Основные задачи календарного планирования

• Задача о кратчайшем сроке в сетевом графике.

Дано:

Комплекс работ с заданным порядком их выполнения; длительность выполнения каждой работы s;

Найти минимальное время завершения всего проекта.

Введем обозначения:

Пусть проект (комплекс работ) задается сетевым графиком , который описывается орграфом без циклов, с одним источником и одним стоком;

m - количество вершин (событий);

n – количество дуг (работ);

- множество дуг;

– длительность выполнения каждой работы s

– календарный план выполнения сетевого графика , где– планируемый срок выполненияi-го события (вершина), i=1,…,m;

–общий срок выполнения всего проекта.

Математическая модель.

При заданном сетевом графике определить вектор, удовлетворяющий условиям:

1. –

2. или

3. →min

Величина называется кратчайшим сроком.

Пусть N – множество дуг графа. Множество дуг, входящих в вершину

- Множество дуг, входящих в i – ю вершину.

- Множество дуг, выходящих из i – ой вершины.

Двойственной задачей к задаче о кратчайшем сроке является задача о критическом пути в сетевом графике.

• Задача о критическом пути в сетевом графике.

При исходных данных задачи о кратчайшем сроке требуется найти вектор , удовлетворяющий условиям:

1.

2.

3. →max

Это двойственная задача по отношению к задаче о кратчайшем сроке → задача отыскания в графике самого длинного пути, называемого критическим.

Переменные имеют смысл оценок дуг или соответствующих им работ.

Вектор , определенный на дугах графика Г и удовлетворяющий условиям 1, 2, называется потоком.

Начальная вершина i₀=1 – источник потока, конечная вершина i=m – сток.

– величина потока, втекающего в любую вершину, равна величине потока, вытекающего из нее.

- длина пути (из вершины i в вершину j во взвешенном графе равна сумме весов, входящих в него дуг)

• Задача о кратчайшем и позднем сроке.

Основные положения из теории двойственности

1. Длина критического пути на сетевом графике совпадает с кратчайшим сроком выполнения комплекса работ

2. Критический путь проходит по напряженным дугам, т.е. по дугам, соответствующим работам, для выполнения которых при оптимальном расписании нет дополнительного резерва времени, т.е. выполняется

Алгоритм Форда для вычисления наиболее поздних сроков наступления события.

Шаг 0. Для каждого события i =1,…,m полагаем = длине критического пути или кратчайшему сроку выполнения проекта

Пусть в результате (к-1) шагов найдем времена

Шаг к. Последовательно просматриваем все работы (дуги) s=1,…,n и вычисляем

Если при очередном просмотре всех дуг s=1,…,n не происходит ни одного изменения величин , то алгоритм заканчивает работу.

Иначе полагаем к=к+1 и выполняем следующий шаг алгоритма

Когда найдены наиболее ранние и поздние сроки наступления событий, находятся остальные характеристики сетевой модели (критические работы, события, резервы)

Алгоритм Форда

(обобщенный алгоритм определения критического пути и кратчайшего срока выполнения работ)

Алгоритм состоит в поиске наступления ранних событий и поздних сроков наступления этих же событий,- резерв времени событияi.

и определяются путем многократного просмотра списка дуг сетевого графика.

1. =0,

2. Просматриваем последовательно все дуги и находим

3. Просматриваем последовательно все дуги и находим

Определяем резерв