Экстремальные и оптимальные методы в инженерной деятельности. Учебное пособие

2.1.Математическиемоделиоптимизационныхзадач

задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и ассоциируется в большей степени с искусством, нежели с точной наукой.

Рассмотрим вышеперечисленные пункты подробнее.

Определение границы изучаемой системы. Прежде чем приступить к оптимизационному исследованию, важно четко определить границы изучаемой системы. В данном контексте система предстает как некоторая изолированная часть реального мира. Границы системы задаются пределами, отделяющими систему от внешней среды, и служат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней средой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Тем не менее, поскольку такие взаимосвязи всегда существуют, определение границ системы является первым шагом в процессе приближенного описания реальной системы.

Характеристический критерий. Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на следующем этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы, с тем чтобы выявить наилучший проект или множество наилучших условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются критерии экономического характера. Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, наилучшему варианту всегда соответствует минимальное (или максимальное) значение характеристического показателя качества функционирования системы.

Важно отметить также, что только один критерий может использоваться при определении оптимума, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии. Здесь мы сталкиваемся с существенным упрощением реальной ситуации, поскольку в ряде практических случаев было бы весьма желательно найти решение, которое бы являлось наилучшим с позиций нескольких различных критериев.

Независимые переменные. Эти переменные должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования системы. В процессе выбора независимых переменных следует принять во внимание ряд важных обстоятельств.

Во первых, необходимо провести различие между переменными, значения которых могут изменяться в достаточно широком диапа-

21

Глава 2. Задачи оптимизации

зоне, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами.

Во вторых, при постановке задачи следует учитывать все основные переменные, которые влияют на функционирование системы.

При выборе независимых переменных целесообразно руководствоваться правилом, согласно которому следует рассматривать только те переменные, которые оказывают существенное влияние на характеристический критерий, выбранный для анализа сложной системы.

Модель системы. После выполнения вышеперечисленных этапов необходимо построить модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием.

Математической моделью оптимизационной задачи называется совокупность математических соотношений, представляющих собой равенства или неравенства, связывающие переменные и описывающие условия задачи и определяющие критерий эффективности.

Таким образом, в самом общем представлении структура модели включает основные уравнения материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, а также уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе. Эти уравнения обычно дополняются неравенствами, которые определяют область допустимых значений независимых переменных, позволяют определить требования, накладываемые на верхние или нижние границы изменения характеристик функционирования системы, и установить лимиты имеющихся ресурсов.

Из вышеизложенного следует, что задача в виде, пригодном для применения оптимизационных методов, объединяет характеристическую меру, множество независимых переменных и модель, отражающую взаимосвязь переменных. Поскольку требования, предъявляемые к оптимизационным задачам, являются весьма общими и носят абстрактный характер, область приложения методов оптимизации является достаточно широкой.

Примеры экономических и технологических критериев оптимальности. Для того чтобы выбрать показатель эффективности, т. е. целевую функцию, нужно прежде всего четко установить, какая цель достигается при реализации того или иного мероприятия. На нескольких примерах покажем, какие показатели можно принять за целевую функцию.

22

2.1.Математическиемоделиоптимизационныхзадач

План снабжения предприятий. Задача состоит в обеспечении сырьем при минимальных расходах на перевозках. В данном случае за показатель эффективности (целевую функцию) R целесообразно принять суммарные расходы на перевозку сырья за единицу времени (R → min).

Постройка участка магистрали. Требуется так спланировать строительство, чтобы закончить его как можно скорее. Естественным показателем эффективности было бы время завершения стройки, если бы оно не было связано со случайными факторами (отказы техники, задержки в выполнении отдельных работ). Поэтому в качестве целевой функции можно выбрать среднее ожидаемое время T окончания стройки (T → min).

Продажа сезонных товаров. В качестве целевой функции можно взять среднюю ожидаемую прибыль P от реализации товаров за сезон (P → max).

Постановка задачи оптимизации. Предполагается осуществить ка- кое-либо мероприятие, преследующее определенную цель. Существуют какие-то условия, и в рамках этих условий требуется принять такое решение, чтобы мероприятие было в каком-то смысле наиболее выгодным.

Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какойто цели. Операция всегда есть управляемое мероприятие, т. е. от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие ее организацию. Всякий выбор параметров называется решением. Оптимальным называется решение, являющееся по тем или иным признакам предпочтительней перед другими. Цель операции — предварительное количественное обоснование оптимальных решений. Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. Например, из пунктов Am перевозятся грузы в пункты Bn. Пусть xi — количество грузов, которое будет перевезено из пункта i в пункт j. В этом случае xi будет элементом решения, а совокупность всех xi есть решение.

В любой задаче существуют условия, являющиеся ограничениями, например, грузоподъемность транспорта, количество груза в предыдущем примере. Совокупность условий определяет множество возможных решений X. И вопрос состоит в том, чтобы в множестве возможных решений X выделить те решения xi, которые с той или иной точки зрения эффективнее.

23

Глава 2. Задачи оптимизации

Для сравнения между собой по эффективности разных решений используется количественный критерий, называемый, как уже определялось выше, целевой функцией (или показателем эффективности).

Лучшим будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели.

В наиболее сложных случаях, когда развитие операции и ее исход зависят от большого числа сложно переплетающихся между собой случайных факторов, аналитические методы вообще отказываются служить, и применяются статистические методы моделирования.

2.2. Экстремум функции

Часто при реализации какого-нибудь мероприятия имеет место ситуация, когда достижение цели можно осуществить различными способами (в дальнейшем условимся эти способы называть планами). Все такие планы называются допустимыми. В этом случае появляется возможность выбирать оптимальный в некотором смысле план. С математической точки зрения оптимальность некоторого плана означает, что этот план экстремизирует (максимизирует или минимизирует) некоторую функцию на множестве допустимых планов.

Математическое программирование представляет собой матeма­ тическую­ дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения.

Прежде чем приступить к изложению методов решения задач математического программирования, кратко дадим сведения, относящиеся к отысканию экстремума функции.

Как известно, решение многих теоретических и практических задач сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) функции f (x) n мерного векторного аргумента x, и определение экстремума функции является одной из основных задач классического математического анализа. Оптимизируемая функция f (x) есть целевая функция, или критерий оптимальности. Вектор x*, доставляющий экстремум целевой функции, называют оптимальным (выше мы вводили для него определение оптимальный план). Если x* — точка минимума функции y = f (x), то для функции y = –f (x) она является точкой максимума, так как графики функций y = f (x) и y = –f (x) сим-

24

2.2.Экстремумфункции

метричны относительно оси абсцисс. Таким образом, минимум функции f (x) и максимум функции — f (x) достигаются при одном и том же значении переменной, поэтому

min f (x) = max (–f (x)).

Рассуждая аналогично, этот вывод нетрудно распространить на случай многих переменных

min f (x1, …, xn) = max (–f (x1, …, xn));

экстремальные значения этих функций достигаются при одних и тех же значениях переменных.

Экстремум функции может иметь глобальный или локальный характер, в свою очередь, глобальный экстремум может быть строгим или нестрогим. На примере минимума функции одной переменной раскроем эти понятия.

Говорят, что точка x* доставляет глобальный минимум функции одной переменной f (x) на множестве X, если при некотором достаточно малом ε > 0 для всех x ≠ x* (x принадлежат X), удовлетворяющих условию (x — x*) ≤ ε, выполняется неравенство

f (x*) ≤ f (x).

Если при этом это неравенство выполняется как строгое, то точка x* называется точкой строгого глобального минимума (рис. 2.1, а), если же в выражении f (x*) ≤ f (x) равенство возможно при x ≠ x*, то реализуется нестрогий минимум (на рис. 2.1, б диапазон изменений x, на котором реализуется нестрогий минимум, выделен на оси абсцисс).

Минимум, определенный только на ограниченном отрезке, называется локальным минимумом.

Все определения для максимума получаются заменой знаков предыдущих неравенств на обратные.

На рисунке 2.2 показаны экстремумы функции одной переменной f (x) на отрезке [a, b]. Здесь x1, x3, x6 — точки локального максимума, а x2, x4 — локального минимума. В точке x6 реализуется глобальный максимум, а в точке x2 — глобальный минимум.

Простейшей и вместе с тем типичной задачей является задача определения экстремума функции, когда переменные могут изменяться во всем пространстве без всяких ограничений. Если при этом функ-

25

Глава 2. Задачи оптимизации

ция будет непрерывно дифференцируемая, то экстремальными будут те значения переменных, при которых обращаются в нуль все частные производные экстремизируемой функции. Такую задачу называют задачей безусловной оптимизации.

f (x) = f (x*)

Рис. 2.1. Глобальный минимум:

а — строгий; б — нестрогий

f (x)

Рис. 2.2. Экстремумы функции

Однако на практике встречаются задачи, когда на область изменения переменных накладываются ограничения (см. п. 2.1), выражаемые условиями в виде как равенств, так и неравенств. В этом случае говорят, что имеет место задача условной оптимизации. (В частности, при составлении экономических планов приходится учитывать ограничения типа «потребность в данном продукте не превосходит такой-то величины». Подобные ограничения могут налагаться на факторы при составлении, например, математических моделей физических процессов.) Такие условия в классическом математическом анализе не рас-

26

2.2.Экстремумфункции

сматриваются, а изучается задача экстремизации функции при условиях, имеющих вид только равенств.

То, что для решения задачи с ограничениями нужны новые методы, можно показать на следующем примере.

Пусть дана линейная функция одной переменной F(x) = x и требуется найти экстремум (минимум или максимум) этой функции.

Как известно, при отсутствии ограничений на область изменения переменных, определение экстремума сводится к определению такой точки, где производная функции обращается в нуль. В нашем примере производная функции F(x) нигде не обращается в нуль, так как F ′(x) ≡ 1.

Теперь определим область изменения переменных неравенствами x ≥ 0 и x ≤ 1 (рис. 2.3). Как видим, в этом случае та же функция уже имеет максимум в точке x = 1 и минимум в точке x = 0.

F(x)

F(x) = x

Рис. 2.3. Определение экстремума функции при задании ограничений на область изменения переменной

В тех случаях, когда имеет место экстремум при наличии дополнительных ограничений на область изменения переменных, говорят, что функция имеет условный экстремум. В нашем примере экстремумы функции как раз и являются условными. Изучением задач об условном экстремуме функции в различных их постановках и разработкой методов их решения занимается математическая дисциплина, которая называется математическим программированием.

Понятие условного экстремума распространяется и на случай, когда функция зависит от многих переменных. Поэтому в общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в следующем:

Определить наибольшее или наименьшее значение целевой функции

27

Глава 2. Задачи оптимизации

при условиях:

где f и gi — заданные функции, а bi — некоторые действительные числа.

2.3.Классификация задач методов оптимизации

Взависимости от свойств функций f и gi математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

Прежде всего задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. При этом

если все функции f и gi линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования.

Задачу (2.1) — (2.2) для линейного программирования в общем случае можно записать в следующей форме:

где ai, bi, cj — заданные постоянные величины, а k ≤ m.

Если в задаче (2.3), (2.4)–(2.6) k = m и l = n, то задача называется стандартной (или симметричной), если же k = 0 и l = n, то такая задача — основная (или каноническая).

Совокупность действительных чисел X = (x1, x2, …, xn), удовлетворяющих ограничениям задачи (2.4) — (2.6), называется допустимым решением (или планом).

План X * =(x1* , x2* , , xn* ), при котором целевая функция задачи (2.4) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется, как известно, оптимальным.

28

2.3.Классификациязадачметодовоптимизации

Если в задаче (2.1)–(2.2) хотя бы одна из функций f и gi нелинейна, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

К задачам нелинейного программирования относятся задачи выпуклого программирования. Это задачи, в которых целевая функция — выпуклая (или вогнутая) функция. К задачам выпуклого программирования относятся задачи квадратичного программирования. В этих задачах целевая функция имеет вид квадратичной функции. Переменные этой целевой функции удовлетворяют некоторой системе, содержащей линейные неравенства или линейные уравнения.

Взадачах целочисленного программирования неизвестные могут принимать только целочисленные значения.

Взадачах параметрического программирования целевая функция или функции, определяющие область возможных изменений переменных, либо то и другое — зависят от некоторых параметров.

Взадачах дробно-линейного программирования целевая функция представляет собой отношение двух линейных функций, а функции, определяющие область возможных изменений переменных, также являются линейными.

Если в целевой функции или в функциях, определяющих область возможных изменений переменных, содержатся случайные величины, то такая задача оптимизации относится к задаче стохастического программирования.

Задача, процесс нахождения решения которой является много­ этапным, относится к задаче динамического программирования.

Рассмотренные выше примеры были специально подобраны настолько простыми, чтобы выбор целевой функции был нетруден и прямо диктовался условиями задачи, ее однозначной целевой направленностью. Однако на практике это далеко не так. В большинстве практических задач выбор целевой функции непрост и решается неоднозначно. Обычно для сколько-нибудь сложной задачи типично положение, когда целевая функция не может быть исчерпывающим образом охарактеризована одним-единственным числом. Такие задачи называются многокритериальными.

Рассмотрим пример многокритериальной задачи. Организуется работа промышленного предприятия. На основании какого критерия надо выбрать решение? С одной стороны, нам хотелось бы обратить

вмаксимум валовой объем продукции V. Желательно также было бы

29

Глава 2. Задачи оптимизации

получить максимальный чистый доход D. Что касается себестоимости S, то ее хотелось бы обратить в минимум, а производительность труда P — в максимум. Такая множественность показателей целевых функций, из которых одни желательно обратить в максимум, а другие — в минимум, характерна для любого сколько-нибудь сложного мероприятия.

2.4. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

Общие положения. Свойства задач линейного программирования тесным образом связаны со свойствами выпуклых множеств. Из теорем линейного программирования можно сделать следующие выводы.

Непустое множество планов (решений) основной задачи линейного программирования X представляет собой выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин многогранника решений (т. е. для одного из опорных планов) значение целевой функции F является максимальным (при условии, что целевая функция ограничена сверху на множестве планов). Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин.

Решение оптимизационной задачи заключается в определении совокупности значений переменных, при которых целевая функция имеет оптимум.

Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме основной, содержит не более двух свободных переменных. В этом случае задача (2.1), (2.4)–(2.6) имеет следующий вид:

30