Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Lektsia_8
.pptx
11
'#
Нормальное распределение встречается часто, поскольку к нему,
согласно центральной предельной теореме теории вероятности,
приводит большое количество одновременно малых воздействий,
пусть даже имеющих произвольные распределения погрешности.
Дифференциальная функция распределения результатов
измерений и случайной погрешности имеют вид :
2
2
2
)(
exp
2
1
)(
x
x
x
mx
xp
2
2
2
exp
2
1
)(p
12
(!!!#
#$$
#$#
•
Нормальная функция распределения вероятности полностью определяется
одним параметром - дисперсией. Чем больше дисперсия, тем больше размыта
эта функция. Всегда площадь под функцией = 1.
13
)###
Этот интеграл не выражается в элементарных функциях и его
вычисляют с помощью таблиц. Для упрощения формы
записи и приведения ее к виду, удобному для пользования
таблицами, произведем замену переменных:
после чего получим следующие выражение для вероятности:
2
1
2
1
2
2
21
2
)(
exp
2
1
)()(
x
x
x
x
x
dx
mx
dxxpxxxP
;t
mx
x
2
2
t
mx
x
1
2
2
2
2
1
2
222
21
ee
2
1
e
2
1
)(
t
t
t
t
t
t
t
dtdtdtxxxP
)(Ф)Ф(
12
tt
;
1
1
t
mx
x
14
)##
#
Дифференциальная функция распределения
является нормированной функцией распределения погрешности. Для
вычисления вероятности используют табулированные значения
интеграла вероятности (табл.П2 и П3):
В силу симметрии и учитывая, что площадь под кривой распределения
равна единице Ф(z)&=&1&–&Ф(–z) и Ф(–z)&=&1&–&Ф(z)
вероятность попадания результатов измерения (или погрешностей) в
симметричный интервал : P(–z < z) = Ф(z)&–&Ф(–z) = Ф(z)&–&1&+&Ф(z)
=2Ф(z)&–&1&=&2[Ф(z)&–&1/2]&=&Ф(х).
Для вычисления вероятности используют табулированные значения
интеграла вероятности.
2
2
e
2
1
)(ttp
z
t
dtФ
2
2
e
2
1
z)(
15
&#"!*+
##,
"-
,m=5м./=10м/#
0##
1231
Видно, что измерения содержат систематическую погрешность
измерения равную 5м. Таким образом, распределение
погрешности измерения оказывается сдвинуто по оси на 5 м
вправо.
Определение вероятности того, что измеренное значение дальности
отклонится от истинного значения не более чем на 15 м сводится
к вычислению вероятности попадания случайной величины
(погрешности измерения) на интервал от -15 м до 15 м.
Используя предыдущие формулы и значения Ф(z) из таблицы 3П,
получаем:
.82.0)2(1)1()2()1(
10
515
10
515
15P
16
Определение точного значения математического ожидания и
дисперсии (и соответственно СКО) возможно только при
бесконечном числе измерений или при наличии так называемой
генеральной совокупности данных
или
или
где & - вероятность появления результата измерения в
интервале значений от до при дискретном
распределении результатов измерения. При отсутствии
систематической погрешности принимается, что математическое
ожидание mx&=&Q, где Q&— истинное (действительное) значение
измеряемой ФВ.
dxxxpxMm
x
)(][
1
)(*
i
ix
xpxm
dxxpmxxD
xx
)()(][
22
1
22
)(*)(
i
ixix
xpmx
)(*ixp
i
x
1i
x
17
В результате измерения получают ограниченное число значений хi, и
по этой выборке 4 значения математического ожидания
и дисперсии.
Пригодность оценок проверяют с помощью ряда статистических
критериев, таких как состоятельность, несмещенность и
эффективность.
Состоятельная оценка&— это оценка, которая сходится при
увеличении числа измерений к своему пределу по
вероятности.
Несмещенная оценка – это оценка, при которой ее
математическое ожидание равно оцениваемому параметру.
Эффективная – это оценка, дисперсия которой
меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.
18
Установлено, что всем вышеуказанным критериям удовлетворяют
оценки, приведенные в таблице:
#
* # #
О ц е н к а и с т и н н о г о з н а ч е н и я с р е д н е е а р и ф м е т и ч е с к о е
з н а ч е н и е и з м е р я е м о й в е л и ч и н ы
и з n е д и н и ч н ы х р е з у л ь т а т о в
n
i
ix
x
n
xm
1
1
~
О ц е н к а С К О с р е д н я я к в а д р а т и ч е с к а я
п о г р е ш н о с т ь р е з у л ь т а т о в
е д и н и ч н ы х и з м е р е н и й в
р я д у n е д и н и ч н ы х и з м е р е н и й
2
1
)(
1
1
~~
n
i
ixx
xx
n
S
О ц е н к а С К П р е з у л ь т а т о в
и з м е р е н и я с р е д н е г о
а р и ф м е т и ч е с к о г о
n
i
i
x
xx
xx
nn
n
S
1
2
)(
)1(
1
S
~
19
Доверительные границы результатов измерений определяются как
наибольшее и наименьшее значения результатов измерений
ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью
находится искомое (истинное) значение результата измерений.
1) Для единичного результата измерения х в интервале от x1 =x-t
p
до x2 =x+t
p
вероятность нахождения действительного значения
измеряемой ФВ
2) Для n измерений, при котором СКО заранее известно :
где Результат измерения при вероятности Р=…%
)Q(
pp
txtxP
1)(Ф2)(Ф)Ф(
ppp
ttt
n
txQ
n
txP
pp
1)Ф(2
p
t
x
x
p
mx
t
x
p
txQ
20
Интервальные оценки (доверительные границы)
3) При небольшом числе измерений (n 20) вероятность нахождения
действительного значения измеряемой ФВ в доверительном
интервале Р определяться распределением Стьюдента
где , число степеней
свободы
Для погрешности измерения можно написать следующее
соотношение:
Результат измерения записывается в виде:
при Р&=&…&%.
dtktSStxStxP
P
t
x
P
x
P
0
),(2)](Q)[(
),( ktS
x
S
Qx
t
p
1nk
x
p
x
P
StPStQxP
x
P
StxQ
Соседние файлы в предмете Метрология