МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра математики

Теория поля

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к решению задач и выполнению

расчетно-графической работы по дисциплине «Математика»

для студентов-заочников всех специальностей и направлений

Уфа 2004

УДК 517.3

Составители: Елисеев И.С., Сафиуллина Ф.Г., Сысоев С.Е.,

Халфина Э.Х.

Теория поля: Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Математика» для студентов-заочников всех специальностей и направлений /Сост. И.С. Елисеев, Ф.Г. Сафиуллина, С.Е. Сысоев, Э.Х. Халфина. /Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2004, 35 с.

Рассматриваются основные понятия, положения и приложения математической теории поля, что способствует развитию у студентов кругозора в области геометрических представлений, связанных с теорией поля, уяснению тесной взаимосвязи между физическими объектами теории поля и соответствующими математическими понятиями и структурами, относящимися к определенным, кратным и криволинейным интегралам и дифференциальным уравнениям.

Применение теоретических положений и математического описания физических объектов разъясняется на примерах различной степени сложности, что способствует формированию умений и навыков в приложении математической теории для решения практических физических задач.

Предназначены для студентов и лиц, занимающихся самообразованием, изучающих спецглавы математики, включающие математическую теорию поля.

В методические указания включены 30 вариантов индивидуальных заданий.

Ил. 6. Библиогр.: 4 наимен.

Рецензенты: доцент А.В. Рабчук;

доцент Л.М. Никульшина.

Составители: елисеев Игорь Спартакович

САФИУЛЛИНА Фаузия Гатаевна

СЫСОЕВ Сергей Егорович

ХАЛФИНА Элеонора Хамзинична

Содержание

1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент 4

2. Векторное поле. Векторные линии 6

3. Поток векторного поля 8

4. Формула Остроградского. Дивергенция векторного поля 11

5. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля 15

6. Ротор векторного поля. Формула Стокса 17

7. Потенциальное векторное поле. Вычисление линейного

интеграла в потенциальном поле 20

8. Варианты заданий 23

Список литературы 35

1 Скалярное поле. Производная по направлению и градиент

Пространственная область , в каждой точкекоторой задано определенное число (скаляр)называетсяскалярным полем. Скалярное поле задается скалярной функцией

,

определенной в области . Если поле задано функцией двух переменных

,

то оно называется плоским. Скалярными являются поле температур, поле давлений, поле плотности вещества и др.

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня - множества точек пространства, в которых функция принимает постоянное значение.

- уравнение различных поверхностей уровня при различных .

В плоском поле

- уравнение линий уровня.

Формула

(1)

дает производную скалярного поля в точкепо направлению , где направление единичного вектора касательной к заданной линии в точке. Производная поля в данной точкепо направлениюхарактеризует скорость изменения поля в этом направлении.

Градиентом скалярного поля в точке называется вектор

. (2)

Между производной поля по направлениюи его градиентом в точкесуществует следующая связь :

(3)

где –угол между вектороми градиентом в точке. Из равенства (3) следует, что в каждой точке, не являющейся критической, градиент направлен в сторону максимального возрастания поля, а модуль градиента равен величине скорости этого возрастания :

.

Задача 1. Найти производную скалярного поля в точкеэллипсапо направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке и градиент поля в этой же точке.

Решение. Направление внешней нормали к эллипсу в точкеперпендикулярно к направлению касательной к эллипсу в этой точке.. Точкалежит на части эллипса с уравнением. Обозначим через– угол, который образует направление касательной с осью. Тогда

.

Если обозначить угол, образованный направлением с осью, через, то из условия перпендикулярности нормали и касательной получим

.

Находим направляющие косинусы вектора

Вычислим

и получим по формуле (1)

А по формуле (2)