Экстремальные и оптимальные методы в инженерной деятельности. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

С. А. Берестова Л. С. Горулева Е. Ю. Просвиряков

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ

ИОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

ВИНЖЕНЕРНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом Уральского федерального университета для студентов вуза, обучающихся

по направлениям подготовки:

23.03.02— Наземные транспортно-технологические комплексы,

09.03.01— Информатика и вычислительная техника,

20.05.01— Пожарная безопасность

Екатеринбург Издательство Уральского университета

2023

УДК 51(075.8) ББК 22.16я73 Б48

Рецензенты:

заведующий лабораторией прикладной механики, канд. техн. наук, доц.

Л. Ф. Спевак; канд. физ.-мат. наук, доц., декан электротехнического факультета Ураль-

ского государственного университета путей сообщения В. В. Башуров

Научный редактор — канд. физ.-мат. наук, доц. Е. М. Романовская

Берестова, Светлана Александровна.

Б48         Экстремальные и оптимальные методы в инженерной деятельности : учебное пособие / С. А. Берестова, Л. С. Горулева, Е. Ю. Просвиряков ; М во науки и высш. образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2023. — 70 с. — ISBN 978-5-7996-3728-6. — Текст : непосредственный.

ISBN 978-5-7996-3728-6

В учебном пособии в краткой и понятной форме изложены основные понятия для экстремальных значений целевых функций и задач оптимизации. Приведены примеры, раскрывающие суть методик поиска оптимальных решений для описания инженерных процессов. Также в издании содержатся базовые сведения по математическому моделированию и особенностям его использования для решения инженерных задач.

Библиогр.: 8 назв. Рис. 15.

УДК 51(075.8) ББК 22.16я73

Оглавление

3

Оглавление

4

Предисловие

Пособие посвящено краткому введению в две математические дисциплины. Первая — исследование функций на существование экстремальных значений. Вторая — введение в методы

оптимизации. Частные случаи, изучаемые в этих дисциплинах, знакомы нам с детства. Понятия «больше», «меньше», «быстрее», «медленнее», «дороже» и «дешевле» окружают нас с первых лет жизни, формируют мировоззрение, интуицию для решения все более трудных задач в инженерном деле и финансово экономических делах народного хозяйства.

Систематическое изучение экстремальных и оптимизационных задач начинается в школе с изучения функций. Наиболее ярким представителем в классе функций является квадратичный трехчлен. Огромное количество задач сводится к исследованию экстремальных свойств квадратичного трехчлена (расположению вершины параболы на координатной плоскости). Именно после изучения квадратного уравнения начинается исследование расположения корней на числовой прямой, что служит основой систематического накопления опыта для решения задач с параметрами. Удивительно, но исследование расположения корней многочлена не только является красивейшей задачей, но и чрезвычайно необходимо для изучения устойчивости функционирования технических устройств, технологических, природных, социальных, экономических и многих других повседневных процессов.

Нередко студенты имеют поверхностное представление о возможностях математики для решения задач. К сожалению, применение математического аппарата фактически ограничивается уроками физики

5

Предисловие

и химии. Гораздо меньше акцентируется внимание на использовании математических методов при изучении информатики, биологии, географии, обществознания. Учитывая этот дефицит компетенций, в пособии разъясняются особенности математического моделирования. Дается краткая историческая справка о развитии теории математических моделей, обсуждаются область применимости для использования абстрактных моделей при описании реальных процессов и способы выбора математического аппарата для решения задач. В пособии, помимо изложения классических детерминированных методов для нахождения оптимальных минимальных и максимальных значений целевых показателей, уделено внимание вероятностному и статистическому моделированию. Излагаются наиболее популярные и эффективные методы для исследования случайных процессов.

В конце каждой главы в разделе «Проверь себя» приведены вопросы или задания для самоконтроля, ответы на которые можно найти в приложении.

Авторы пособия искренне надеются, что оно окажется полезным при освоении инженерных дисциплин.

Желаем успеха!

6

Глава 1.

Основы математического моделирования

1.1.Связьматематического моделирования

сдругими дисциплинами

Математическое моделирование есть подбор соотношений, описывающих существенные характеристики изучаемого процесса (или явления, или события), и опре-

деление ограничений, при которых эти соотношения имеют силу. Сегодня математическое моделирование тех явлений, которые мы изучаем, является основой новой технологии научного поиска, анализа и прогноза.

Математическое моделирование позволяет изучать эволюционные особенности явлений на всех макро- и микроуровнях, а эволюционность решений вместе с нелинейностью как раз и приводит к большому многообразию возможных путей развития.

Создание в середине ХХ века электронно-вычислительных машин (ЭВМ) можно сравнить по своей значимости с любым из самых выдающихся технических достижений в истории человечества. Особая, специфическая роль компьютеров заключается в том, что если обычные машины расширяют физические возможности людей в процессе трудовой деятельности, то вычислительные машины являются их интеллектуальными помощниками. Широкое применение математических методов на базе ЭВМ привело к появлению новых эффективных методов познания законов природы и общества и использованию этих законов в практической деятельности. Вычислительные машины открыли новые возможности увеличения производительности труда, дальнейшего развития производства, совершенствования управления.

7

Глава 1. Основы математического моделирования

За несколько десятилетий развития вычислительной техники ее производительность возросла в несколько сот миллионов раз. Такого роста производительности не было за всю историю человечества ни в одной сфере человеческой деятельности.

Наука в настоящее время подошла к рубежу, за которым успешно работавшие ранее приемы и методы познания становятся в большинстве случаев непригодными. Сложность научных проблем, решаемых сегодня, порождается главным образом нелинейностью изучаемых явлений и многообразием возможных ответов на те вопросы, которые ставит перед исследователем окружающий мир. Новые задачи требуют и новых способов решения. Одним из таких способов является математическое моделирование.

Сегодня выполнены довольно полные и законченные исследования сложных математических моделей. Но при нынешней дифференциации наук открытые в одной из них закономерности, даже обладая универсальным характером, часто не становятся достоянием специалистов из других областей знания. Среди главных причин тут можно назвать специфичность языка, которым пользуются представители практически каждой научной дисциплины.

Барьер этот, конечно же, хотелось бы устранить, и для этого есть возможности. При анализе разнообразнейших нелинейных процессов в качестве единой методологической платформы как раз и предлагается математическое моделирование.

Таким образом, вычислительная техника не просто облегчает труд ученых и расширяет диапазон исследований — в сочетании с математическим моделированием она представляет собой научный инструмент познания. Подобное тотальное методологическое обновление науки обещает кардинально изменить ее лик, затронув и ее основы,

иметоды, и возможности.

Всовременной прикладной математике можно выделить четыре основных элемента:

1) математические модели; 2) вычислительные алгоритмы; 3) электронно-вычислительные машины; 4) математическое обеспечение ЭВМ.

Использование ЭВМ в прикладной математике связано с построением математических моделей и созданием вычислительных алгоритмов. Поэтому предметом нашего рассмотрения будут первые два пункта.

8

1.2.Областиприменения математическогомоделирования

Роль математики в различных областях человеческой деятельности в разное время была различной. Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказывали два фактора:

— уровень развития математического аппарата; — степень глубины знаний об изучаемом объекте, возможность

описать его наиболее существенные черты и свойства на языке математических понятий и уравнений, то есть возможность построить математическую модель изучаемого объекта.

В настоящее время есть все основания полагать, что информатика изменит методологию большинства естественных и многих гуманитарных наук, где необходимы количественные предсказания, а также уровень промышленной технологии. Многие ведущие физики полагают, что сейчас с полным правом наряду с теоретической и экспериментальной можно выделить и вычислительную физику.

Сейчас появляются все более сложные пакеты программ, и пользователи ЭВМ работают не так, как прежде. В конечном счете понадобятся совсем другие знания и навыки, и по мере того как все больше рутинной работы передается ЭВМ, в специалистах надо будет развивать следующие две способности:

— умение проанализировать задачу и определить, какая часть может быть поручена ЭВМ, а какая требует человеческой интуиции и способности к принятию решения;

— способность на каждом шаге решения критически осмыслить работу ЭВМ и определить правильность выбранных методов решения.

1.2. Области применения математического моделирования

Энергетика. Прогнозирование работы атомных и термоядерных реакторов на основе детального математического моделирования происходящих в них физических процессов.

Космическая техника. Расчет траекторий летательных аппаратов, задачи обтекания, системы автоматического проектирования.

Технологические процессы. Получение кристаллов и пленок, моделирование теплового режима конструктивных узлов перспективных ЭВМ, технологии создания материалов с заданными свойствами.

9

Глава 1. Основы математического моделирования

Экология. Вопросы прогнозирования и управления экологическими системами могут решаться лишь на основе математического моделирования, поскольку эти системы существуют в единственном экземпляре.

Геофизика и астрофизика. Моделирование климата, долгосрочный прогноз погоды, землетрясений и цунами, моделирование развития звезд и солнечной активности, описание фундаментальных проблем происхождения и развития Вселенной.

Химия. Расчет химических реакций, определение их констант, исследование химических процессов на макро- и микроуровне для интенсификации химической технологии.

Биология. Изучение фундаментальных проблем биологии (генетики, морфогенеза) и разработка новых методов биотехнологии.

Физика является классической областью использования математического моделирования для исследования природных и технологических процессов и диагностики некорректной работы технических и биологических систем.

1.3. Математические аспекты моделирования

Вопросы построения математической модели. При формулировке математических теорем и условий задач употребляется язык строгих математических понятий, дающий полное изложение исходных предпосылок, которые воспринимаются одинаково любым математиком.

Иначе обстоит дело с прикладными задачами. В них непосредственно задается реальный «нематематический объект»: явление природы, производственный процесс, конструкция, система управления, экономический план и т. д. Поэтому нужно формализовать объект, построить соответствующую математическую модель, то есть дать приближенное описание объекта с помощью математической символики. При построении математической модели изучаемого объекта:

1)выделяются его наиболее существенные черты и свойства;

2)они описываются с помощью математических соотношений;

3)устанавливаются границы применимости модели.

10