Статистика. Учебное пособие-1

, где Xi – середина интервала

4) осреднение.

При вычислении таких средних величин необходимо, чтобы сохранилась сумма величины объема признака, который является числителем, при построении усредняемого относительного показателя, чтобы выполнить указанное условие в качестве весов, при расчете средней величины относительного показателя, необходимо принять значение того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя.

Пример: Произведем расчет средней доли товаров народного потребления в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий.

В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия. Тогда средняя доля предметов народного потребления в продукции четырех предприятий равна: (615,5/2047)*100=30,07. Средняя доля ближе к значениям долей тех предприятий, которые имеют большой объем всей продукции (предприятия 2 и 3). Числитель средней величины – это объем выпуска предметов потребления всеми предприятиями – величина, которая должна сохраняться неизменной при замене разных четырех долей на среднюю величину.

Средние гармонические используются, когда известен объектный показатель и неизвестна численность совокупности, то есть не известны частоты или частности.

41

Средняя гармоническая простая – если объемный показатель не повторяется. Если объемный показатель повторяется, то используется среднее гармоническое взвешенное.

Пример: Фирма специализируется на торговле по почте, на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимается два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин, а второй – 14 мин. Каковы средние затраты времени на один заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

= (мин) – средние затраты

или

=(мин)

Форма средней зависит от имеющихся данных.

Пример: Три партии материала А были куплены по разным ценам. Определить среднюю покупную цену материала А, если известно.

Для определения формы средней для той или иной задачи используется критерий, таким критерием выступают объемы формирования варьирующего признака, если объем формирования варьирующего признака формируется как сумма индивидуальных значений признака, то применяется среднее арифметическое; если объем варьирующего признака формируется как сумма обратных значений признака, то применяется среднее гармоническое; если объем варьирующего признака формируется как произведение индивидуальных значений признака, то применяется средняя геометрическая; если объем варьирующего признака формируется как сумма квадратов, то применяется среднее квадратичное.

42

4.Свойства средней арифметической

1.Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

(16)

Таблица 5 Продажа акций АО «Дока-хлеб» на торгах фондовой секции

продажи Проверка:

1112,9*1900=1080*500+1050*300+1145*1100.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.

(17)

(1080-1112,9)500+(1050-1112,9)300+(1145-1112,9)1100=0.

Доказательство:

(18)

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой величины.

43

4. Если все усредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшиться на эту же величину.

(19)

Пример: если все курсы продажи акций увеличить на 100 рублей (см. таблицу выше).

(р.)

5. Если все варианты значений признака увеличить или уменьшить в А раз, то средняя увеличится или уменьшится в А раз.

(20)

Пример: курс продажи возрастет в 1,5 раза.

(р.)

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится.

(21)

5. Структурные средние

Мода – наиболее часто встречающаяся величина признаков совокупности. Ее определяют по наибольшей частоте или частности.

Для дискретных вариационных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.

Пример: 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам в тыс. р.: 1,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6; 4,3. Мода равна 4,3

тыс. р. – модальная цена, то есть чаще всего повторяется.

Если данные сгруппировать, то в начале необходимо найти модальный интервал, затем рассчитать значение моды.

44

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле

где Мо – мода;

Xм – нижняя граница модального интервала; iм – величина модального интервала;

fм – частота модального интервала;

fм-1 – частота интервала, предшествующего модальному; fм+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример: имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы

Определить модальный размер заработной платы.

Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Набольшее число работников – 70 человек – имеют заработную плату в интервале 700-800 р., который и является модальным.

(р.)

Медиана – значение признака, находящегося в центре ряда распределения. Вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине интервала.

Медиана дискретного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности. Для

45

дискретных рядов распределения необходимо найти номер медианы, а затем значение медианы.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по фор-

муле

где Ме – медиана;

Xм – нижняя граница медианного интервала; iм – величина медианного интервала;

– сумма частот ряда;

Sм-1 – сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу.

Fм – частота медианного интервала.

Пример: см. таблицу выше. Рассчитать медиану.

Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частота накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2=100).

В графе «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 700-800. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

(р.)

Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 785,7 р., а половина – выше полученной суммы.

Контрольные вопросы

1.Для чего в статистике применяются средние величины?

2.Каковы виды средних величин?

3.Как рассчитывается средняя арифметическая?

4.В каких случаях применяется средняя гармоническая?

5.В чем сущность структурных средних?

6.Как определяются мода и медиана в дискретных рядах распределения?

7.Как находятся структурные средние в интервальных рядах распределения?

46

1.5.ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

1.Абсолютные и относительные показатели вариации

Впроцессе статистического анализа может сложиться ситуация, когда значения средних величин совпадают, а совокупности, на основе которых они рассчитаны, состоят из единиц, значения признака у которых достаточно резко различаются между собой. Возьмем, например, данные о количестве договоров, заключенных в двух филиалах страховой компании. Предположим, что в каждом из филиалов работает по два агента. В первом филиале один агент заключил 5 договоров, а второй – 25; во втором филиале каждый агент заключил по 15 договоров. Как видим, среднее число договоров, заключенных одним агентом в каждом филиале совпадает (15 договоров), в то же время очевидно, что первая и вторая совокупности качественно неоднородны, вариация значений признака внутри них различна. Данная глава посвящена рассмотрению показателей, с помощью которых можно оценить и измерить вариацию признака.

Рассмотрим две совокупности сотрудников рекламных агентств. Распределение сотрудников первого агентства по уровню месячной зара-

ботной платы представлено в табл. 6.

Таблица 6

Распределение сотрудников первого агентства по уровню месячной заработной платы

Распределение сотрудников второго агентства по уровню месячной заработной платы представлено в табл. 7.

47

Таблица 7

Распределение сотрудников второго агентства по уровню месячной заработной платы

Рассчитаем средний уровень заработной платы:

–для первого агентства:

–для второго агентства:

Как видим, средние в двух совокупностях практически совпадают между собой (с разницей в 1 р .). Однако если вы вдруг случайно встретите сотрудников этих агентств и поинтересуетесь уровнем оплаты их труда, то вас заверят, что платят у них вовсе не одинаково! Оказывается, что разброс значений вокруг средней в этих совокупностях абсолютно разный. Значит, такой характеристики, как средняя, вовсе не достаточно, чтобы делать выводы о совокупности. Для этого используют показатели вариации.

Вариацией называется изменчивость значений признака у единиц статистической совокупности. Для измерения величины вариации используются абсолютные и относительные показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) вычисляется как разность между максимальным и минимальным значениями признака.

Среднее линейное отклонение (d) представляет собой среднюю арифметическую величину из абсолютных значений отклонений отдельных значений

48

признака от их средней. Если данные не сгруппированы, то рассчитывается невзвешенное среднее линейное отклонение

(24)

Для сгруппированных данных, представленных в виде вариационного ряда, используется взвешенное среднее линейное отклонение, где весами выступают частоты соответствующих вариант:

(25)

Дисперсией () называется средняя арифметическая величина, полученная из квадратов отклонений значений признака от их средней

для несгруппированных данных:

(26)

для сгруппированных данных:

(27)

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением (его называют также стандартным отклонением):

для несгруппированных данных:

(28)

для сгруппированных данных:

(29)

Абсолютные показатели вариации, за исключением дисперсии, имеют те же единицы измерения, что и исследуемый показатель вариационного ряда. Поэтому, если экономическая интерпретация, например, среднего линейного отклонения, проста и понятна физически, то в случае с дисперсией она затруднена. Однако дисперсия рассчитывается в статистическом анализе гораздо чаще, чем другие показатели вариации. Связано это с тем, что дисперсия широко используется в таких видах статистического анализа, как корреляционный, регрессионный, дисперсионный, при оценках результатов выборочного наблюдения. Кроме того, именно с помощью дисперсии можно оценить влияние слу-

49

чайных и систематических факторов на формирование значений случайной величины.

Для сравнения вариации одного и того же показателя в разных совокупностях (например, заработной платы двух рекламных агентств) или вариации разных показателей в одной совокупности (например, вариации заработной платы и возраста в одном рекламном агентстве) используют относительные показатели вариации. К ним относят:

коэффициент осцилляции:

(30)

относительное линейное отклонение:

(31)

коэффициент вариации:

(32)

Принято считать, что если значение > 33 %, то совокупность неоднородна, и для дальнейшего статистического анализа следует либо исключить крайние значения признака, либо разбить совокупность на однородные группы (требование однородности данных присутствует практически во всех видах статистического анализа).

Рассчитаем показатели вариации для приведенных в табл. 6 и 7 вариационных рядов (табл. 8 и 9).

Таблица 8

Расчет абсолютных и относительных показателей вариации для первого агентства

50