Электрические методы исследования разрывов энергетических зон в полупроводниковых микро- и наногетероструктурах. Учебное пособие

31

Ферми для электронов, Een – n-й уровень размерного квантования, ħ – постоянная Планка, mw* – эффективная масса электрона в КЯ. Энергии уровней размерного квантования и положение уровня Ферми отсчитываются относительно дна КЯ. Разрыв зоны проводимости в квантово-размерной структуре определяется как Ec = Ecb – Ecw, где Ecb – уровень энергии, соответствующий дну зоны проводимости в барьерном слое. В случае если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, концентрация носителей заряда в яме определяется выражением [6]:

Следуя аналогии с выражением для концентрации свободных электронов в зоне проводимости в объемных полупроводниках [2]:

состояний для электронов в КЯ определяется как:

N qw = mw kT

c π H 2

.

В структурах с набором взаимодействующих КЯ, т.е. в сверхрешетках, также как и в структурах с одиночной КЯ, газ носителей можно считать двумерным, если выполняется условие двумерности [13]:

релаксации при рассеянии носителей заряда [13]. При выполнении условия (10) можно считать электроны распределенными равномерно по ширине минизон в сверхрешетке и полагать s = 0 [13]. Тогда для первой заполненной минизоны или основного уровня размерного квантования получают выражение для объемной концентрации электронного газа в КЯ [6]:

где d – ширина КЯ (толщина слоя КТ). В случае если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, объемная концентрация

33

Предэкспоненциальный множитель в выражении для скорости эмиссии электронов с ГУ равен σn<υT>Nc [2-4]. В случае квантоворазмерных структур Nc имеет физический смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости в барьерных слоях, причем

предэкспоненциального множителя σn<υT>Nc в выражении для скорости эмиссии для емкостной DLTS [3] сечение захвата электронов в КЯ может быть определено из выражения:

Таким образом, получено выражение для сечения захвата НЗ квантовой ямой. Следует отметить, что экспериментально наблюдаемые авторами величины СЗ близки к предсказываемым по формуле (13) в пределах погрешности измерений [8].

Ширину запрещенной зоны материала КЯ и полный разрыв запрещенной зоны в гетероструктурах c КЯ на основе прямозонных полупроводниковых соединений можно выразить через энергетическое положение ECL линии излучения локализованного экситона в КЯ и его сдвига ECL относительно линии излучения свободного экситона в спектре люминесценции гетероструктуры по формулам [13-14]:

EG = Ev + Ec = ECL –

где Ebhh - энергия связи экситона, локализованного на тяжелой дырке, Ee1 и Ehh1 – энергия основного уровня размерного квантования электрона в КЯ в зоне проводимости и тяжелой дырки в КЯ в валентной зоне соответственно, EG – ширина запрещенной зоны

связи свободного экситона в барьерном слое и локализованного экситона в КЯ, связанных с тяжелой дыркой. При этом предполагается, что линия КЛ от КЯ обусловлена излучением свободного экситона, образованного тяжелой дыркой, поскольку квантово-размерная структура имеет конфигурацию зонной

34

диаграммы первого типа.

Полученные из экспериментов по измерению спектров люминесценции и DLTS результаты могут быть использованы, например, для оценки относительного разрыва зоны проводимости в гетероструктуре, для которой удается найти из DLTS-спектров энергию активации электронов с основного уровня размерного квантования в КЯ E1:

Qc = Ec/ EG = (E1 + Ee1)/( ECL – Ebhh + Ee1 + Ehh1). (15)

Энергия связи экситона в квантовой яме обычно может быть рассчитана. Энергии уровней размерного квантования электронов и дырок в КЯ Ee1 и Ehh1 могут быть вычислены по формулам по известным параметрам КЯ (ее ширине, значениям эффективных масс электронов и дырок в КЯ и барьерах) с помощью модели прямоугольной КЯ с широкими барьерами и конечной глубиной:

для четных значений квантового числа n и

для нечетных значений квантового числа n, где mw и mb являются эффективными массами носителей заряда в квантовой яме и в барьерном слое соответственно; Ec,v – величина разрыва зоны проводимости или валентной зоны; En – значение n-го уровня энергии в квантовой яме, отсчитанное от дна зоны проводимости в КЯ для электронов и от потолка валентной зоны в КЯ для дырок.

Численное решение системы уравнений (14-17) позволяет вычислить параметр относительного разрыва зоны проводимости Qc по полученным экспериментальным данным из спектров люминесценции и DLTS [13-14].

2.5. DLTS с преобразованием Лапласа

DLTS позволяет исследовать ГЦ в полупроводниковых барьерных структурах, определять энергию активации, концентрацию ГЦ, сечение захвата, а в квантово-размерных структурах – процессы эмиссии НЗ с основного уровня размерного квантования. Однако на практике одна из проблем DLTS – интерпретация экспериментальных результатов при наложении на спектрах близких пиков от разных ГУ друг на друга. Пики удается разделить, применяя специальные весовые функции высокого разрешения, например Hires-3, -4, -5. Но указанные

36

Для диода на основе гетероструктуры разрывы разрешенных зон (далее РРЗ) на границе раздела могут быть определены методами, основанными на измерении вольт-фарадных характеристик [17].

Далее рассмотрим контакт полупроводников, которые будем обозначать по типу проводимости n- или p- для материала с меньшей шириной запрещенной зоны и N- или P- для материала с большей шириной запрещенной зоны.

2.6.1. Анизотипный (p-N или P-n) гетеропереход

При рассмотрении зонной диаграммы p- и N-полупроводника до и после контакта при нулевом внешнем смещении может быть показано, что изменение энергии на eUk, соответствующее контактной разности потенциалов (КРП) или диффузионному потенциалу Uk , находится из выражения:

eUk = Ec + (Ecp – EFp) – ( EcN – EFN), (20)

где (Ecp – EFp) – энергетический зазор между дном зоны проводимости и квази-уровнем Ферми для p-полупроводника и (EcN – EFN) – соответствующий зазор в N-полупроводнике.

Рис. 8. Возможные случаи взаимного согласования запрещенных зон разных контактирующих полупроводников [17]

При рассмотрении указанного гетероперехода предполагается отсутствие глубоких ловушек на границе раздела, равномерное легирование соответствующих областей гетероперехода. При

37

приложении обратного напряжения UR полное напряжение на p-N переходе будет равно (UR + Uk). Это напряжение падает на области пространственного заряда, величина которого равна по модулю QVR с каждой стороны гетероперехода. Расчет барьерной емкости CVR в зависимости от dQVR/dUR осуществляется из выражения:

В случае диода Шоттки или p-n-гомоперехода квадрат обратной барьерной емкости линейно зависит от обратного напряжения на диоде, а пересечение этой прямой с осью напряжений дает возможность определить контактную разность потенциалов Uk и по выражению (20) разрыв зоны проводимости [17].

2.6.2. Изотипный (n-N или p-P) переход

Для n-N гетероструктуры (т.е. структуры, состоящей из двух контактирующих полупроводников электронного типа проводимости с разной шириной запрещенной зоны) такой же анализ, как для p-N перехода, показывает, что разрыв зоны проводимости DEc и КРП Uk связаны соотношением:

DEc = eUk – kT ln[(Ncn/NcN)×(nN0/nn0)],

где символы N и n имеют тот же смысл, что и ранее. Таким образом, DEc можно вычислить, если могут быть измерены величины eUk, nN0 и nn0 [17].

2.6.3. Емкостная спектроскопия наноструктур

Рассмотрим барьерную емкость диода Шоттки на основе полупроводниковой гетероструктуры n-типа проводимости с квантовой ямой. При отсутствии обратного смещения под барьером Шоттки под действием поверхностного потенциала qФb формируется область пространственного заряда Wd(0) (рис. 9, а). Уровень размерного квантования Е0 в слое КЯ находится ниже дна зоны проводимости матрицы ЕC, поэтому часть свободных носителей перетекает в КЯ из прилегающих к квантовой яме барьерных n-слоев. В КЯ накапливается отрицательный заряд электронов, который

38

индуцирует область пространственного заряда W0 с обеих сторон от слоя квантовой ямы (рис. 9, а).

Вданной структуре существуют два типа распределения заряда:

двумерный заряд электронов (Q2D), расположенных на уровнях Еi в квантовой яме, и трехмерный заряд свободных электронов в зоне

проводимости и ионизованных доноров (Q3D) в n-матрице. При изменении напряжения смещения dU в такой структуре происходит

изменение заряда dQ3D, связанное с движением края области пространственного заряда барьера Шоттки от Wd(0) до Wd(V) (рис. 9, б). Кроме того, изменяется заряд в квантовой яме dQ2D, а следовательно, и заряд, индуцированный вокруг квантовой ямы [18].

Вработе [18] показано, что барьерная емкость CQW данной структуры имеет две компоненты – трехмерную (C3D) и двумерную

(C2D):

где суммирование проводится по всем подзонам состояний в квантовой яме. Вторая компонента C2D в выражении (21) отражает изменение двумерного заряда электронов в квантовой яме Q2D, связанное с изменением относительного положения уровня Ферми ЕF и энергетического положения подзоны Е0 в квантовой яме, а также с изменением квадрата волновой функции |Ψ0|2 электронов в квантовой яме из-за квантового эффекта Штарка.

Заряд Q2D, аккумулированный в квантовой яме, зависит от таких параметров, как разрыв зон на гетерогранице ∆Ec и ∆Ev, эффективная масса носителей и ширина квантовой ямы, которые, в свою очередь, определяют положение энергетических уровней Еi и волновые функции локализованных состояний Ψi в квантовой яме. Поэтому анализ емкости C2D, связанной с квантовой ямой, позволяет определить все эти параметры. Вводится понятие емкостной спектроскопии квантово-размерных состояний, когда при увеличении напряжения обратного смещения на барьере Шоттки заполненные электронами энергетические уровни Еi в слое КЯ последовательно опустошаются при прохождении через уровень Ферми ЕF, определяемый матрицей (рис. 9 а, б).

Следует отметить, что выражение (21) для емкости диода Шоттки с квантовой ямой написано в частных производных, потому что необходимо учитывать, что изменение заряда в квантовой яме приводит к изменению заряда, индуцированного вокруг квантовой ямы, поэтому двумерная C2D и трехмерная C3D компоненты емкости

39

CQW оказываются взаимосвязанными. Последнее обстоятельство в значительной степени затрудняет анализ емкости диода Шоттки с квантовой ямой.

а

б

Рис. 9. Энергетическая диаграмма диода Шоттки на структуре с квантовой ямой: а – при отсутствии внешнего напряжения смещения; б – при приложенном обратном смещении [18]

Для расчета C-V характеристик диодов Шоттки, изготовленных на основе полупроводниковых гетероструктур, авторами [18, 19] разработана модель самосогласованного решения одномерных уравнений Пуассона и Шредингера. Из решения уравнения Пуассона получается распределение по толщине структуры электростатического потенциала φ(z). Уравнение Шредингера решается для эффективного потенциала U(z), который учитывает форму дна зоны проводимости ∆Ec(z) нелегированной гетероструктуры с учетом разрывов зон на границах квантовой ямы, влияние свободных электронов в зоне проводимости и ионизованных доноров, а также внешнее напряжение смещения UR, прикладываемое к структуре:

U(z) = – eφ(z) + ∆Ec(z).

Заряд в области квантовой ямы Q2D(z) представляет собой распределение плотности двумерного электронного газа, которое

40

зависит от волновых функций Ψi(z) и собственных значений энергии Ei, полученных из уравнения Шредингера [18]:

Система взаимодействующих дифференциальных уравнений Пуассона и Шредингера не может быть решена аналитически, поэтому обычно используется численный подход на основе метода конечных разностей. Для дискретизации дифференциальных уравнений Пуассона и Шредингера реальное пространство разбивается узлами сетки на ячейки с однородным размером. С помощью интерполяционного полинома второй степени получают приближенные выражения для производных первого и второго порядка искомых функций φ(z) и Ψ(z) по трем точкам так называемые центральные разностные отношения. Решение системы дифференциальных уравнений Пуассона и Шредингера сводится к решению систем линейных уравнений с матрицами высокой размерности (более 1000х1000 элементов). Использование схемы Холецкого при решении таких систем позволяет значительно повысить скорость вычислений. Для получения самосогласованного решения уравнений Пуассона и Шредингера используется итеративная процедура [18].

Самосогласованное решение уравнений Пуассона и Шредингера позволяет определить форму эффективного потенциала U(z) как функцию напряжения смещения UR, приложенного к диоду Шоттки. Согласно теореме Гаусса, для данного напряжения смещения UR полный заряд в структуре пропорционален величине электрического поля на поверхности образца Esurf :

где ∆Q есть полное изменение заряда, обусловленное изменением обратного смещения ∆U около статической точки напряжения смещения UR.

Представленная модель для расчета емкости диода Шоттки основана на квазистатическом приближении, т.е. не учитывается временная зависимость изменения заряда dQ, вызванного изменением напряжения смещения dU. На практике для измерения дифференциальной емкости к барьеру Шоттки (или p-n-переходу)