Формула полной вероятности. Формула Байеса. Методические указания

Условные вероятности события при этих гипотезах равны:

; ; ; . Применяя формулу полной вероятности, получим:

.

Заметим, что первую гипотезу можно было бы не вводить в

рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

Ответ:

Пример 4

При переливании крови нужно учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй и третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения имеют первую группу, – вторую, – третью и – четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора [9].

Решение

Рассмотрим событие – переливание крови, т.е. попался донор нужной группы крови. Выдвинем следующие гипотезы:

– больной с первой группой крови;

– больной со второй группой крови;

– больной с третьей группой крови;

– больной с четвертой группой крови.

10

Итак, по формуле имеем:

Ответ: .

Пример 5

Пешеход, идущий из некоторого пункта в пункт , стоит на разветвлении дорог и выбирает наугад один из возможных путей. Схема дорог изображена на рис. 1. Какова вероятность того, что пешеход попадет в пункт [4]?

Решение

Из схемы видно, что путь пешехода обязательно проходит через один из промежуточных пунктов , , , . Пусть – событие, состоящее в том, что при своем движении пешеход попадет в пункт

. События , , , образуют полную группу и очевидно, что они равновероятны, так как по условию один из путей , ,

, выбираются произвольно. Поэтому

11

Рис. 1

Пусть событие А – пешеход приходит в пункт В.

Пусть пешеход выбрал направление на Н1. В точке Н1 пешеход может выбрать любое из трех возможных направлений. Но к цели его приведет только одно.

Тогда условная вероятность наступления события А (прийти в пункт через ) равна

Аналогично, , , .

По формуле полной вероятности получим

Ответ:

Пример 6

Одно и то же задание было выдано в трех группах одного потока. Количество студентов в группе 1 составляет 30 студентов, в группе 2 – 28 студентов, в третьей группе – 27 студентов. При проверке работ выяснилось, что на «отлично» было написано 8, 6 и 9 работ соответ-

12

ственно по группам. Для повторной проверки вбирается случайным образом группа, и случайным образом работа. Необходимо вычислить вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично» [7].

Решение

Проводится испытание – при повторной проверке выбрана случайная работа. Рассмотрим событие – работа выполнена на «отлично».

Работа может принадлежать одной из трех групп, поэтому выдвинем три гипотезы:

– работа принадлежит первой группе;

– работа принадлежит второй группе;

– работа принадлежит третьей группе.

Вычислим условные вероятности:

Итак, по формуле полной вероятности имеем:

Ответ:. .

Пример 7

В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что наудачу выбранная работа, выполненная на «отлично», принадлежит к третьей группе.

Решение

Нам необходимо определить условную вероятность . По формуле вычисляем ее:

13

Ответ:

Пример 8

В группе студент, в том числе отличников, хорошистов и занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероят-

ность того, что он получит хорошую или отличную оценку [6].

Так как отличники могут получить только отличные оценки, а «хорошисты» с равной вероятностью хорошие и отличные,

.

Слабо занимающиеся студенты могут получить одну хорошую оценку из трех возможных вариантов, поэтому по классическому определению вероятности получим

Итак, для вычисления вероятности события пользуемся формулой :

14

Ответ:

Пример 9

Имеется две урны. В каждой из них находятся белые и черные шары. В первой и шаров соответственно; во второй и шаров соответственно. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны случайным образом берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым [2].

Решение

Событие – появление белого шара; гипотезы:

– переложен белый шар;

– переложен черный шар.

По формуле получаем:

Ответ: .

Пример 10

В условиях предыдущей задачи из первой урны во вторую перекладывают не один, а три шара. Найти вероятность того, что из второй урны появится белый шар [2].

Решение

Можно было бы выдвинуть четыре гипотезы:

15

но проще решить задачу, имея всего две гипотезы:

– вынутый из второй урны шар принадлежит первой урне;

- вынутый из второй урны шар принадлежит второй урне.

Так как во второй урне три шара принадлежат первой урне, а

Вероятность появления белого шара из первой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из первой урны или после перекладывания во вторую:

откуда

Ответ:

Пример 11

Из чисел одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше .

Решение

Событие состоит в том, что разность между первым вынутым числом и вторым вынутым числом будет не меньше (то есть

) [7].

16

Гипотезы – первым вынуто число ();

Ответ:

Пример 12

На телефонную станцию поступает случайный поток вызовов; вероятность поступления вызовов за время равна Число вызовов, поступивших за промежуток времени , не зависит от того, сколько вызовов поступило до или по-

сле этого промежутка. Найти вероятность того, что за промежуток времени поступит вызовов [4].

Решение

Разделим промежуток на две части: первую и вторую, каждая длительности . Гипотезы – на первый участок попало вызовов

.

Для того чтобы при гипотезе на промежуток попало вызовов, нужно, чтобы на второй участок попало вызовов. Условная вероятность этого равна . Полная вероятность события – за время поступит вызовов – равна

17

Ответ:

Пример 13

Для некоторого производства поставляются однотипные детали, изготовленные на трех автоматических станках. Первый станок производит 30 % от всего объема продукции, второй станок производит 25 %, и оставшуюся часть – третий станок. Процент выпуска стандартных деталей для первого станка составляет 97 %, для второго 98 % и 96 % для третьего.

1)Определить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется бракованной.

2)Случайно выбранная деталь оказалось бракованной. Для каждого станка определить вероятность того, что бракованная деталь изготовлена именно им.

Решение

1) событие – деталь оказалась бракованной. Возможные гипотезы:

. Применяя формулу полной вероятности, получим:

2) вычисляем условные вероятности события А по формуле Байеса:

18

,

.

Ответ: 1) ; 2)

Пример 14

Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях и , случайно переходя из одного в другое.

Долговременной практикой установлено, что примерно времени объект находится в состоянии , а – в состоянии . Наблюдательная станция передает ошибочные сведения приблизительно в всех случаев, а наблюдательная станция – в . В какой-то момент времени наблюдательная станция сообщила: объект находится в состоянии , а наблюдательная станция : объект находится в состоянии .

Спрашивается: какому из сообщений следует верить [6]?

Решение

Составим возможные варианты гипотез:

– объект находится в состоянии ;

– объект находится в состоянии .

Событие А: станция сообщила, что объект находится в состоянии , а станция – что он находится в состоянии . Найдем вероятности гипотез до опыта

, Найдем условные вероятности наблюденного события при этих

гипотезах. При гипотезе , для того чтобы произошло событие ,

19