Учебное пособие по дисциплине «Эконометрический анализ социально-экономических процессов в инфокоммуникациях» для магистерской подготовки по направлен

использования коэффициента парной корреляции при отборе значимых факторов на практике состоит в следующем. Если его значение достаточно велико (≥0,5÷0,6), то можно говорить о наличии существенной линейной связи между

переменными y и xi или о достаточно сильном влиянии xi на y . Чем

больше абсолютное значение парного линейного коэффициента корреляции, тем сильнее это влияние (положительное или отрицательное, в зависимости от знака

ryxi ). Значение парного линейного коэффициента корреляции должно

правило, между ними также должна существовать достаточно сильная взаимосвязь. На это может указать значение парного линейного коэффициента

корреляции (rxi xi ) . На практике взаимосвязь между факторами признается

существенной, если rxi xi 0,8 0,9 . В таких ситуациях один из этих факторов

целесообразно исключить из модели, чтобы одна и та же причина не учитывалась дважды. Следует отметить, что приведенные рубежные значения (в первом случае 0,5÷0,6, во втором 0,8÷0,9) достаточно условны. В каждом конкретном случае они устанавливаются индивидуально. При их выборе существенную роль играет интуиция исследователя.

Обычно считается: если для фактора xi ryxi 0,5 , то при большом числе

других достаточно значимых факторов, информацией, которую содержит в себе фактор xi относительно изменчивости переменной y , можно пренебречь. Иногда

же, наоборот, если состав факторов не слишком широк и фактор xi выражает

существенное с точки зрения теории явление, то исследователь, стремясь не потерять информацию о закономерностях изменчивости переменной y , может оставить его в модели и при меньшем значении выборочного парного линейного коэффициента корреляции (0,3 ÷ 0,4). При таком отборе, основанном на эмпирике и интуиции, обычно не принимается во внимание точность оценки выборочных коэффициентов корреляции, которая растет с увеличением выборки. При фиксированной численности выборки точность оценок всех коэффициентов примерно одинакова. Логика такого отбора в большей степени ориентирована на содержательную сторону проблемы учета взаимосвязей между переменными модели. Значительно усложняет проблему отбора факторов явление ложной корреляции, т.е. большие значения парных коэффициентов корреляции могут иметь место и в тех случаях, когда тенденции рассматриваемых процессов совпали случайно, при отсутствии между ними логически обоснованной взаимосвязи. Ложная корреляция может помешать при построении «правильной» модели по двум причинам. Во-первых, в модель случайно могут быть введены незначимые с содержательной точки зрения факторы, характеризующиеся значимыми величинами парного линейного коэффициента корреляции. Во-

11

вторых, из модели могут быть исключены значимые с точки зрения влияния на y факторы, в отношении которых ошибочно признана гипотеза о том, что они выражают то же явление, что и другой фактор (факторы), уже включенный в эту модель. Среди основных причин включения в модель переменных с ложной корреляцией часто называют ненадежность информации, используемой при определении значений факторов в различные моменты времени, трудности формализации факторов, имеющих качественный характер, неустойчивость тенденций изменения рассматриваемых переменных, неправильную форму взаимосвязи между ними и т.п.

Основной путь, придерживаясь которого можно избежать ошибок, связанных с понятием «ложной корреляции», связан с проведением качественного анализа проблемы, направленного на обоснование адекватного ей содержания и формы модели. При этом можно предложить и некоторые общие рекомендации, которых целесообразно придерживаться, следуя этим путем:

1)число факторов, включаемых в модель, не должно быть слишком велико. Их увеличение может свести к минимуму ее практическую ценность, так как в этом случае модель начинает отражать не закономерность развития на фоне случайности, а саму случайность;

2)простота модели в значительной степени гарантирует ее адекватность, поскольку более сложные зависимости часто априорно трудноуловимы на ограниченном временном интервале, но в то же время они допускают аппроксимацию достаточно простыми функциями. Иными словами, сложная модель может в большей степени выражать второстепенные взаимосвязи между переменными в ущерб основным.

При апостериорном подходе уточнение состава факторов эконометрической модели осуществляется на основе анализа значений ряда качественных характеристик уже построенного ее варианта. Одну из групп таких характеристик, наиболее важных при отборе факторов, образуют значения критерия Стьюдента, рассчитываемые для коэффициентов при каждом из факторов модели. С помощью этого критерия проверяется гипотеза о значимости влияния фактора на зависимую переменную. Окончательное решение о целесообразности оставления фактора или его удаления из модели принимается на основе анализа всего комплекса характеристик.

Таким образом, для практики можно предложить следующую поэтапную процедуру построения окончательного варианта модели на основе апостериорного подхода: 1) в исходный вариант модели включаются все факторы, отобранные в ходе содержательного анализа проблемы. Для этого варианта рассчитываются значения оценок коэффициентов модели, их среднеквадратические ошибки и значения критериев Стьюдента; 2) из модели удаляют незначимый фактор, характеризующийся наименьшим наблюдаемым значением критерия Стьюдента (при условии, что наблюдаемое значение не больше табличного), и таким образом формируют новый вариант модели с уменьшенным на один числом факторов. Заметим, что в модели может быть несколько незначимых факторов. Однако все их одновременно удалять не следует. Возможно, что незначимость большинства из них обусловлена влиянием

12

«наихудшего» из незначимых факторов, и на следующем шаге расчетов эти факторы окажутся значимыми; 3) процесс отбора факторов можно считать законченным, когда остающиеся в модели факторы являются значимыми, если полученный вариант модели удовлетворяет и другим критериям ее качества. Тогда процесс построения модели можно считать завершенным в целом. В противном случае целесообразно попытаться сформировать другой альтернативный вариант модели, отличающийся от предыдущего либо составом факторов, либо формой их взаимосвязи с зависимой переменной у.

Каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки. «Априорный» путь отбора факторов не обладает достаточной обоснованностью. Он в большей степени использует «прямые» количественные индикаторы «силы» взаимосвязей между рассматриваемыми величинами и не принимает во внимание в полной мере особенности комплексного влияния независимых факторов на переменную y , т.е. своеобразные эффекты «эмерджентности» такого влияния. Вместе с тем использование априорного подхода часто позволяет уточнить некоторые предварительные альтернативные варианты наборов независимых факторов, проверить исходные предпосылки модели относительно правильности выбора формы взаимосвязей между ними.

«Апостериорный» подход к отбору факторов, на первый взгляд, предпочтительнее как раз из-за того, что целесообразность включения каждого из факторов в эконометрическую модель определяется на основании всего комплекса взаимосвязей между вошедшими в модель переменными. Однако, когда общее количество факторов достаточно велико, нет никаких гарантий, что множество несущественных, а то и ложных взаимосвязей между ними не будет превалировать над основными. В результате может оказаться, что в числе первых кандидатов на исключение будут «названы» наиболее важные, значимые с точки зрения влияния на переменную у, факторы. Поэтому в сложных случаях, т.е. при наличии большого числа отобранных для включения в модель на этапе содержательного анализа факторов, специалисты рекомендуют сочетать при формировании их «оптимального» состава оба подхода – «априорный» и «апостериорный».

Согласно этим рекомендациям с помощью методов «априорного» отбора, используя при этом и содержательный анализ, формируются альтернативные варианты включаемых в модель наборов факторов. Далее, с помощью методов «апостериорного» отбора, эти наборы уточняются, соответствующие им варианты моделей сопоставляются по ряду характеристик их качества. Предполагается, что лучший из вариантов модели содержит и «оптимальный» набор факторов. В результате процедура отбора факторов в эконометрическую модель превращается в перебор некоторого множества их приемлемых сочетаний, сформированных на базе «априорного» подхода. Перебирая различные варианты составов независимых факторов, рассматривая возможные виды их взаимосвязей с зависимой переменной, исследователь формирует и разные варианты (модификации) эконометрической модели для описания рассматриваемых процессов. В этом случае возникает проблема выбора «оптимального» или наиболее «рационального» среди них. Обычно эта проблема решается на основе

13

аналитического сопоставления статистических характеристик качества построенных вариантов, рассчитываемых уже при известных значениях оценок их параметров.

В общем случае «качество» эконометрической модели оценивается по двум группам характеристик. В первую группу входят показатели, критерии, выражающие степень соответствия построенной модели основным закономерностям описываемого ею процесса. Во вторую – показатели и критерии, в большей степени оценивающие точность ее аппроксимации наблюдаемых значений y . К критериям первой группы может быть отнесен критерий

Стьюдента, используемый для оценки значимости влияния каждого фактора xi на зависимую переменную y . Вторую группу критериев образуют широко используемые в статистике и эконометрике коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации и критерий Фишера-Снедекора.

3. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИХ ПАРАМЕТРОВ

Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Построение модели парной регрессии позволяет количественно оценить взаимосвязь между результативной и факторной переменными.

Основной моделью регрессии является модель парной, или однофакторной, линейной регрессии, которая применяется для характеристики процессов, равномерно развивающихся во времени.

Общий вид модели парной линейной регрессии зависимости переменной y

от переменной x в генеральной совокупности:

yi a0 a1xi i ,

где уi объясняемые (зависимые) результативные переменные, i = 1,2, …, n, случайные величины;

хi объясняющие (независимые), факторные переменные, неслучайные

величины; а0, а1 неизвестные параметры модели парной регрессии;

Случайная ошибка модели парной линейной регрессии возникает на основе объективных условий:

1)нерепрезентативности выборки, при которой в парную регрессионную модель включается только один фактор, не способный полностью объяснить изменение результативной переменной;

2)ошибочного измерения переменных, участвующих в модели.

уменьшается, и наоборот.

Существуют определенные методы оценки неизвестных параметров a0

иa1 модели парной регрессии:

1.Метод наименьших квадратов (МНК), при котором рассчитывается сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений результативной переменной

y от теоретических значений y (рассчитанных на основании функции регрессии f (x, a) ). Согласно методу наименьших квадратов неизвестные

параметры a0 и a1 выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений yi от теоретических значений yi была

минимальной. С учетом этого параметры уравнения регрессии определяются следующим образом:

a1 ( xi yi nx y) /( xi2 n x 2), a0 y a1 x .

Достоинства МНК: сведение всех вычислительных процедур к простому вычислению неизвестных коэффициентов; доступность математических выводов.

Недостатки МНК: чувствительность оценок к резким выбросам, встречающимся в исходных данных.

Метод наименьших квадратов является наиболее распространенным методом оценки неизвестных параметров модели парной линейной регрессии.

2. Метод наименьших модулей (МНМ), при котором рассчитывается сумма модулей отклонений наблюдаемых значений результативной переменной

параметры a0 и a1 выбираются таким образом, чтобы сумма модулей

отклонений эмпирических значений yi от теоретических значений yi была

минимальной.

Достоинства МНМ: нечувствительность оценок к резким выбросам. Недостатки МНМ: 1) сложность вычислительной процедуры;

2) возможность соответствия различным значениям оцениваемых коэффициентов a0 , a1 одинаковых сумм модулей отклонений.

Таким образом, метод наименьших квадратов существенно проще при проведении вычислительной процедуры и дает хорошие по статистическим свойствам оценки. Этим и объясняется его широкое применение в оценивании параметров эконометрических моделей.

Для того, чтобы регрессионный анализ, основанный на методе наименьших квадратов (МНК), давал наилучшие из всех возможных результаты, должны выполняться условия Гаусса-Маркова. Модель парной линейной регрессии, для которой выполняются условия Гаусса-Маркова, случайный член εi имеет

Условия Гаусса-Маркова:

1.Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю – М(εi)= 0.

2.Дисперсия случайного члена должна быть постоянной для всех

наблюдений – D (εi)= 2, - теоретическое значение стандартной ошибки модели.

3.Случайные члены должны быть статистически независимы (некоррелированы) между собой.

4.Объясняющая переменная х должна быть неслучайной.

Первое условие Гаусса-Маркова означает, что случайный член не должен иметь систематического смещения. Если постоянный член включен в уравнение регрессии, то это условие выполняется автоматически.

Второе условие означает, что дисперсия случайного члена в каждом наблюдении имеет только одно значение. Но ее величина заранее неизвестна, и одна из задач регрессионного анализа состоит в ее оценке. Условие независимости дисперсии случайного члена от номера наблюдения называется гомоскедастичностью. Зависимость дисперсии случайного члена от номера наблюдения называется гетероскедастичностью. Если условие гомоскедастичности не выполняется, то оценки коэффициентов регрессии будут

неэффективными, хотя и несмещенными.

Третье условие указывает на некоррелированность случайных членов для разных наблюдений. Это условие часто нарушается, когда данные являются

16

временными рядами. В случае, когда третье условие не выполняется, говорят об автокорреляции остатков. Если условие независимости случайных членов не выполняется, то оценки коэффициентов регрессии, полученные по МНК,

оказываются неэффективными, хотя и несмещенными.

Четвертое условие. Если условие о неслучайности объясняющей переменной не выполняется, то оценки коэффициентов регрессии оказываются смещенными и несостоятельными.

Теорема Гаусса-Маркова. Если условия Гаусса-Маркова выполняются, то оценки, сделанные с помощью МНК, являются наилучшими оценками. Они обладают свойствами:

-несмещенности, это означает отсутствие систематической ошибки в положении линии регрессии;

-эффективности – имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок;

-состоятельности – при достаточно большом объеме данных оценки приближаются к истинным значениям.

Мерой отклонения зависимой переменной от значений, предсказываемых уравнением регрессии, служит остаточная дисперсия:

S 2 1/(n 2) ei2 ,

где S2 – остаточная дисперсия;

еi – остаток, т.е. разница между измеренными и рассчитанными с помощью уравнения регрессии значениями зависимой переменной;

n – число пар переменных в выборке;

i – порядковый номер пары переменных в выборке.

Дисперсия коэффициентов регрессии определяется следующим образом:

n– число пар переменных в выборке;

i – порядковый номер пары переменных в выборке.

Величины Sa2 и Sb2 - стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

Весьма важным этапом перед практическим использованием построенной модели регрессии является проверка гипотезы о значимости коэффициентов модели парной регрессии. Значимость коэффициентов означает их значимое отличие от нуля.

Выдвинутые гипотезы проверяются с помощью t-критерия (t- статистики) Стьюдента. При этом наблюдаемое значение t-критерия tнабл сравнивают со значением t-критерия, определенным по таблице распределения Стьюдента, или с критическим значением tтабл .

Критическое значением t-критерия tтабл ( ; n - k) зависит от уровня значимости и числа степеней свободы. Уровень значимости определяется как

17

1 , где величина - доверительная вероятность попадания оцениваемого параметра в доверительный интервал. Доверительную вероятность необходимо брать близкую к единице (0,99; 0,95). Число степеней свободы определяется как разность между объемом выборки (n) и числом оцениваемых параметров по данной выборке (k). Для модели парной линейной регрессии число степеней

свободы равно ( n 2 ), т.к. по выборке оцениваются только 2 параметра ( a0 и a1 ).

Наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента для проверки гипотезы о незначимости коэффициентов модели регрессии:

значения t-критерия | tнабл | tтабл , то с вероятностью (1 ) основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии отвергается (коэффициенты

гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии принимается (коэффициенты модели регрессии почти не отличаются от нуля или равны нулю).

Проверить значимость уравнения регрессии – значит, установить,

соответствует ли полученная модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной. Для этого определяют F – критерий Фишера-Снедекора. В случае парной линейной регрессии уравнение значимо на уровне α, если

F ; 1; n 2 – табличное значение F – критерия Фишера-Снедекора,

определенное на уровне значимости α при k1 m 1 и k1 n m степенях свободы (при парной линейной регрессии m 2 ).

Если F F ; 1; n 2 , наблюдаемое значение F-критерия больше критического

значения данного критерия, определенного по таблице распределения Фишера, то с вероятностью основная гипотеза о незначимости парного коэффициента детерминации или коэффициента модели регрессии отвергается, и модель парной регрессии значимо отличается от нуля.

18

гипотеза о незначимости парного коэффициента детерминации или коэффициента модели регрессии принимается, и полученная модель парной регрессии является незначимой.

Показателями тесноты связи между результативным и факторным признаками эконометрической модели, характеризующими ее качество, т.е. степень соответствия построенной модели исходным данным, являются:

1) парный линейный коэффициент корреляции, оценивающий качество линейной модели парной регрессии и тесноту связи, определяемый по формуле:

r (n xi yi xi yi) /[n xi2 ( x)2 n yi2 ( y)2 ].

то связь между переменными обратная. Если r 0 , то связь между переменными отсутствует, если r 1, регрессионный анализ между изучаемыми переменными не проводится, т.к. зависимость между ними носит функциональный характер;

2) коэффициент детерминации ( R2 ), являющийся одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической силы анализируемой эконометрической модели. Его величина показывает, какая часть (доля вариации)

эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии и между переменными x и y существует линейная функциональная зависимость. Если R2 0 , то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс. В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент

детерминации равен квадрату коэффициента корреляции: R2 r2.

4. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИХ ПАРАМЕТРОВ

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто

помощью множественного регрессионного анализа.

Модель множественной линейной регрессии, в которой зависимая переменная, возмущения и объясняющие переменные удовлетворяют условиям Гаусса-Маркова и, кроме того, предпосылке о невырожденности матрицы (независимости столбцов) значений объясняющей переменной называется

19

классической нормальной линейной моделью множественной регрессии.

Предполагается, что объясняющие переменные некоррелированы друг с другом. На основе n наблюдений получают выборочное уравнение множественной

линейной регрессии:

y а0 а1x1 ... аixi ... аk xk ,

где а0 ,а1,..., аi ,..., аk — оценки параметров уравнения множественной

регрессии.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК). Любая сумма квадратов связана с числом степеней свободы — с числом независимого варьирования переменных. Введение в модель каждого нового параметра уменьшает на 1 число количество степеней свободы. Необходимым условием минимума суммы квадратов остатков является равенство нулю всех ее частных производных по коэффициентам уравнения

регрессии а0 ,а1,...,аi ,..., аk . Такое условие приходит к системе из ( k 1) линейного

уравнения с ( k 1) неизвестным, называемой системой нормальных уравнений.

Стандартной ошибкой регрессии, несмещенной оценкой дисперсии модели является величина S2 (остаточная дисперсия):

S 2 1/(n k 1) ei2 .

Если условия Гаусса-Маркова, определяющие возможность применения МНК, выполняются, то оценки параметров множественной регрессии являются несмещенными, состоятельными и эффективными.

Пусть в уравнении регрессии содержится k объясняющих переменных. Дисперсию зависимой переменной можно разложить на объясненную и необъясненную составляющие:

переменной в i-м варианте реализации событий, определяемое уравнением регрессии; n — число вариантов реализации событий, в каждом из которых при сочетании значений независимых переменных было получено значение зависимой переменной.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии аi оценивается с помощью

t-критерия. Порядок оценки по критерию Стьюдента следующий. Вычисляется наблюдаемое значение критерия t . По таблице распределения Стьюдента по

критическим значением tkp . Если t tkp , то соответствующий коэффициент

20