Формула полной вероятности. Формула Байеса. Методические указания

необходимо, чтобы первая станция передала верное сообщение, а вторая – ошибочное. В таком случае:

. Аналогично рассчитываем:

.

Применяя формулу Байеса, находим вероятность того, что истинное состояние объекта – :

Ответ: Из двух переданных сообщений наиболее правдоподобным является сообщение первой станции.

Пример 15

В некоторой комнате находятся блондинки и брюнетки. Количество блондинок относится к числу брюнеток как 3:2. Вероятность того, что к окну подойдет блондинка, – , а брюнетка – . К окну подошла девушка. Какова вероятность, что она блондинка?

Решение

Событие – к окну подошла девушка. Возможные гипотезы:

– брюнетка;

– блондинка.

,

, . По формуле вычисляем

Ответ:

20

Пример 16

Втехнический отдел поступили три партии однотипных деталей.

Вкаждой партии по деталей. При проведении поверки оказалось,

что в первой партии все 20 деталей стандартные. Во второй партии количество стандартных деталей 15, в третьей партии только Из некоторой партии извлекают деталь, деталь оказывается стандартной. Деталь возвращают обратно в партию и повторно из той же партии извлекают еще раз деталь. При проверке вторая деталь тоже оказалась стандартной. Найти вероятность того, что обе детали были извлечены из третьей партии [1].

Решение

Рассмотрим событие – извлечена стандартная деталь в каждом испытании из двух.

Выдвинем гипотезы:

– детали извлечены из первой партии;

– детали извлечены из второй партии;

– детали извлечены из третьей партии.

Ответ:

Пример 17

Известно, что всех мужчин и женщин дальтоники. Случайно выбранный человек страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина, если считать что мужчин и женщин поровну [7]?

21

Ответ: .

Пример 18

При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна . Вероятность принять здорового человека за больного равна . Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна

. Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании [6].

Решение

Пусть проводится испытание – обследование на возможность заболевание туберкулезом. Рассмотрим событие – обследование показало, что человек болеет туберкулезом.

Выдвинем две гипотезы:

– человек здоров;

– человек болен.

; . ; .

22

По формуле имеем:

Ответ: .

Пример 19

В каждой из двух урна находятся и белые, и черные шары. В первой урне белых шаров и черных, во второй урне – белых и черных. Экспериментатором наугад выбирается одна из урн, а затем вынимается из нее один шар. Пусть шар оказался белым. Необходимо найти вероятность того, что следующий шар, который экспериментатор вынет из той же урны, будет тоже белым [2].

Решение

Рассмотрим возможные гипотезы:

– выбрана первая урна;

– выбрана вторая урна.

– появление белого шара при первом вынимании.

– появление второго белого шара.

Условная вероятность появления второго белого шара при условии, что была выбрана первая урна и из нее вынут белый шар:

аналогично

23

Ответ:

Пример 20

Сообщение по каналу связи передается в виде бинарного кода (упорядоченного набора нулей и единиц). Известно, что текст на состоит из нулей. Однако из-за помех в канале связи только кода распознается приемником правильно. Приемником принят

сигнал , какова вероятность того, что был отправлен код?

Решение

Рассмотрим событие – принят сигнал . Рассмотрим две гипотезы:

– отправлен сигнал ;

– отправлен сигнал .

; .

; . По формуле имеем:

Ответ: .

Пример 21

Некоторый шифр содержит три последовательностей букв: , ,. Вероятность появления условного кода в передаче для первой последовательности составляет 0,3, для второй после-

довательности 0,4 и 0,3 для последней. Из-за наличия шумов при приеме кода, вероятность распознавания буквы правильно составляет

24

0,6. Вероятность ошибки, т.е. что переданная буква будет принята за две другие, равны и . Будем считать, что искажения буквы не будут зависеть друг от друга. Найти вероятность того, что изначально было передано , если на приемном устройстве получено .

Найдем условные вероятности:

;

;

.

По формуле Байеса находим:

Ответ: .

Пример 22

Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени ) первого узла , второго . Прибор испытывался в течение времени , в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

25

По формуле Байеса

Ответ:

26

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

Задача 1 (Гмурман В.Е. [3] ). В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна ; для полуавтомата эта вероятность равна Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

Ответ: .

Задача 2 (Гмурман В.Е. [3] ). В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна ; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна . Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Ответ: .

Задача 3 (Гмурман В.Е. [3] ). В ящике содержится деталей, изготовленных на заводе , деталей – на заводе и деталей – на заводе . Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе , отличного качества, равна ; для деталей, изготовленных на заводах и , эти вероятности соответственно равны и . Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

Ответ: .

27

Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Ответ: .

Задача 5 (Гмурман В.Е. [3] ). В каждой из трех урн содержится черных и белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Ответ:

Задача 6 (Гмурман В.Е. [3] ). Вероятность того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

Ответ:

Задача 7 (Гмурман В.Е. [3] ). В пирамиде винтовок, из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна ; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна . Стрелок поразил мишень из наудачу взятой вин-

28

товки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Ответ: Вероятнее, что винтовка была без оптического прицела (вероятность того, что винтовка была без оптического прицела, равна

; с оптическим прицелом – ).

Задача 8 (Гмурман В.Е. [3] ). Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна ; для второй перфораторщицы эта вероятность равна . При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны.)

Ответ: .

Задача 9 (Гмурман В.Е. [3] ). В специализированную больницу поступают в среднем больных с заболеванием , – с заболеванием , – с заболеванием . Вероятность полного излечения болезни равна ; для болезней эти вероятности соответственно равны и . Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием

Ответ:

Задача 10 (Гмурман В.Е. [3] ). Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна , а ко второму – . Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна , а вторым – Стандартное изде-

29