8. Варианты заданий

Первые три задачи каждого варианта необходимо решить при следующих условиях:

1. Найти работу векторного поля вдоль заданной кривой.

8. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить поток вектора через ориентированную поверхность

9. Пользуясь формулой Стокса, найти циркуляцию вектора по контурув положительном направлении относительно вектора.

Вариант № 1

1. 

2. ; - внешняя сторона боковой поверхности конуса

3. ; .

4. Показать, что поле вектора потенциально, найти его потенциал.

Вариант № 2

1. отдо

8. ; - внешняя сторона части параболоидаотсеченного плоскостью

9. ;

10. Вычислить ротор векторного поля где- постоянный вектор,

Вариант № 3

1. ;

2. - внешняя сторона полусферы

3. ; - контур, образованный пересечением плоскостис координатными плоскостями;.

4. Найти производную скалярного поля в точкев направлении градиента поляв точке.

Вариант № 4

8. от точки до

9. ; - внешняя сторона части поверхности параболоида

10. ; - контур треугольника

11. Вычислить дивергенцию векторного поля гдеи- постоянные векторы, а

Вариант № 5

1. ; отрезок прямой от точкидо точки

2. ; внешняя сторона поверхности цилиндра, ограниченного плоскостямии

3. ; - линия пересечения цилиндрас плоскостью

4. Вычислить дивергенцию поля где

Вариант № 6

8. .

9. ;внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями

10. ;

11. Найти ротор векторного поля

Вариант № 7

8. ; от точкидо точки

9. внешняя сторона части сферы отсеченной плоскостью

10. ;

11. Вычислить дивергенцию векторного поля где

Вариант № 8

8. ; контур треугольника

9. ; внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями

10. ;

11. Проверить, является ли соленоидальным векторное поле

Вариант № 9

8. ; контур

9. ; внешняя сторона полусферы

10. ;

11. Является ли поле, образованное вектором

потенциальным?

Вариант № 10

1. ; от до

2. ;внешняя сторона боковой поверхности цилиндраограниченного плоскостями

3. ;

4. Доказать, что поле вектора потенциально и найти его потенциал.

Вариант № 11

1.;первая арка кривой

2. ;внешняя сторона цилиндрической поверхностиограниченной плоскостями

3.

4. Найти дивергенцию поля где

Вариант № 12

1. отдо.

2. ;внешняя сторона поверхности конуса

3.

4. Найти производную функции в точке (2;1) в направлении, идущем от этой точки к началу координат.

Вариант № 13

1. ; от точкидо точки

2. ; внешняя сторона поверхности параболоидаограниченного плоскостью

4. 

5. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке (1;1/2;-1).

Вариант № 14

8. от до

9. -внешняя сторона однополостного гиперболоида ограниченного плоскостями.

10. ; пересечение параболоидас координатными плоскостями

11. Вычислить ротор векторного поля где- постоянный вектор, а

Вариант № 15

1. ; от точкидо точки

8. ; -внешняя сторона поверхности конуса,ограниченной плоскостями

9. ; .

10. Проверить, является ли векторное поле потенциальным, и если оно потенциально, то вычислить его потенциал.

Вариант № 16

8. ; отрезокотдо

9. ; внешняя сторона полусферы

10. ; .

11. Вычислить дивергенцию поля где- постоянный вектор.

Вариант № 17

8. ;ломанаяв направлении отк.

9. ; внешняя сторона поверхности конусаограниченного сферой

10. ;

11. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке (1;2;3).

Вариант № 18

8. ; отрезокв направлении от точкик точке

9. ; внешняя сторона цилиндра

10. ;

11. Вычислить ротор вектора где

Вариант № 19

8. ; ломанная.

9. ; внешняя сторона части поверхности параболоида

10. ; .

11. Найти производную функции в точкев направлении, идущем от этой точки к точке

Вариант № 20

8. ;дугаодного витка винтовой линиив направлении возрастания параметра.

9. ;внешняя сторона полусферы

3. ;.

4. Найти потенциал векторного поля если оно потенциально.

Вариант № 21

1. ; от точки до точки.

8. ; боковая поверхность пирамиды с вершиной в точкеоснованием которой служит треугольник

9. ;

10. Векторное поле образовано вектором . Доказать, что оно потенциально и найти его потенциал;

Вариант № 22

1. ; прямаяотк.

8. ; внешняя сторона части поверхности параболоидаотсеченной плоскостью

9. ; пересечение плоскостис координатными плоскостями;

2. Показать, что поле потенциально и найти его потенциал.

Вариант № 23

8. ; от точкидо точки

9. ; внутренняя сторона цилиндрической поверхностиограниченной плоскостями:

10. ;

11. Показать, что векторное поле является потенциальным, и его потенциалявляется гармонической функцией, удовлетворяющий уравнению Лапласа

Вариант № 24

1. ;отдо.

2. ;внутренняя сторона поверхности параболоидаограниченного плоскостью

3. ;контур треугольникас вершинамии

4. Найти дивергенцию от градиента функции

в точке

Вариант № 25

8. контур

9. ;верхняя сторона лежащей в первом октанте части плоскости

10. ; контур, лежащий в первом октанте и образованный пересечением поверхностис плоскостями

11. Найти точки, в которых градиент функции равен

Вариант № 26

8. ; контур.

9. ; нижняя поверхность части параболоидаотсеченной плоскостью

10. ; линия пересечения цилиндрас плоскостью

11. Доказать, что вектор ортогоналенгдеа.

Вариант № 27

1. ; от точкидо точки

1. ; верхняя сторона поверхности сферылежащей в 1-м октанте.

2. ; часть линии пересечения сферыс плоскостямилежащая в первом октанте;

3. Вычислить дивергенцию векторного поля гдепостоянный вектор.

Вариант № 28

1. 

2. ;

поверхность куба в направлении внешней нормали.

3. ;

4. Найти величину и направление градиента поля в точке

Вариант № 29

1. .

2. ; поверхность тела, в направлении внешней нормали.

3. ;

4. Найти дивергенцию поля в точке

Вариант № 30

1. .

2. ; поверхность телав направлении внешней нормали.

3. ; контур, вырезаемый в первом октанте из параболоидаплоскостямив положительном направлении относительно внешней нормалипараболоида.

4. Убедиться в потенциальности поля .

Список литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2т.-М.: Физматлит, 2000,-Т.2.-560с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В2ч.-М.: Высшая школа., 1999. ч.2-415с.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов под ред. Б.П.Демидовича. М.:Изд-во «Астрель», 2003.-400с.

4. Гаврилов В.Ф. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.-M.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001.-600с.

53