Статистика. Учебное пособие-1

1) относительная величина планового задания применяется в целях пла-

нирования от достигнутого уровня и рассчитывается отношением величины показателя, планируемого на будущий период, к его фактической величине за предыдущий период

2) относительная величина выполнения плана применяется в контрольных целях и рассчитывается отношением фактической величины показателя к её плановой величине за один и тот же период

3) относительная величина динамики (темп роста) характеризует отно-

сительное изменение изучаемых явлений во времени и рассчитывается отношением фактических значений показателя, взятых за различные периоды времени

4)относительная величина структуры (доля, удельный вес) применяется для оценки структурных сдвигов в изучаемых явлениях и рассчитывается отношением каждого элемента статистической совокупности к совокупности в целом;

5)относительная величина координации применяется для оценки скоор-

динированности внутри статистической совокупности и рассчитывается отношением каждого элемента к одному из них, принятому за базу сравнения;

6)относительная величина интенсивности характеризует степень распространения изучаемых явлений в окружающей среде и рассчитывается либо на душу или тысячу человек населения, либо на единицу площади, либо на 1 рубль финансовых потоков;

7)относительная величина сравнения получается путём сопоставления одноимённых показателей, относящихся к различным объектам, и применяется для сравнительных операций.

В зависимости от видов соотносимых абсолютных величин при расчете относительных величин получаются разные виды индексов: динамики, планового задания, выполнения плана, структуры, координации, сравнения, интенсивности.

31

Индекс динамики Индекс динамики (коэффициент роста, темп роста) показывает, во

сколько раз изменилось изучаемое явление или процесс во времени. Рассчитывается как отношение значения абсолютной величины в отчетный (анализируемый) период или момент времени к базисному (предыдущему):

Здесь и далее подиндексы означают: 1 – отчетный (анализируемый) период, 0 – базисный (прошлый) период.

Критериальным значением индекса динамики служит «1», то есть:

–если iД>1 – имеет место рост явления во времени;

–если iД=1 – стабильность;

–если iД<1 – наблюдается спад явления.

Если из индекса динамики вычесть его критериальное значение «1» и выразить полученное значение в процентах, то получится темп изменения с критериальным значением «1»:

Если T>0, то имеет место рост явления; Т=0 – стабильность, Т<0 – спад. В некоторых учебниках индекс динамики называется коэффициентом ро-

ста или темпом роста, а темп изменения – темпом прироста, независимо от получаемого результата, который может показать не только рост, но и стабильность или спад. Поэтому более логичными и чаще используемыми названиями являются именно индекс динамики и темп изменения.

Например, автосалон в январе продал 100 автомобилей, а в феврале – 110 автомобилей. Тогда индекс динамики составит iД= 110/100 = 1,1, что означает рост продаж автомобилей автосалоном в 1,1 раза, или на 10 %.

Индекс планового задания Индекс планового задания – это отношение планового значения абсо-

лютной величины к базисному:

32

Например, автосалон в январе продал 100 автомобилей, а на февраль запланировал продать 120 автомобилей. Тогда индекс планового задания составит iпз= 120/100 = 1,2, что означает планирование роста продаж в 1,2 раза, или на 20 %.

Индекс выполнения плана

Индекс выполнения плана – это отношение фактически полученного значения абсолютной величины в отчетном периоде к запланированному:

Например, автосалон в феврале продал 110 автомобилей, хотя на февраль было запланировано продать 120 автомобилей. Тогда индекс выполнения плана составит iвп= 110/120 = 0,917, что означает выполнение плана на 91,7 %, то есть план недовыполнен на (100 %-91,7 %) = 8,3 %.

Перемножая индексы планового задания и выполнения плана, получим индекс динамики.

В рассмотренном ранее примере про автосалон, если перемножим полученные значения индексов планового задания и выполнения плана, то получим значение индекса динамики: 1,2*0,917 = 1,1.

Индекс структуры

Индекс структуры (доля, удельный вес) – это отношение какой-либо части статистической совокупности к сумме всех ее частей:

(10)

Индекс структуры показывает, какую долю составляет отдельная часть совокупности от всей совокупности.

Например, если в рассматриваемой группе студентов 20 девушек и 10 молодых людей, тогда индекс структуры (доля) девушек будет равен 20/(20+10) = 0,667, то есть доля девушек в группе составляет 66,7 %.

Индекс координации

Индекс координации – это отношение одно части статистической совокупности к другой ее части, принятой за базу сравнения:

33

(11)

Индекс координации показывает, во сколько раз больше или сколько процентов составляет одна часть статистической совокупности по сравнению с другой ее частью, принятой за базу сравнения.

Например, если в группе студентов из 20 девушек и 10 молодых людей принять за базу сравнения численность девушек, тогда индекс координации численности молодых людей составит 10/20 = 0,5, то есть численность молодых людей составляет 50 % от численности девушек в группе.

Индекс сравнения

Индекс сравнения – это отношение значений одной и той же абсолютной величины в одном и том же периоде или моменте времени, но для разных объектов или территорий:

(12)

где А, Б – признаки сравниваемых объектов или территорий.

Например, в январе 2009 года число жителей в Нижнем Новгороде составляло примерно 1280 тыс. чел., а в Москве – 10 527 тыс. чел. Примем Москву за объект А (так как принято при расчете индекса сравнения большее число ставить в числителе), а Нижний Новгород – за объект Б, тогда индекс сравнения числа жителей этих городов составит 10527/1280 = 8,22 раза, то есть в Москве число жителей в 8,22 раза больше, чем в Нижнем Новгороде.

Индекс интенсивности

Индекс интенсивности – это отношение значений двух взаимосвязанных абсолютных величин с разной размерностью, относящихся к одному объекту или явлению.

(13)

Например, хлебный магазин продал 500 буханок хлеба и заработал на этом 10000 р., тогда индекс интенсивности составит 10000/500 = 20 [р./бух. хлеба], то есть цена продажи хлеба составила 20 р. за буханку.

Большинство величин с дробной размерностью представляют собой индексы интенсивности.

34

Контрольные вопросы

1.В каких единицах измеряются абсолютные величины?

2.Перечислите виды абсолютных величин.

3.Для чего применяются относительные величины?

4.Перечислите виды относительных величин.

5.Как рассчитываются относительные величины?

35

1.4.СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.Сущность средних величин

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает общими для всей совокупности свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией. Рассмотрим другое свойство явлений – присущую им близость характеристик отдельных явлений. Если в сосуд с горячей водой добавить холодную, то температура воды во всем сосуде станет одинаковой (осреднится). Массовое промышленное производство невозможно без стандартизации, т.е. усреднения размеров деталей собираемых механизмов, узлов, агрегатов. Взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в ее объективности заключена причина широчайшего применения средних величин в теории и на практике.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Средняя величина – это обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку, который показывает уровень признака к единице совокупности.

Виды средних величин различаются, прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

В статистике применяются различные виды степенных средних: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структурных средних – мода и медиана.

Особенности средней величины:

1)характеризуется одной величиной изучаемого признака для всех единиц качественно-однородной совокупности;

2)именованная величина, то есть имеет ту же размерность, что и исследуемый признак;

3)характеризует типичный уровень для изучаемой совокупности, отклоняясь от индивидуальных значений;

36

4) может быть надежной, то есть реально оценивать типичность и ненадежность.

Группы средних величин:

1)степенные средние (для определения обобщающей характеристики совокупности);

2)структурные средние (характеризуют структуру совокупности);

3)системные средние (характеризуют уровень развития явления, сравниваем отдельные совокупности между собой, выясняем причины различий, изменения явлений во времени).

2. Степенные средние

Главное значение степенных средних – их обобщающая функция, то есть заменимое множество различных индивидуальных значений признака средней величиной.

Функция имеет вид: , принимает различные выражения с изменением показателя степени . Данной функции соответствует единое выражение степенной средней:

где – индивидуальное значение признака; n – численность совокупности;

П – произведение Исходя из данного выражения, получаем правило мажорантности сред-

них:

(15)

37

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Основное применение данная средняя находит при определении средних темпов роста. Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака (пример по выигрышу: если мин. размер – 100 р., а максим. размер – 1

000 000 р.).

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

Пример: имеются 3 участка земельной площади со сторонами квадрата: 100 м, 200 м, 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, дол ж- ны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина не удовлетворяет этому условию (равна 200 м), так как общая площадь трех участков была бы равна 3*200 = 120 000 , в то же время она равна

140 000 (100*100+200*200+300*300). Правильный ответ дает средняя квадра-

тическая:

38

.

Степенные средние бывают простыми и взвешенными.

Простые применяются, когда индивидуальные значения признака не повторяются. Взвешенные применяются, когда индивидуальные значения признака повторяются.

Числа единиц, имеющие одинаковое значение признака, называются весами-частотами.

, F – объемный показатель, определенный как произведение индивидуальных значений признака на их частоту.

Пример: Студент сдал экзамены на 2 и 5, рассчитать среднюю. Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если деканат желает «утопить» студента, то можно вычислить среднюю гармоническую

.

Можно рассчитать и по средней кубической:

3. Средние арифметические и средние гармонические

Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иными словами, средняя арифметическая величина– среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата и т.д.

Пример: уровень квалификации работников бригады характеризуется следующими значениями тарифного разряда 2, 3, 4, 5, 6. Определить средний уровень квалификации.

Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения, или группировку, то используется форму-

39

ла средней арифметической взвешенной. В качестве весов выступают числа единиц совокупности в разных группах. Название «вес» отражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины.

Пример: В бригаде 7 человек

Существует несколько способов расчета средней арифметической:

1) если имеются индивидуальные значения признака и их частота, то рассчитываются по формулам:

;

2)по логической формуле. Если имеются не отдельные значения признака, а годовая их сумма и общая их численность.

3)среднее арифметическое для сгруппированных данных.

Если при группировке значения усредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности свойств признака и совокупности;

40