Экстремальные и оптимальные методы в инженерной деятельности. Учебное пособие

4.3.Методнаименьшихквадратов

Система (4.2) также упрощается:

Относительно неизвестных коэффициентов aj уравнения (4.4) являются линейными. Значения коэффициентов aj можно определить, например, по правилу Крамера (для случая k > 1 при определении коэффициентов aj обычно пользуются методом Гаусса):

где A — главный определитель системы уравнений (4.4); A0 и A1 — дополнительные определители той же системы:

Коэффициенты регрессии уравнения (4.3) могут быть определены также и геометрически (рис. 4.1). (На рисунке 4.1 квадратами изображены экспериментальные данные.)

Коэффициенту a0 соответствует в масштабе отрезок ординаты, отсекаемый линией регрессии от начала координат, коэффициенту a1 — тангенс угла наклона линии регрессии относительно положительного направления оси абсцисс.

61

Глава 4. Статистические модели. Уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов

Y

a0

a1 = tg α

Y(xi)

yi

α

Yi

Рис. 4.1. Аппроксимация опытных данных линейным уравнением прямой регрессии

Уравнение (4.3) с коэффициентами регрессии (4.5) учитывает погрешность функции и не учитывает погрешность фактора. Его называют уравнением прямой регрессии.

Если в качестве независимого параметра рассматривать yi, а xi — как функцию от yi, тогда получим обратную регрессию, уравнение которой имеет вид

Xi = xi – X (yi).

Коэффициенты обратной регрессии вычисляются по формулам, аналогичным (4.5), (4.6)–(4.8):

b0 = B0/B,  b1 = B1/B.

Здесь для краткости решения задачи метода наименьших квадратов введены следующие обозначения:

62

4.4.Статистическоеоцениваниерезультатоврасчетов

Рис. 4.2. Аппроксимация линейными уравнениями прямой и обратной регрессии

4.4. Статистическое оценивание результатов расчетов

Линии прямой и обратной регрессии будут совпадать друг с другом только в том случае, когда все опытные точки строго совпадают с линией регрессии. Такая связь между фактором X и функцией Y называется функциональной. При отклонении опытных точек от линии регрессии связь Y (X) является вероятностной, или стохастической;

вэтом случае линии прямой и обратной регрессии образуют «ножницы» (см. рис. 4.2), пересекаясь в центре «тяжести» выборки, то есть

вточке с координатами x и y .

63

Глава 4. Статистические модели. Уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов

Близость зависимости Y (X) к функциональной связи оценивается коэффициентом корреляции

который может принимать значения в пределах –1 ≤ r ≤ 1. Функциональной связи отвечает значение (r) = 1. При r = 0 величины X и Y не зависят друг от друга (но нелинейная связь может существовать). При –1 ≤ r ≤ 1 связь является вероятностной.

Если с увеличением значений x значения y имеют тенденцию к увеличению, то величина r будет находиться между 0 и 1. Если же с увеличением значений x значения y имеют тенденцию к снижению, r может принимать значения от 0 до –1. В первом случае зависимость будет прямая, во втором — обратная.

Здесь следует подчеркнуть, что сама по себе величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причин- но-следственной связи между исследуемыми величинами, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях указанных величин. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Например, может оказаться, что отклонение от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции оказывается целиком обусловленным неизбежными случайными колебаниями выборочных данных, на основании которых он вычислен. Особенно осторожно следует подходить к истолкованию полученных коэффициентов при незначительных объемах выборочной совокупности.

Значимость уравнения регрессии в целом проверяют путем сравнения несмещенной дисперсии S 2 с остаточной дисперсией Sост2 с ис-

пользованием F критерия:

Считают, если условие (4.10) выполняется, то принимается нульгипотеза H0: качественное представление уравнением регрессии результатов испытаний значимо.

Условие (4.10) проверяют как для уравнения прямой регрессии, так и для уравнения обратной регрессии. Поэтому величины в (4.10) вычисляются следующим образом:

64

Проверьсебя

а) для уравнения прямой регрессии (4.3):

при этом Y (xi) вычисляют по формуле (4.3), X (yi) — по формуле (4.9); yi, xi — исходные данные, а величину Fp (n1, n2) для степеней свободы n1 = n – 1, n2 = n – 2 можно определить по таблицам.

ВеличинаSост2 является показателем ошибки предсказания уравнением регрессии результатов опытов, поэтому можно сказать, что выражение (4.10) показывает, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты опытов лучше, чем среднее значение опытных данных.

Пример построения статистической модели на основе экспериментальных данных дается в программе.

Проверьсебя

1.Какие способы прогнозирования по регрессионной модели существуют?

Варианты ответов:

a)восстановление значения;

b)изменение значения;

c)экстраполяция;

d)ультраполяция.

2.Выберите ложное утверждение.

Варианты ответов:

a)нет строгих правил построения модели;

b)модель никогда не может заменить само явление;

c)при решении конкретной задачи модель может оказаться полезным инструментом;

d)объект может служить моделью другого объекта, если он отражает его существенные признаки;

65

Глава 4. Статистические модели. Уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов

e)модель содержит столько же информации, сколько и моделируемый объект.

3.В биологии классификация представителей животного мира представляет собой … модель.

Варианты ответов:

a)иерархическую;

b)натурную;

c)графическую;

d)табличную;

e)математическую.

4.Математическая модель объекта — это описание объекта-ори- гинала в виде …

Варианты ответов:

a)текста;

b)таблицы;

c)рисунка;

d)формул;

e)схемы.

5.Какое значение примет параметр R 2, если тренд точно проходит через экспериментальные точки?

Варианты ответов:

a)+1;

b)0;

c)–1.

6.Модель отражает …

Варианты ответов:

a)все существующие признаки объекта;

b)все существенные признаки;

c)существенные признаки в соответствии с целью моделирования;

d)некоторые существенные признаки объекта;

e)некоторые из всех существующих.

7.Как располагается линия тренда, построенная по МНК, относительно экспериментальных точек?

Варианты ответов:

a)линия тренда должна проходить рядом с экспериментальными точками;

66

Проверьсебя

b)линия тренда должна проходить дальше от экспериментальных точек;

c)линия тренда должна проходить как можно ближе к экспериментальным точкам.

8.Какие значения может принимать параметр R 2?

Варианты ответов:

a)[–1; +1];

b)Любые;

c)[0; +1];

d)[–1; 0]. 9. Какова суть МНК? Варианты ответов:

a)искомая функция должна быть построена так, чтобы сумма квадратов отклонений игрек-координат всех экспериментальных точек от игрек-координат графика функции была минимальной;

b)искомая функция должна быть построена так, чтобы сумма квадратов отклонений икс-координат всех экспериментальных точек от икс-координат графика функции была минимальной;

c)искомая функция должна быть построена так, чтобы сумма кубов отклонений игрек-координат всех экспериментальных точек от игрек-координат графика функции была минимальной.

10.Какие из следующих величин можно назвать динамическими? Варианты ответов:

a)среднее число выпавших осадков;

b)средняя температура воздуха в регионе;

c)мгновенная скорость автомобиля.

67

Библиографический список

1.Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах

изадачах : учебное пособие для вузов / И. Л. Акулич. — 4 е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 348 с. — ISBN 978-5-507-44635-3.

2.Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач : учебное пособие для вузов / Ф. П. Васильев. — 2 е изд., перераб.

идоп. — Москва : Наука, 1988. — 549 с. — ISBN 5-02-013796-0.

3.Гончаров, В. А. Методы оптимизации : учебное пособие для вузов / В. А. Гончаров. — Москва : Юрайт, 2023. — 211 с. — ISBN 978-5- 534-16112-0.

4.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. — 7 е изд., испр. — Москва : АСТ : Мир и Образование, 2016. — 816 с. — ISBN 978-5-17-099894-4.

5.Карманов, В. Г. Математическое программирование : учебное пособие / В. Г. Карманов. — 6 е изд., испр. — Москва : Физматлит, 2008. — 263 с. — ISBN 978-5-9221-0983-3.

6.Моисеев, Н. Н. Методы оптимизации : учебное пособие для вузов / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. П. Столярова. — Москва : Наука, 1978. — 351 с.

7.Струченков, В. И. Методы оптимизации. Основы теории, задачи, обучающие компьютерные программы : учебное пособие / В. И. Струченков. — 2 е изд., перераб. — Москва : Экзамен, 2007. — 254 с. — ISBN 978-5-377-00012-9.

8.Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау ; пер. с англ. И. Н. Быховской и Б. Т. Вавилова ; под. Ред. М. Л. Быховского. — Москва : Мир, 1975. — 534 с.

68

Приложение

Ответы к заданиям

Кглаве 1

1) b, c; 2) b; 3) c; 4) b; 5) a; 6) c; 7) a; 8) b; 9) a, b, c; 10) a, b.

Кглаве 3

1)нелинейного программирования;

2)нелинейного программирования;

3)нелинейного программирования;

4)оптимальное решение;

5)локальное;

6)глобальное;

7)выпуклое тело;

8)внутренняя;

9)граничная;

10)угловая;

11)замкнутая;

12)ограниченная;

13)многогранник;

14)допустимый вектор;

15)область допустимых решений;

16)условно-оптимальное решение;

17)внутри;

18)пересечении гиперплоскостей;

19)линия уровня;

20)градиент;

21)градиент;

22)антиградиент;

23)градиент;

24)минимальное;

25)максимальное.

Кглаве 4

1) с; 2) e; 3) a; 4) d; 5) a; 6) c; 7) c; 8) c; 9) a; 10) a, b.

69