Экстремальные и оптимальные методы в инженерной деятельности. Учебное пособие

1.3.Математическиеаспектымоделирования

Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Математическая модель является мощным методом познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления.

Только после того, как построена математическая модель, т. е. задаче придана математическая форма, можно воспользоваться для ее изучения математическими методами.

Вобыденной жизни мы постоянно строим математическую модель, даже не задумываясь об этом. Предположим, что нужно определить площадь поверхности письменного стола. Для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически означает следующее: реальный объект — поверхность стола — заменяется абстрактной математической моделью — прямоугольником. Сторонам прямоугольника приписываются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую. При более строгом отношении к точности определения площади стола, возможно, будет необходимо отказаться от представления его простым прямоугольником и представить поверхность стола более сложной фигурой, наиболее точно соответствующей очертанию поверхности стола. Таким образом, математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом. Для одного и того же стола можно принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо еще более сложную модель «четырехугольника с закругленными углами». Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая все новые и новые особенности изучаемого объекта.

При рассмотрении физических задач обычно задается некоторая физическая система и описываются условия, в которых она находится. Далее необходимо сделать предположения о возможной идеализации этой системы (например, рассмотреть некоторое реальное физическое тело как материальную точку), определить физические законы, которые нужно принять во внимание при ее изучении, и записать их

ввиде математических соотношений. Это и есть математическая модель рассматриваемой физической системы.

Вприкладных задачах построение математической модели — это один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт по-

11

Глава 1. Основы математического моделирования

казывает, что во многих случаях правильно выбрать модель — значит решить проблему более чем наполовину.

Только в том случае, если мы ясно представим себе различные аспекты возникающих задач, можно надеяться, что мы выберем разумные математические модели и применим осмысленные математические методы, в которых понятия играют столь же важную роль, что

иуравнения, а создание и интерпретация математической модели даже важнее тех частных уравнений, к которым они приводятся.

Рассмотрим моделирование полета самолета с целью определения его оптимальной конструкции.

Иреальный самолет, и его уменьшенная копия в воздушном потоке подчиняются одним и тем же законам аэродинамики. Модель

исамолет оказываются похожими не только внешне, но и по «физическому содержанию» — их аэродинамические характеристики связаны определенным соотношением подобия.

Остается еще один шаг — не запускать модель в небо, а закрепить ее на специальном лабораторном стенде и направить на нее поток воздуха с той скоростью, с которой должна лететь модель. В основе такого рода исследования лежит метод моделирования, опирающийся в данном случае на строгую теоретическую базу, именуемую теорией подобия.

Итак, модель — это не только и не столько внешнее сходство. Главное лежит глубже — поведение модели и реального объекта должно подчиняться одинаковым закономерностям. Изучив их на доступной для исследования модели, возможно предсказать свойства проектируемой конструкции.

Аэродинамическое моделирование относится к тому типу физичес­ кого моделирования, когда и натурный объект, и модель имеют одинаковую физическую природу, в данном случае взаимодействие тела с воздушным потоком. Это не единственный способ.

Математическая задача, описывающая напряженное состояние балки, в точности совпадает с задачей о прогибе мембраны. Только в одном случае функция, входящая в уравнение, есть механическое напряжение, а в другом — прогиб мембраны. А раз задачи совпадают, то и решения у них одинаковы. Поэтому одно из них — форма вспучившейся мембраны, которая может быть измерена с хорошей точностью, — дает детальное представление о другом, недоступном для прямого наблюдения, распределении напряжений по сечению балки.

12

1.3.Математическиеаспектымоделирования

Описанная мембранная аналогия дает пример моделирования одних явлений с помощью других, имеющих иную физическую природу.

Рассуждая о физических моделях, мы упомянули о моделях совсем другого типа — математических. Именно так может быть названа математическая задача, которая описывала и прогиб мембраны, и кручение балки. Математическая модель обоих явлений оказалась одинакова, именно поэтому справедлива мембранная аналогия.

Например, в области механики существуют два эмпирически установленных закона: закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона — полностью определяют простейшую математическую модель физического явления — падения камня на поверхность Земли в отсутствии сопротивления воздуха.

Соответствие математической модели изучаемому объекту. Критерий практики. Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Основанная на упрощении, идеализации, она является приближенным описанием объекта, поэтому результаты, получаемые при анализе модели, всегда носят для объекта приближенный характер. Их точность определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта. Вопрос о точности, о достоверности результатов — это один из самых тонких вопросов математического моделирования.

Наиболее просто он решается в случае, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, и имеется большой практический опыт их применения. Тогда можно априори оценить точность результатов, которую обеспечивает рассматриваемая модель.

Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели (то есть построенной на основе гипотез), носят для изучаемого объекта условный характер. Они справедливы для него настолько, насколько правильны исходные предположения. Для их проверки необходимо сопоставить результаты исследования модели со всей имеющейся информацией об изучаемом объекте. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта не является чисто математическим вопросом и не может быть решен математи-

13

Глава 1. Основы математического моделирования

ческими методами. Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова. Критерий практики позволяет сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них такую, которая является наиболее простой и в то же время, в рамках требуемой точности, правильно передает свойства изучаемого объекта.

Таким образом, математические модели позволяют свести исследование реального «нематематического» объекта к решению математической задачи, открывая тем самым возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой. На этом основано применение математики для познания законов реального мира и их использования в практике.

Во многих областях науки и техники применение методов информатики сдерживается не отсутствием компьютеров, а отсутствием содержательных математических моделей. Очень важно заметить, что математическая модель — это не только уравнения, но и дополнительные условия, устанавливающие границы их применимости. Все полученные с помощью этой модели теоретические результаты будут справедливы только в оговоренных рамках.

Вычислительный эксперимент. Вычислительный эксперимент является новым способом проведения теоретических исследований; основой вычислительного эксперимента является математическое моделирование, теоретической базой — прикладная математика, а технической — мощные компьютеры.

Процесс математического моделирования или выполнение вычислительного эксперимента (то есть изучение явления с помощью математической модели) принято подразделять на ряд этапов.

На первом этапе для исследуемого объекта строится модель. Сначала физическая, фиксирующая разделение всех действующих в рассматриваемом явлении факторов на главные, которые учитываются, и второстепенные, которые на данном этапе исследования отбрасываются. Поэтому этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Одновременно формулируются допущения, или рамки применимости модели, в которых будут справедливы получаемые на ее основе результаты. Эта модель записывается в математических терминах, как правило, в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных

14

1.3.Математическиеаспектымоделирования

уравнений: таким образом получается математическая модель изучаемого объекта или явления.

Второй этап вычислительного эксперимента связан с разработкой метода расчета сформулированной математической задачи, или, как говорят, вычислительного алгоритма, который есть совокупность алгебраических формул, по которым ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить нужную последовательность применения этих формул. Как правило, для решения одной и той же задачи можно использовать большое количество вычислительных алгоритмов. Вследствие этого необходимо определить критерии для оценки качества используемых алгоритмов. Эти вопросы составляют предмет теории численных методов. Основная цель этой теории — построение эффективных вычислительных методов, которые позволяют получить решение поставленной задачи с заданной точностью за минимальное количество действий. Основной целью второго этапа является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. Часто математические задачи, возникающие на основе математических моделей различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это дает основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап вычислительного эксперимента — создание программы для реализации разработанного алгоритма на ЭВМ.

Четвертый этап — собственно проведение расчетов на компьютере. На этом этапе выясняют, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выясняют вопрос о том, согласуются ли результаты наблюдений (экспериментов) с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена (все параметры ее были заданы), то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики остаются неопределенными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким обра-

15

Глава 1. Основы математического моделирования

зом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений, с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применения критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих

воснове подлежащей изучению (гипотетической) модели.

Кчетвертому тесно примыкает пятый этап вычислительного эксперимента — обработка результатов расчета, всесторонний анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях, модернизация модели и, наконец, выводы.

Только после проведения этой длительной кропотливой работы

ввычислительном эксперименте наступает фаза прогноза — с помощью математического моделирования предсказывается поведение исследуемого объекта в условиях, где эксперименты не проводились или где они вообще невозможны, то есть этот метод является единственным методом изучения непосредственно недоступных нам явлений макро- и микромира.

Часто оказывается так, что в процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях все более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей математической модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели.

Решение задач математического моделирования. Построение математической модели рассматриваемого объекта позволяет поставить задачу его изучения как математическую. Поэтому следующим этапом исследования является решение сформулированной математической задачи, которое может быть выполнено, в зависимости от сложности математической модели, различными методами. (Классификация методов решения задач математического моделирования дана в главе 2 этого учебного пособия.)

16

1.4.Рекомендациидляпостроениямоделей

1.4. Рекомендации для построения моделей

Предложим некоторые рекомендации для построения моделей. 1. С самого начала необходимо подчеркнуть, что общих способов

построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается с учетом задачи исследования. Например, если исходные данные известны неточно, то, по-видимому, нет смысла строить очень подробную модель. Математическая модель должна отражать важнейшие черты изучаемого явления, вместе с тем, модель должна быть по возможности простой; излишняя ее детализация второстепенными факторами усложняет математический анализ и делает труднообозримыми результаты исследования. Точно так же, с другой стороны, если математическая модель выбрана недостаточно тщательно, все выводы могут быть недостаточно надежны, а в некоторых случаях могут оказаться и неправильными.

2. Поскольку математическая модель не вытекает с непреложностью из описания задачи, всегда полезно сличать результаты, полученные по разным моделям. При этом одну и ту же задачу необходимо решать несколько раз, пользуясь разной системой допущений. Если результаты исследования от модели к модели меняются мало, это серь­ езный аргумент в пользу объективности исследования. Если же они существенно расходятся, надо пересмотреть концепции, положенные в основу различных моделей, и выяснить, какая из них более адекватна действительности.

3. В некоторых случаях возникает необходимость в повторном обращении к модели для дополнительного внесения в модель коррективов.

4. Изучение объектов самой различной природы часто приводит

кодним и тем же математическим задачам, что дает благоприятную возможность выделить задачи, которые часто встречаются в практических приложениях, изучить их особенности, разработать эффективные алгоритмы и реализовать их в виде стандартных программ для ЭВМ. Поэтому гораздо выгоднее развивать универсальные алгоритмы для решения широкого класса задач, чем строить частные алгоритмы для решения каждой задачи в отдельности. Применение хороших алгоритмов позволяет в десятки, а то и в сотни раз снизить требование

кЭВМ.

17

Глава 1. Основы математического моделирования

5. При разработке вычислительных алгоритмов необходимо особое внимание уделять тому, чтобы они были удобны для компьютерного счета.

Проверьсебя

1. Отметьте правильный ответ (один или несколько). Математическое моделирование учитывает действующие в рас-

сматриваемом явлении факторы:

a)все;

b)основные;

c)главные;

d)второстепенные.

2.Отметьте правильный ответ (один или несколько). Математическое моделирование — это...

a)словесное описание процесса или явления;

b)описание в математических терминах физической модели;

c)решение задач на ЭВМ.

3.Отметьте правильный ответ (один или несколько).

Решение сформулированной математической задачи на ЭВМ связано с …

a)выделением второстепенных факторов физической модели;

b)разработкой гипотетической модели;

c)разработкой вычислительного алгоритма и составлением программы.

4.Отметьте правильный ответ (один или несколько).

Задача считается поставленной корректно, если...

a)решение может не существовать;

b)решение должно быть однозначно определено;

c)решение не зависит от данной задачи.

5.Отметьте правильный ответ (один или несколько). Вычислительный процесс сходится, если...

a)на каком-то шаге погрешность в решении задачи будет меньше заданной;

b)погрешность при вычислениях не убывает.

18

Проверьсебя

6.Отметьте правильный ответ (один или несколько). Вычислительные методы могут быть реализованы с помощью:

a)только с применением ЭВМ;

b)только с ручным счетом;

c)с помощью ЭВМ и ручного счета.

7.Отметьте правильный ответ (один или несколько). Погрешность, допущенная в промежуточных вычислениях, в точ-

ных методах:

a)влияет на конечный результат;

b)не влияет на конечный результат;

c)автоматически исправляется.

8.Отметьте правильный ответ (один или несколько).

Если численный метод позволяет получать решения лишь с заданной точностью, то он относится к…

a)точным;

b)приближенным;

c)неточным.

9.Отметьте правильный ответ (один или несколько). Построение математической модели изучаемого объекта состоит

из следующих этапов:

a)выделение его наиболее существенных свойств;

b)описание существенных свойств с помощью математических соотношений;

c)установление границы применимости модели;

d)поиск метода решения сформулированной задачи;

e)решение математической задачи.

10.Отметьте правильный ответ (один или несколько). Итерационные алгоритмы требуют:

a)предварительной проверки условий сходимости;

b)выбора начального приближения;

c)выделения второстепенных факторов физической модели;

d)разработки гипотетической модели;

e)установление границы применимости модели.

19

Глава 2. Задачи оптимизации

2.1. Математические модели оптимизационных задач

Внаиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на на-

хождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов.

Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку классические функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Для того чтобы использовать математические результаты и численные методы теории оптимизации для решения конкретных инженерных задач, необходимо:

а) установить границы подлежащей оптимизации инженерной системы;

б) определить количественный критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления наилучшего;

в) осуществить выбор внутрисистемных переменных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов;

г) построить модель, отражающую взаимосвязи между переменными.

Эта последовательность действий составляет содержание процесса постановки задачи инженерной оптимизации. Корректная постановка

20