Учебник по теориии вероятности

Выразим ф(х) из («•) н ^(у) из (***):

ф (*) = П (*)/ J Ф (у) dy. * (у) = / , to)/ 5 Ф W rf*.

438. Доказать, что если X и Y связаны линейной за­ висимостью У — аХ+Ь^ то абсолютная величина коэффи­ циента корреляции равна единице.

Решение. По определению коэффициента корреляции,

где

Подставив (••) в (•), после элементарных преобразований получим lixy^^aM IX—М (Х)]^=-аО(Х)=^ао1.

Учитывая, что

Y—M(Y)=-(aX+b)—(aM(X)+b)^alX—M(X)l

найдем дисперсию Y: D(Y)^M[Y—M(Y)]^==a^MlX—M{X)]^=a^(^x'

Отсюда Оу = \а\Ох' Следовательно, коэффициент корреляции

""v а^У Ох(\а\Ох) ТаТ*

Если а > О, то Гху^\\ если а < О, то Гху = — 1. Итак, \Гху\^=х\^ что и требовалось доказать.

Часть третья

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Глава девятая ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

§ 1 . Статистическое распределение выборки

Пусть для изучения количественного (дискретного или непре­ рывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка JCi, .V2, . . . , Xk объема /г. Наблюдавшиеся значения xi признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,—вариационным рядом,

Статиспхическим распределением выборки называют перечень вариант xi вариационного ряда и соответствующих им частот п/ (сумма всех частот равна объему выборки п) или относительных ча­ стот Wi (сумма всех относительных частот равна единице).

Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в ка­ честве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).

439, Выборка задана в виде распределения частот:

X,. 2 5 7

AZ; 1 3 6

Найти распределение относительных частот.

Р е ш е н и е . Найдем объем выборки; /г = 1-{-3 + 6 = Ю. Найдем относительные частоты:

и>1== 1/10 = 0,1; м;2 = 3/10 = 0,3; ш.,=6/10 = 0,6.

Напишем искомое распределение относительных частот:

К о н т р о л ь : 0,1+0.3 + 0,6=1 .

440. Выборка задана в виде распределения частот:

X,. 4 7 8 12 п,. 5 2 3 10

Найти распределение относительных частот.

151

§ 2. Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F** (х), определяющую для каждого зна­ чения X относительную частоту события X < х:

§3. Полигон и гистограмма

л. Дискретное распределение признака X. Полигоном частот

называют ломаггую, отрезки которой соединяют точки (дгх, п{)щ (х%, п^,

. . . . (jC)^,/1^)» где Xi—варианты выборки и /i/—соответствующие им

частоты.

1S2

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (xi\ Wi), (хг\ w^), . . . , (х^\ w^), где Х( —

443. Построить полигон частот по данному распре­

153

ординат—соответствующие относительные частоты wi* Соединив точки (дг/, Wi) отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот (рис. 13).

446. Построить гистограмму частот по данному рас­ пределению выборки объема п=100:

Р е ш е н и е . Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины h=4. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответст­ вующим плотностям частоты п^/к. Например, над интервалом (1, 5) построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии П(/Н=: = 10/4 = 2,5; аналогично строят остальные отрезки.

л

/J

/2

Рис. 14

Искомая гистограмма частот изображена на рис. 14. 447. Построить гистограмму частот по данному рас­

пределению выборки:

154

а)

данному распределению выборки:

л=2'»/ = '00

Р е ш е н и е . Найдем относительные частоты:

0/1 = 20/100=0.2, 0/2=30/100 = 0.3, о/, =50/100 =0,5.

155

Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала /i=2:

ш,//1 =0,2/2 =0,1, оУа/Л =0,3/2 = 0,15, Шд/Л = 0,5/2 =0,25.

Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Прове* дем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плот­ ностям относительной частоты. Например, над интервалом (О, 2) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки.

Щ

h

/h

449. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

а)

л = 2 ^ / = 20

156

б)

П==^П(:=2Ъ

У к а з а н и е . Найти сначала относительные частоты, соответ­ ствующие плотности относительной частоты для каждого интервала.

Глава десятая

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

§ 1. Точечные оценки

Статистической оценкой в* неизвестного параметра в теоретического распределения называют функцию /(Xi, Х2, ... Хп) от наблюдаемых случайных величин Xi, Х2, ... , Хп.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом e* = /(jvi, Х2, ... , Хп)у где xj, jcj», ... , х„—резуль­ таты п наблюдений над количественнЫхМ признаком X (выборка).

HecMeu^f*HHOu называют точечную оценку, математическое ожи­ дание которой разно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожида­ ние которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

\ж"' п,

числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т. е. перейти к условным вариантам w/=jc/—С (в качестве С выгодно принять число, близкое к выбо­ рочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда

^в=С + (2л/а/)//г.

157

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

D»=(^ni(Xi-x,)Alnt

эта оценка является смещенной, так как AIID,l = ljjiz)r.

Более удобна формула

Замечание 2. Если первоначальные варианты ж/—большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число С, равное выборочной средней или близкое к ней, т. е. перейти к условным вариантам Ui^xi-^-C (дисперсия при этом не изменится). Тогда

0^{Х)^0^{и)^и^^[Ъ\^

Замечание 3. Если первоначальные варианты являются де­ сятичными дробями с k десятичными знаками после запятой, то, чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные ва­ рианты на постоянное число С=:10*, т.е. переходят к условным вариантам ui^Cxi. При этом дисперсия увеличится в С* раз. Поэтому, найдя дисперсию условных вариант, надо разделить ее на С*:

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправле ная выборочная дисперсия

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

158

Р е ш е н и е . Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

Згв = (2л/Х/)/л = (16.2 + 12.б+8.7+14.10)/50 = 5Д6.

451. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п=«60:

х^ 1 3 6 26 п^ 8 40 10 2

Найти несмещенную оценку генеральной средней. 452. Задано распределение первоначальных вариант

выборки объема п:

где условные варианты Ui — x^—С.

Р е ш е н и е . Так как щ=Х1—С, то Л|и/ = п/(Х|-—С); суммируя левую и правую части равенства по всем значениям /» получим

что и требовалось доказать.

453. Найти выборочную среднюю по данному распре­ делению выборки объема п=10:

Р е ш е н и е . Первоначальные варианты—большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам. щ=Х1 —1270. В итоге получим распределение условных вариант:

щ—20 О 10

159