Учебное пособие по дисциплине «Эконометрический анализ социально-экономических процессов в инфокоммуникациях» для магистерской подготовки по направлен

уравнения регрессии значим и принимается. Если t tkp , то соответствующий

коэффициент уравнения регрессии незначим, не отличается от нуля и не принимается. В эконометрике проверку гипотез осуществляют при 5%-м, реже на 10%-м уровне значимости. В первом случае стандартная ошибка коэффициента регрессии составляет примерно до половины его величины. Последовательный отсев несущественных факторов — переменных, коэффициенты при которых оказались незначимы, составляет основу многошагового регрессионного анализа.

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации R2 используется F-статистика, рассчитываемая по формуле:

Fнабл R2(n k 1) ,

(1 R2)k

где n — число пар данных в выборке, использованных для получения уравнения регрессии; k — количество коэффициентов в уравнении регрессии.

следующим образом: если Fнабл Fkp , то R2 считается незначимым, он не отличим

от нуля; если Fнабл Fkp , то R2 считается значимым, и уравнение регрессии может использоваться для объяснения изменения переменной y под влиянием изменения переменных x j . Величины критических значений критериев оценки

значимости принимаются при 5%-м, реже 10%-м уровне значимости. Указанные уровни значимости соответствуют 95%-му и 90%-му доверительным интервалам соответственно.

Мультиколлинеарность – это коррелированность двух или нескольких объясняющих переменных в уравнении регрессии. При наличии мультиколлинеарности оценки, полученные методом наименьших квадратов, формально существуют, но обладают рядом недостатков: 1) небольшое изменение исходных данных приводит к существенному изменению оценок регрессии; 2) оценки имеют большие стандартные ошибки, малую значимость, в то время как модель в целом является значимой (высокое значение коэффициента детерминации R2 ). Если при оценке уравнения регрессии несколько факторов оказались незначимыми, то нужно выяснить, нет ли среди них сильно коррелированных между собой. При наличии корреляции один из пары связанных между собой факторов исключается. Если статистически незначим лишь один фактор, то он должен быть исключен или заменен другим показателем. В модель регрессии включаются те факторы, которые более сильно связаны с зависимой переменной, но слабо связаны с другими факторами.

Построение эконометрической модели включает выбор объясняющих переменных — составление их спецификации. Свойства оценок коэффициентов регрессии в значительной мере зависят от правильной спецификации модели.

Спецификация — один из этапов построения эконометрической модели, на котором на основании предварительного анализа рассматриваемого экономического объекта или процесса в математической форме выражаются

21

обнаруженные связи и соотношения, а значит параметры и переменные, которые на данном этапе представляются существенными для цели исследования. В эконометрических моделях производится также спецификация ошибки, т.е. выбор некоторого типа распределения для случайного элемента модели, подлежащего оцениванию. Ошибкой спецификации называются: неправильный выбор типа связей и соотношений между элементами модели, а также выбор, в качестве существенных, таких переменных и параметров, которые на самом деле таковыми не являются, и наконец, отсутствие в модели некоторых существенных переменных.

Предположим, что переменная y зависит от двух переменных. Однако в

для данной регрессии отражает общую объясняющую способность переменной х1 в обеих ролях и является завышенной оценкой. При включении в модель переменной, которая не должна быть включена, оценки коэффициентов регрессии и их дисперсии в этом случае являются несмещенными, но неэффективными. Практически обнаруживается, что коэффициенты при излишних переменных статистически незначимы, и эти переменные исключаются из модели.

При исследовании влияния качественных признаков в модель следует вводить фиктивные переменные, принимающие, как правило, два значения: 1, если данный признак присутствует в наблюдении; 0 — при его отсутствии. Если включаемый в рассмотрение качественный признак имеет не два, а несколько значений, то используют несколько фиктивных переменных, число которых должно быть на единицу меньше числа значений признака. При назначении фиктивных переменных исследуемая совокупность по числу значений качественного признака разбивается на группы. Одну из групп выбирают как эталонную и определяют фиктивные переменные для остальных. Если качественный признак имеет 2 значения, то это можно отразить, введя 1 фиктивную переменную. Например, строится модель, характеризующая показатели организаций электросвязи и почтовой связи. Вводится фиктивная переменная, которой присваивается значение 0, если данные относятся к предприятиям электросвязи, и значение 1, если данные относятся к предприятиям почтовой связи. Если качественный признак имеет 3 значения, то это можно отразить, введя 2 фиктивных переменных. Например, строится модель, характеризующая показатели предприятий 3 регионов, вводится 1 фиктивная переменная, которой присваивается значение 0, если данные относятся к предприятиям первого региона, и значение 1, если данные относятся к

22

предприятиям двух других регионов. Второй фиктивной переменной присваивается значение 0, если данные относятся ко второму региону, и 1, если данные относятся к первому и третьему регионам. Введение в регрессию фиктивных переменных существенно улучшает качество оценивания.

5. СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

При изучении сложных социально-экономических систем измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что факторы можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой одновременных уравнений или структурных уравнений. Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением. При оценке эффективности производства нельзя руководствоваться только моделью рентабельности. Она должна быть дополнена моделью производительности труда,

атакже моделью себестоимости единицы продукции.

Веще большей степени возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций, заработной платы, тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается как функция инвестиций. Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена поразному. Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов x :

23

Набор факторов х, в каждом уравнении может варьировать. Модель вида

также является системой независимых уравнений, но набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы, может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или частного F-критерия для данного фактора).

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член

a0 . Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки ( i ).

Если зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде фактора x в другом уравнении, то модель может быть построена в виде системы рекурсивных уравнений. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи:

рабочих.

Каждое уравнение модели производительности труда и фондоотдачи может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила

система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые

24

переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях — в правую часть системы:

y b y b y ... b y a x a x ... a xn n1 1 n2 2 nn 1 n 1 n1 1 n2 2 nm m n

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные y одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК не применим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы:

y1 b12 y2 a11x1 1

,

y2 b21y1 a22x2 a23x3 2

где y1 — темп изменения месячной заработной платы; y2 — темп изменения цен; x1 — процент безработных; x2 — темп изменения постоянного капитала; x3 — темп изменения цен на импорт сырья.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других — как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий

период времени (лаговые переменные). Так, потребление текущего года ( yt ) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году ( yt 1 ) .

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных. Структурная форма модели в правой

части содержит коэффициенты bi при эндогенных переменных, a j — при

экзогенных переменных, которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня,

25

Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует. Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

y1 11x1 12x2 ... 1mxm 1

y2 21x1 22x2 ... 2mxm 2 ,

.............................................

yn n1x1 n2x2 ... nmxm n

где i – коэффициенты приведенной формы модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным

методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить i , а затем

оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо, исследуя линейную зависимость потребления ( c ) от дохода ( y ), предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

c a by,y c x,

где a и b - параметры линейной зависимости c от y ; x - инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.

Оценки параметров должны учитывать тождество дохода в отличие от параметров обычной линейной регрессии. В этой модели две эндогенные переменные — c и y , и одна экзогенная переменная x . Система приведенных уравнений составит:

c A A x,

0 1

y B0 B1x.

Она позволяет получить значения эндогенной переменной c через переменную x . Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели

( A0 , A1, B0 , B1 ), можно перейти к коэффициентам структурной модели a и b ,

подставив в первое уравнение приведенной формы выражение переменной x из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения

26

экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: 1) идентифицируемые; 2) неидентифицируемые; 3) сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде, содержащая n эндогенных и m предопределенных переменных в каждом уравнении системы,

всегда неидентифицируема. Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Для того, чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j –ом уравнении системы

– уравнение сверхидентифицируемо.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны 1 . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, поскольку коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на

27

идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели: 1) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК); 2) двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК); 3) трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК); 4) метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММПƒ); 5) метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММПs).

Косвенный метод наименьших квадратов используется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы:

•структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

•для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК

оцениваются приведенные коэффициенты ( ij );

• коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов. Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название «двухшаговый метод наименьших квадратов», ибо МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных. Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов: 1) все уравнения системы сверхидентифицируемы; 2) система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения. Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в

28

качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения), разработанный Т. Андерсоном и Н. Рубиным. В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. Сейчас он практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов в связи с гораздо большей простотой последнего. Этому способствовала также разработка Г. Тейлом семейства оценок коэффициентов структурной модели. В последнем случае решение структурной модели соответствует оценкам по ДМНК.

Развитием двухшагового метода наименьших квадратов является трехшаговый МНК (ТМНК), предложенный А. Зельнером и Г. Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается ДМНК.

Экономически значимыми примерами систем одновременных уравнений являются:

1. Кейнсианская модель формирования доходов:

где rt - сбережения.

Модель содержит три эндогенные переменные - Y , C, r, и одну экзогенную

29