Учебник по теориии вероятности

где ©1, со,—постоянные числа; U^, (/,. К^, К,—попарно не­ коррелированные случайные величины, причем их матема* тические ожидания равны нулю» дисперсии величин 1/% и Vx равны Dj, дисперсии величин (/, и К, равны D,.

§ 3. Характеристики производной от случайной функции

среднеквадратичный предел отношения приращения функции к при­ ращению аргумента Л/ при А/ -^ 0:

A'(0=l.i.n..^^ii±Mzi£iO.

от случайной функции X (/) равно производной от ее математиче­ ского ожидания:

mj>(t)^mjc(i).

Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание произ­ водной порядка п от случайной функции равно производной этого же порядка от ее математического ожидания.

Теорема 2. Корреляционная функция производной от случайной функции X (/) равна второй смешанной частной производной от ее корреляционной функции:

/С^(/1./2)-—57;57Г^-

Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случайной функции Х(0 и ее производной равна частной производной от корреля­ ционной функции по соответствующему аргументу [если индекс к записан на первом (втором) месте, то дифференцируют по первому (второму) аргументу]:

794* Задано математическое ожидание m^ (/)=/>+2/+1 случайной функции X(i). Найти математическое ожцдание ее производной.

795. Задано математическое ожидание mjg{t) = t^ + 4 случайной функции X(t). Найти математическое ожида­ ние случайной функции К (/) = /Х'(/) + <••

340

796.Доказать, что математическое ожидание второй производной от дважды дифференцируемой случайной функции X (t) равно второй производной от ее матема­ тического ожидания.

797.Задана корреляционная функция /С;с = 5е-<'»-'»>* случайной функции X{t). Найти корреляционную функ­ цию ее производной.

Найти: а) математическое ожидание; 6) корреляционную функцию ее производной.

799. На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция X (t), корреляционная функция ко­ торой Кх = [Djc cos О) (/,—'i)j/('i+M- Найти корреляцион­ ную функцию выходной функции К(/) = Х'(/).

800.На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция X (/) с математическим ожиданием mj5(/)=5sin/и корреляционной функцией/Сх=Зе-«'*<'«-'«>". Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию выходной функции К(/)==Х'(0-

801.Доказать, что взаимная корреляционная функ­ ция случайной функции X{t) и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по аргументу, который «соответствует производной» [если индекс X стоит на первом (втором) месте, то надо диф­ ференцировать по первому (второму) аргументу]:

Р е ш е н и е , а) По определению взаимной корреляционной функции.

Произведение под знаком математического ожидания можно представить в виде частной производной по аргументу t%:

к (/,) к' (/.) =к (/о^fa)^^ 1^ (h)k (/.) 1 ^

„^.,«^=л,{М(^!1<Ы1}.

Учитывая, что операции дифференцирования и нахождения ма­ тематического ожидания можно переставлять, окончательно получим

б) Рекомендуем доказать самостоятельно.

341

802.Заданыкорреляционныефункции: а)/С;^ = е-^'«-^»>*; б) /Сх=<1<2^^*"*'^*. Найти взаимные корреляционные функ­ ции случайной функции X (i) и ее производной.

803.Известна взаимная корреляционная функция ^хх случайной функции X{t) и ее производной. Найти корреляционную функцию производной.

804.Известна взаимная корреляционная функция /?j^j = /i(/,+1)е'»+'« случайной функции X (t) и ее про­ изводной. Найти корреляционную функцию производной.

805.Найти корреляционную функцию случайной функ­ ции Z(/)=X (/)-|-Х' (О» зная корреляционную функцию/Cjf.

/С ; - д^Кх

ивзаимные корреляционные функции (теорема 3)

окончательно получим искомую корреляционную функцшр:

806. Найти корреляционную функцию случайной функ­ ции Z(t)=^X(t)'\'X'(t)^ зная корреляционную функцию /С^==5е-<^«-^>)\

У К а з а н и е. Использовать задачи 797 и. 805.

807. Доказать, что взаимная корреляционная функ­ ция случайной функции и ее второй производной равна частной производной второго порядка от корреляцион­ ной функции по аргументу, который «соответствует»

Найти взаимные корреляционные функции случайной

ференцируемая случайная функция, корреляционная

342

§ 4. Характеристики интеграла от случайной функции

Интегрсиом от случайной функции X(t) по отрезку [О» /] нааывают предел в среднеквадратичном интегральной суммы при стрем­ лении к нулю частичного интервала As/ максимальной длины (пере­ менная интегрирования обозначена через s» чтобы отличить ее от предела интегрирования /):

Y (/)== l.i.m. 2 X (Si) As/= С X(s) ds.

Теорема 1. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания:

и

Rxy^lKx{h.s)US.

о

811. Зная математическое ожидание т;^(/) = 3/*+1 случайной функции X(t). найти математическое ожида-

Р е ш е н и е . Искомое математическое ожидание

/i

ту^ (/) =: J т^ (S) ds=J (Зв«+1) ds=/»+^

343

«в V X (s) ds равна двойному интегралу от заданноА корреляционной

00

6)НаАдем искомую дисперсию, для чего в найденной корреля*

ционной функции полежим t^^t^^t:

344

817. Задана корреляционная функция Кх = sin<otiSin(ot^ случайной функции X{t). Найти: а) корреляционную

i

функцию; б) дисперсию интеграла К (/) = Г X (s) ds.

о

818. На вход интегрирующего устройства поступает случайная функция X (t), корреляционная функция ко­ торой /Cx==^i'i- Найти дисперсию на выходе интегратора.

Найти: а) математическое ожидание, б) корреляционную

функцию; в) дисперсию интеграла Y {t) = ^X (s) ds.

о

Решение, а) Вычислим предварительно математическое ожи­ дание заданной функции, учитывая, что М((/)=5:

nijc (i)^M [t/e»' cos2/1 =Ue»' cos2tAi (t/)=5e« cos 2t.

Найдем искомое математическое ожидание:

my (t) == \ iitj^ (s) d s « 5 \ e»« cos 2$ dSi

Интегрируя дважды по частям, окончательно получим ту (/) == (5/13) [е»' (2 sin 2/ + 3 cos 2t) —31.

б) Вычислим предварительно корреляционную функцию задан­ ной функции. Приняв во внимание, что центрированная функция

JC (/)=X (О—т^ (/) = е»' cos 2/—5е»' cos 2/ = е«' cos 2/ (U —5),

имеем

Кх=^М {[е»^ cos 2/i (С/—5)1 [е»^ cos2tt {U—b)\ =* ^ е» <'»•*'^«> cos 2/i cos 2/,. М (U —5)«.

345

По условию, D(6^) = M (6/—5)* = 1, следовательно»

К (/) = / 5 X (S) ds.

Указание . Найти сначала корреляционную функцию интег­ рала, а затем использовать свойство 3 корреляционной функции (§ 1).

в е«<'»+'•>cos=цp/j cosp/,. Найти дисперсию случайной функ­ ции K(0=oUf^(s)ds.

826*. Задана корреляционная функция /Cj^~De-''«-M. Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию ин­

теграла K(0 = JX(s)ds.

346

Решение. Используем формулу

Г)

1. Пусть ti < /,. Тогда внутренний интеграл

Выполнив интегрирование» найдем

и

[

Подставив (••) в (•):

0

После интегрирования получим корреляционную функцию при tx < i%: Ky{tu ^)»012/t+e-^+e-^—e-i^-^>—IJ. (•••)

2. Пусть /t < ^1* Используя свойство симметрии (при нерестановке аргументов корреляционная функция не изменится)» сразу

получим корреляционную функцию интеграла при ^t < iii Ку(/,./^)«DI2/.+e•^+e-^-e-<^-^>-.|l.

3. Объединив эту формулу с формулой (***)» окончательно име* ем для любых ti п it

KyUu U)^Dl2mln(iu /.)+e-<t+e-^—е-Иа-^t—IJ.

где min(/t» i%)—наименьшее из чисел ti и (%. Найдем искомую дисперсию:

Dy(i)^Ky(i. /)«2D(/+e-<—I).

827*. Заданы математическое ожидание т^^ (/) =» 3 + 4/, корреляционная функция /С^г^Юе'**^**'^!. Найти: а) ма­ тематическое ожидание; б) дисперсию интеграла

K(/)-JX(s)ds.

о

828. Доказать, что если известна корреляционная, функция случайной функции X(Ot то взаимные корре­ ляционные функции случайных функций X(t) и УО)^

347

Решение. По определению взаимной корреляционной функ­ ции, Rxif'=^Ml^ (h)^ (^ш)]- Найдем центрированную функцию:

/i

t (/) «К (t)—my (0 = J ^ W d«—J >Wx («) <i««

0 0

= M 5*(/,)*(s)ds .

Глава семиадрчатая

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЯНЬЯБ ФУНКЦИИ

§ 1. Характаристмкм стацмоиарирй случайной функции

Стационарной называют случайную функцию Х(/), математи­ ческое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента / и корреляционная функция которой завесит только от разности аргументов /«—/д. Отсюда следует, что:

348

1. Корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента т = /2—iv

2. Дисперсия стационарной случайной функции постоянна при всех значениях аргумента / и равна значению корреляционной функции в начале координат (T = 0):D;^ (/)=/fjf (0).

Корреляционная функция стационарной функции обладает сле­ дующими свойствами.

стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат: \ kx (т) | < kx (0).

Нормированной корреляционной функцией стационарной случай­ ной функции называют неслучайную функцию аргумента т:

Рх(т) = ^х(т)/Лх(0).

Абсолютная величина нормированной коорреляционной функции не превышает единицы: 1р;с('^)1<1-

830. Задана случайная функция Х(/) = со5(/ + ф), где ф—случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2 л). Доказать, что X{t) — стационарная функция.

Ре ш е н и е . Найдем математическое ожидание X (/): mx{t)=M [cos (/+ф))==Л1 [cos / созф—sin / sin ф] =»

=cos t'M [со$ф] — sin t*M [sinф].

349