Формула полной вероятности. Формула Байеса. Методические указания

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Высшая математика и прикладная информатика»

И.Н. ПАВЛОВА, Е.В. МАЗУРЕНКО

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

Методические указания

Самара Самарский государственный технический университет

2020

0

Печатается по решению методического факультета института автоматики и информационных технологий.

УДК 519.2(07) ББК 22.171я73 П 12

Павлова И.Н.

Формула полной вероятности. Формула Байеса: метод. указания /

И.Н. Павлова, Е.В. Мазуренко. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2020. – 36 с.

Составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины (модуля) «Теория вероятностей и математическая статистика» для специалитета и бакалавриата всех инженерно-технических специальностей СамГТУ. Содержат теоретический материал, подробный разбор решения основных типов задач, задания для закрепления пройденного материала с ответами, а так же шесть вариантов заданий к самостоятельной работе для проверки знаний студентов по данной теме.

Предназначены для студентов, аспирантов и преподавателей университета.

Рецензенты: канд. техн. наук, доцент Л.Н. Смирнова, канд. физ.-мат. наук, доцент Е.С. Климова

УДК 519.2(07) ББК 22.171я73 П 12

© И.Н. Павлова, Е.В. Мазуренко, 2020 © Самарский государственный

технический университет, 2020

1

2

ВВЕДЕНИЕ

Разработанное учебное пособие соответствует рабочей программе дисциплины (модуля) «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех инженерно-технических специальностей СамГТУ. Работа призвана научить студентов решать задачи по теме «Формула полной вероятности. Формула Байеса» на практических занятиях, а так же дает возможность разобрать решение задач самостоятельно в случае невозможности посещения практического или лекционного занятия. В работе приведены необходимые теоретические сведения по данной теме, даны методические указания к решению задач, разобраны решения типовых примеров, а так же разработан диагностический контроль для закрепления изученного материала. Данное пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей университета.

3

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Томас Байес

Томас Байес – английский математик, священник, член Лондонского королевского общества. Автор теоремы Байеса – одной из основных теорем элементарной теории вероятностей.

Байес родился в Лондоне в 1702 году. Его отец – Джошуа Байес был пресвитерианским священником, представителем известного нонконформистского рода из Шеффилда. Школу Томас не посещал – обучение проходило на дому. В 1719 году он поступил в Эдинбургский университет. Там молодой Байес изучал логику и богословие. По возвращении домой в 1722 году Томас начал помогать отцу проводить службы в часовне и вскоре сам стал священником в пресвитерианской церкви. В 1734 году Байес переехал в Танбридж Уэллс, графство Кент. В 1742 году стал членом Лондонского королевского общества. В 1752-м вышел в отставку. Умер в 1761 году [11].

Математические интересы Байеса относились к теории вероятностей. Он сформулировал и решил одну из основных задач этого раздела математики (теорема Байеса). Работа Байеса была опубликована уже после его смерти, в 1763 году.

4

Формула Байеса играет важную голь в современной статистике и теории вероятностей. Другая крупная работа Байеса – «Очерки к решению проблемы доктрины шансов».

За всю жизнь Томас Байес опубликовал только две работы – одну богословскую и одну математическую.

Теорема Байеса (или формула Байеса) – одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. Другими словами, по формуле Байеса можно более точно пересчитать вероятность, беря в расчет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений.

Формула Байеса может быть выведена из основных аксиом теории вероятностей, в частности из условной вероятности [3].

Однако практическое применение теорема получила только в ХХ веке, так как при проведении реальных научных и производственных расчетов требуется провести большое количество вычислений. Развитие компьютерных информационных технологий решило проблему и позволило активно использовать байесовые оценки вероятности.

5

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий:

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

Докажем, что в этом случае

т.е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при данной гипотезе.

Формула называется формулой полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

Так как гипотезы несовместны, комбинации также несовместны; применяя к ним теорему сло-

жения, получим

Применяя к событию теорему умножения, получим

что и требовалось доказать [2].

6

Формула Байеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса. Поставим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события [3]? Требуется найти вероятности гипотез . По отношению к произошедшему событию А.

Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем

или, отбрасывая левую часть,

откуда

Выражая с помощью формулы полной вероятности , имеем

Формула называется формулой Байеса, или теоремой гипотез. В этой формуле вероятности гипотез называются априорными (доопытными), а условные вероятности – апостериорными (послеопытными) [3].

7

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Рассмотрим решения задач, в которых применяются данные формулы.

Пример 1

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь 1-го набора стандартна, равна , а 2-го – . Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь (из наудачу взятого набора) стандартная [2].

Решение

Событие – извлеченная деталь стандартна. Деталь может быть

Ответ: .

Пример 2

Партия содержит деталей, изготовленных первым заводом,

– вторым и – третьим. Для первого завода вероятность выпуска бракованной детали, равна , для второго – , для третьего завода вероятность брака составляет . Чему равна вероятность того, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?

Решение

– «деталь оказалась бракованная». Рассмотрим три гипотезы:

– деталь изготовлена первым заводом,

– деталь изготовлена вторым заводом,

– деталь изготовлена третьим заводом.

8

Итак, .

Ответ:

Пример 3

По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна , при втором – , при третьем – . Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью , при двух попаданиях с вероятностью . Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя [1].

Решение

Рассмотрим событие – выход самолета из строя. Рассмотрим четыре гипотезы:

– в самолет не попало ни одного снаряда,

– в самолет попал один снаряд, – в самолет попало два снаряда, – в самолет попало три снаряда.

Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:

;

;

;

;

9