = Ткп - Тсм; Тн, Тв,Тох, tн, tв, tох – температура и время нагрева,
выдержки и охлаждения; ε- суммарное обжатие полосы при холодной
прокатке; σ
ост.г
, σ
– остаточные напряжения в горячекатаной и
ост.x
холоднокатаной полосе.
Далее перейдем к формальному аспекту построения математических
моделей, который включает структурный синтез (определение вида
зависимостей между функциями отклика и независимыми переменными) и
идентификации параметров (определение количественных оценок коэффициентов при независимых переменных при выбранных видах зависимостей). При
построении многопараметрических моделей с помощью методов
множественного линейного и нелинейного регрессионного анализа (МРА)
используют соответственно два вида зависимостей (2.7) - (2.8).
где а0, b
- свободные члены уравнения; аj, bi - коэффициенты модели (j =
0
1, ..., p - число факторов); y- вычисляемое, предсказываемое значение
функции отклика.
После выбора структуры модели производится идентификация ее
параметров. Известно несколько методов идентификации. Одним из наиболее
распространенных является метод наименьших квадратов (МНК) [25, 46 и др],
с помощью которого строят многомерные (многофакторные) зависимости.
41
Метод максимального правдоподобия (ММП) используется в случае любого
вида распределения наблюдаемых переменных [47]. ММП получил широкое
распространение благодаря своим хорошим асимптотическим свойствам:
состоятельность, асимптотическая нормальность. На практике используются
также метод минимального риска (ММР), наименьших отклонений (МНО),
ротатабельного центрального композиционного планирования (МРЦКП),
ортогонального центрального композиционного планирования (МОЦКП),
непрерывного оптимального планирования (НОП), байесовские оценки, и др.
[48].
Классический МРА, в основе которого лежит МНК, позволяет
максимально просто и с достаточной долей достоверности найти по данным N
опытов статистические оценки для неизвестных параметров ai с оценкой их
значимости по критерию Стьюдента. Метод также включает в себя
обязательную оценку достоверности и адекватности выбранной модели по
минимуму остаточной дисперсии и максимуму критерия Фишера.
На независимые (факторы модели) и зависимую (функция отклика)
переменные накладываются определенные условия, отражающие особенности
МРА и область возможных применений. Наиболее существенные из них
приведны ниже [45].
1. Число наблюдений должно быть в 10-30 раз больше числа неизвестных
факторов.
2. Диапазон изменения каждого независимого фактора должен быть
максимальным.
3. График остатков для модели должен иметь гауссовское распределение
(что подтвердит правильность выбора вида математической модели для
описания закономерной составляющей случайного процесса).
4. Наблюдения по каждому фактору стохастически независимы.
42
npnjnn
ipijii
pj
pj
pj
xxxxy
xxxxy
xxxxy
xxxxy
xxxxy
......
.....................
......
.....................
......
......
......
211
211
3332311
2222211
1112111
j
j
xy
n
i
jiji
yx
SS
xxyy
n
r
1
1
jm
jm
xx
n
i
jijmim
xx
SS
xxxx
n
r
1
1
Алгоритм решения
Для построения многопараметрической математической модели мы
предлагаем три алгоритма, схожих по сути, но отличающихся по форме и
содержанию базы исходных данных.
Алгоритм 1
Используется традиционный классический регрессионный и
корреляционный анализ [6, 25, 45 и др.].
Преимуществом алгоритма является высокая точность, но появляется
существенный недостаток – необходимо большое время обработки.
1. Загрузка исходных данных (например, файла данных измерений
показателей механических свойств и технологических величин,
определяющих режимы обработки металла на различных агрегатах цехов
горячей и холодной прокатки).
Матрица исходных данных имеет вид
(2.9)
2. Вычисление коэффициентов парной корреляции по формуле:
;
(2.10)
и заполнение матрицы коэффициентов парной корреляции по
следующему принципу:
43
1......
.....................
...1...
.....................
......1
......1
......1
21
21
22122
11211
22
xjxxxxxyx
xxxxxxyx
xxxxxxyx
xxxxxxyx
yxpyxyxyx
pppp
pjjjj
pj
pj
j
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
jj
j
xxyx
DD
D
r
p
11
1
,...,,
21
11
D
jD1
p
j
jj
xaay
1
0
ˆ
0
a
j
a
y
ˆ
(2.11)
3. Вычисление частных коэффициентов корреляции по формуле
где
,
, Djj - определители матриц образованные вычеркиванием
, (2.12)
соответствующих строк и столбцов; p - число факторов.
4. Проверка значимости коэффициентов парной корреляции.
5. Сравнение частных коэффициентов корреляции для коррелированных
факторов.
6. Исключение одного из коррелированных факторов с меньшим
значением частного коэффициента корреляции.
7. Задание независимых (факторы) и зависимых (отклики) переменных и
построение линейной формы многофакторного уравнения регрессии вида:
где
- свободный член уравнения;
, (2.13)
- коэффициенты модели;
предсказываемое значение; p - число независимых переменных .
-
44
XX
*
n
i
ip
n
i
ipij
n
i
ipi
n
i
ipi
n
i
ip
n
i
ijip
n
i
ij
n
i
iji
n
i
iji
n
i
ij
n
i
iip
n
i
iij
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
iip
n
i
iij
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
ip
n
i
ij
n
i
i
n
i
i
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxn
XX
1
2
11
2
1
1
1
11
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
21
1
2
1
1
1
1
1
12
1
1
2
1
1
111
2
1
1
*
......
.....................
......
.....................
......
......
......
1*
XX
n
i
ijj
n
i
ijj
xyca
10
ij
c
1*
XX
0
a
j
a
j
a
j
j
S
a
t
ˆ
j
a
S
jjостa
СSS
j
2
jj
С
2
ост
S
1
1
2
2
pn
yy
S
n
i
ii
ост
T
tt
),(
ˆ
a) Построение матрицы
имеющей вид:
,
(2.14)
в) Построение обратной матрицы
.
с) Вычисление коэффициентов уравнения регрессии по формуле
где
- элементы обратной матрицы
, (2.15)
8. Вычисление t–критериев Стьюдента для параметров модели
по формулам:
где
- погрешность коэффициента регрессии:
, (2.16)
, (2.17)
и
- диагональный элемент обратной матрицы (10);
дисперсия:
помощью неравенства
9. Определение значимости параметров (коэффициентов) модели с
- остаточная
45
. (2.18)
, (2.19)
2
2
ˆ
ост
y
S
S
F
T
FF
ˆ
n
i
i
n
i
i
yypn
yyn
R
1
2
1
2
1
ˆ
1
1
R
t
2
1
1
ˆ
R
pnR
t
R
T
R
tt
,
ˆˆ
p
kki
ikki
p
j
jj
xxaxaay
1 11
0
ˆ
если это условие выполняется, то коэффициент статически зависим и
соответствующий фактор не исключается из уравнения.
10. Вычисление остаточной дисперсии по формуле (2.18).
11. Вычисление критерия Фишера:
. (2.20)
12. Сравнение критерия Фишера с табличным значением с помощью
неравенства
, (2.21)
если условие выполняется, то уравнение адекватно.
13. Вычисление коэффициента множественной корреляции по формуле
14. Вычисление
- коэффициента Стьюдента для коэффициента
. (2.22)
множественной корреляции:
15. Проверка условия
если условие (2.24) выполняется, то коэффициент множественной
корреляции статистически значим.
16. Построение полной квадратичной формы уравнения регрессии по
формуле
. (2.23)
, (2.24)
. (2.25)
46
22
1 kостkост
SS
2
ост
S
2
ост
S
2
ост
S
17. Замена переменных в нелинейной модели (линеаризация).
18. Повтор вычислений по п. 7–15 для линеаризованной модели
(уравнения).
19. Степень нелинейной модели повышают до выполнения условия:
(2.26)
20. Исключение из модели факторов с минимальными значениями
критерия Стьюдента, вычисленными для коэффициентов линеаризованного
уравнения.
21. Исключение прекращают при условии стабилизации (либо
увеличения) остаточной дисперсии
.
22. Построение гистограммы остатков.
23. Проверка условия. Если распределение остатков близко
(соответствует) теоретическому гауссовскому распределению, то
осуществляется сохранение параметров моделей и оценок их адекватности.
Если не соответствует, то возвращается к этапу предварительной обработки
данных измерений. А затем повторяем п. 1-22.
24. Параметрическая адаптация модели:
а) накопление данных измерений (расширение базы данных);
в) вычисление по п. 1–18;
с) пересчет параметров модели, сохраненной в файле;
d) вычисление новых оценок
, R, F и сохранение их со старыми;
e) в случае ухудшения новых оценок производится структурная
адаптация модели.
25. Структурная адаптация модели:
а) накопление данных измерений;
в) вычисление по п. 1–23;
с) пересчет параметров модели, сохраненной в файле;
d) вычисление новых оценок
, R, F и сохранение их со старыми;
47
;
n
i
ii
Cy
0
e) в случае улучшения оценок выбирается новая структура и параметры, в
противном случае остается структура и параметры модели.
26. Адаптация может производиться по мере накопления данных
измерений в базе (либо за заданный определенный промежуток времени, либо
при увеличении объема данных на заданную определенную величину)
Алгоритм 2
Производится «сглаживание» исходных данных измерений с помощью
заданной аппроксимирующей функции.
Преимуществами являются достаточно выcокая точность и возможность
использования математического аппарата предыдущего алгоритма.
Недостаток заключается в необходимости корректировки матрицы входных
данных.
1. Загрузка исходных данных. Матрица исходных данных имеет вид
(2,9).
2. Вычисление коэффициентов парной корреляции по формуле (2.10) и
заполнение матрицы коэффициентов парной корреляции (2.11).
3. Вычисление частных коэффициентов корреляции по формуле (2.12).
4. Проверка значимости коэффициентов парной корреляции.
5. Сравнение частных коэффициентов корреляции для
коррелированных факторов.
6. Исключение одного из коррелированных факторов с меньшим
значением частного коэффициента корреляции.
7. Нормирование значений каждого столбца в диапазоне
.
8. Дискретно распределенная величина (нормированный фактор или
отклик) заменяется некой функцией непрерывной
аппроксимирующей функцией
, (2.27)
с заданной точностью, расчитанной по формуле
48
n
yy
n
i
зад
1
2
XX
*
1*
XX
0
a
j
a
R
t
. (2.28)
9. Замена матрицы исходных данных на соответствующие значения
аппроксимирующей функции.
10. Построение линейной формы многофакторного уравнения
регрессии вида (2.23):
а) построение матрицы
в) построение обратной матрицы
имеющей вид (2.14).
.
с) вычисление коэффициентов уравнения регрессии ведётся по
формуле (2.15).
11. Вычисление t–критериев Стьюдента для параметров модели
и
по формуле (2.16).
12. Определение значимости параметров (коэффициентов) модели с
помощью неравенства (2.19). Если это условие выполняется, то
коэффициент статически зависим и соответствующий фактор не
исключается из уравнения.
13. Вычисление остаточной дисперсии по формуле (2.18).
14. Вычисление критерия Фишера по формуле (2.20).
15. Сравнение критерия Фишера с табличным значением с помощью
неравенства (2.21). Если условие выполняется, то уравнение
статически зависимо.
16. Вычисление коэффициента множественной корреляции по формуле
(2.22).
17. Вычисление
– коэффициента Стьюдента для коэффициента
множественной корреляции по формуле (2.23).
18. Проверка условия (2.24), если условие выполняется, то
коэффициент множественной корреляции статистически значим.
19. Сохранение данных в файл.
49
зад
2
ост
S
2
ост
S
20. Повтор пунктов с 8 по 19 с изменением
в уравнении (2.28).
21. Сравнение остаточных дисперсий
и сохранение в файл
значений с меньшей дисперсией.
22. Повторение пунктов 20 и 21 либо пока
не достигнет своего
минимального значения, либо не станет меньше заранее заданного
значения.
Алгоритм 3
Преобразуются данные измерений входных переменных в соответствии с
выбором оптимальной зависимости от них функции отклика (коррекция и
внесение соответствующих изменений в базу данных).
Преимуществами являются достаточно высокая точность и быстрая
скорость коррекции базы данных за счет преобразования исходных данных
измерений.
1. Загрузка исходных данных. Матрица исходных данных имеет вид
(2.9).
2. Вычисление коэффициентов парной корреляции по формуле (2.10) и
заполнение матрицы коэффициентов парной корреляции (2.11).
3. Вычисление частных коэффициентов корреляции по формуле (2.12).
4. Проверка значимости коэффициентов парной корреляции.
5. Сравнение частных коэффициентов корреляции для коррелированных
факторов.
6. Исключение одного из коррелированных факторов с меньшим
значением частного коэффициента корреляции.
7. Построение зависимостей МНК заданного отклика от каждого
отдельного заданного фактора от заданного отклика.
8. Замена в матрице исходных данных численных значений факторов на
соответствующие значения, полученные из обратных зависимостей
фактора от отклика.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]