Торговые вычисления. Учебное пособие

1.2. Именованные числа

Пример 1.1. Нужно выразить 9 кг в граммах.

Отношение между 1 кг и 1 г равно 1000. Его следует умножить на заданное число:

9 кг × 1000 = 9000 г.

Превращение именованного числа – это выражение его в более крупных единицах. Чтобы превратить одну единицу в другую, нужно установить отношение между заданными единицами и разделить заданное число на это отношение.

Пример 1.2. Нужно выразить 550 дм в метрах.

Установим отношение между 1 дм и 1 м. Оно равно 10. Разделим заданное число на полученное отношение:

550 дм : 10 = 55 м.

Чтобы превратить или раздробить составные именованные числа, необходимо сначала выразить их простыми. Для этого следует выразить в заданных единицах каждую единицу составного именованного числа и сложить полученные числа.

Пример 1.3. Нужно выразить простым числом в миллиметрах составное число 10 м 26 см 7 мм.

Произведем следующие действия:

10м26см7мм=10×1000+26×10+7× 1=10000+260+7=10267мм.

Пример 1.4. Нужно выразить простым числом в килограммах составное число 26 т 18 кг 3 г.

Произведем следующие действия:

26 т 18 кг 3 г = 26 × 1000 + 18 × 1 + 3 × 0,001 = 26 000 + 18 + 0,003 = = 26 018,003 кг.

Все арифметические действия с именованными числами (сложение, вычитание, умножение и деление) выполняются в соответствии с правилами, применяемыми в отношении целых чисел и десятичных дробей. Для выполнения действий над составными именованными числами их следует предварительно преобразовать в простые.

Сложение и вычитание. Для выполнения сложения или вычитания нескольких именованных чисел, выраженных в различных единицах, их предварительно следует выразить в одинаковых единицах. Как правило, в условиях задач указывается, в каких единицах следует выражать ответ.

Пример 1.5. Требуетсяс ложить именованные числа 19 т, 16 ц 17 кг, 243 кг, 580 г и сумму выразить в килограммах.

Выразим каждое слагаемое в килограммах:

19 т = 19 000 кг; 16 ц 17 кг = 1617 кг; 243 кг = 243 кг; 580 г = 0,58 кг.

11

1. Метрическая система мер

Выполним сложение:

19 000 кг + 1617 кг + 243 кг + 0,58 кг = 20 860,58 кг.

Для упрощения решения данной задачи ее условие можно записать

Пример 1.6. На начало дня в магазине имелось 25 м 63 см ситца. До обеда продали 79 дм ситца, а после обеда – 710 см. Требуется определить количество ситца на конец рабочего дня в сантиметрах.

Выполним вычитание именованных чисел, выразив их в единицах наименования – сантиметрах:

Умножение и деление. Чтобы перемножить или разделить именованные числа, вначале следует привести в соответствие единицы измерения.

В торговле наиболее часто встречаются задачи на определение стоимости товаров и материалов, количество которых задано составным именованным числом, а цена – в рублях (задачи на умножение). Для определения стоимости одной единицы товара (штуки, килограмма, метра, литра и т. д.) применяется деление.

Пример 1.7. Требуется подсчитать стоимость 13 кг 740 г рыбы по цене 7,6 руб. за 1 кг.

Так как цена дана за 1 кг рыбы, вес товара следует также выразить в килограммах:

13 кг 700 г = 13,740 кг.

Далее определим стоимость всей рыбы: 13,740 кг × 7,6 руб. = 104,424 руб.

Пример 1.8. Требуется определить цену 1 м ткани, если известно, что за 32 м получено 5072 руб.

Рассчитаем цену 1 м ткани: 5072 руб. : 32 м = 158,50 руб.

12

1.2. Именованные числа

Таким образом, над именованными числами можно выполнять все арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Все именованные числа можно раздроблять и превращать.

? Вопросы для контроля знаний

1.Сформулируйте определения понятий «метрология», «измерение», «мера», «эталон»».

2.Какие виды мер вы знаете?

3.Где и когда появилась метрическая система мер?

4.Перечислите основные преимущества СИ.

5.Назовите приставки, с помощью которых образуются производные единицы.

6.Следует ли ставить точку при записи сокращенных наименований различных мер?

7.Чем отличаются составные именованные числа от простых?

8.Что означает раздробление именованного числа и как его выполнить?

9.Что означает превращение именованного числа и как его выполнить?

10.Какие арифметические действия можно производить с именованными числами и по каким правилам?

13

2.УСТНЫЕ ТОРГОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

2.1.СОКРАЩЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

В процессе трудовой деятельности как при обслуживании покупателей, так и при оформлении документов торговый работник систематически сталкивается с необходимостью устного выполнения различных арифметических действий. Их необходимо производить быстро и правильно, для чего вычисления сокращают и упрощают.

Для правильности и скорости вычислений необходимо:

•хорошо владеть общими принципами устного счета;

•при вспомогательных вычислениях отчетливо записывать цифры, придерживаясь их поразрядного расположения (единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т. д.).

Сокращенные вычисления – это обычные арифметические­ действия, видоизмененные для облегчения и ускорения их выполнения.

На практике используется целый ряд упрощенных способов:

•сложение – последовательное поразрядное сложение, сложение с помощью круглого числа, группировка слагаемых, сложение путем замены слагаемых;

•вычитание – вычитание с помощью круглого числа, последовательное поразрядное вычитание, вычитание путем замены сложением, вычитание путем замены вычитаемого;

•умножение – умножение на числа, выраженные единицей с после - дующими нулями, умножение на числа, выраженные единицей с предшествующими нулями, последовательное поразрядное умножение, умножение на круглые числа, умножение на числа, близкие к круглым, умножение двузначных чисел, не превышающих 20, умножение на числа, состоящие из одинаковых цифр, умножение на числа, кратные 9, умно - жение на 0,5, 5, 50 и т. д., умножение на 0,25, 2,5, 25 и т. д., умножение на

0,125, 1,25, 12,5 и т. д.;

•деление – деление на числа, выраженные единицей с последующиминулями,делениеначисла,выраженныеединицейспредшествующими

14

2.2. Упрощенные способы сложения

нулями, деление на 0,5, 5, 50 и т. д., деление на 0,25, 2,5, 25 и т. д., деление на 0,125, 1,25, 12,5 и т. д.

В основе упрощенных способов лежит замена предложенных чисел или действий новыми. Необходимо отметить, что на практике, как правило, используется сочетание указанных способов.

2.2. УПРОЩЕННЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ

Способ последовательного поразрядного сложения применяют, когда ни одно из слагаемых нельзя дополнить до круглого числа.

Чтобы выполнить сложение указанным способом, необходимо к одномуизслагаемыхприбавитьпоследовательновсеразрядывторогослагаемого. Сложение начинается с высших разрядов.

Пример 2.1. Требуется найти сумму чисел 5576 и 3258. Последовательность действий:

1)5576 + 3000 = 8576;

2)8576 + 200 = 8776;

3)8776 + 50 = 8826;

4) 8826 + 8 = 8834.

Можно использовать и другой вариант: к высшему разряду первого слагаемого прибавить высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавить следующий разряд второго слагаемого и т. д.:

8834

Способсложенияспомощьюкруглогочислаиспользуютвслучае,если среди слагаемых содержатся такие, которые можно дополнить до круглого числа, т. е. числа, оканчивающегося одним или несколькими нулями.

При сложении нескольких чисел, одно из которых является близким к круглому, это число округляют, т. е. увеличивают или уменьшают, затем выполняют суммирование, а полученный результат уменьшают или увеличивают на арифметическое дополнение.

Арифметическое дополнение (далее – дополнение) – это разность между круглымиданнымчислами.Например,4997округлим до 5000, в данном случае число 3 (5000 – 4997) является арифметическим дополнением 4997 до 5000. Дополнением числа 502 до 500 является число –2.

15

2. Устные торговые вычисления

Дополнение может быть к одному или нескольким слагаемым – в зависимости от чисел, которые нужно сложить. Его следует запомнить и затем вычесть из полученной суммы.

Пример 2.2. Требуется найти сумму чисел 546, 311 и 98.

Округлим 311 до 300, а 98 – до 100 и выполним сложение: (546 + 300 + 100) – (2 – 11) = 946 + 9 = 955.

Способ группировки слагаемых используют, если при сложении нескольких чисел некоторые слагаемые дают в сумме круглые числа.

Пример 2.3. Требуется найти сумму чисел 53, 98, 4, 17 и 22.

53+98+4+17+22=(53+17)+(98+22)+4=70+120+ 4=194.

Способ сложения путем замены слагаемых предполагает представле-

ние одного из слагаемых в виде суммы двух чисел и дополнение другого слагаемого до круглого числа.

Пример 2.4. Требуется найти сумму чисел 178 и 37. 178 + 37 = 178 + (22 + 15) = (178 + 22) + 15 = 200 + 15 = 215.

2.3. УПРОЩЕННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИТАНИЯ

Вычитание с помощью круглого числа производится, если вычитаемое является числом, близким к круглому. Данное вычитаемое необходимо дополнить до круглого числа и вычесть его из уменьшаемого, а к полученной разности прибавить арифметическое дополнение.

Пример 2.5. Требуется вычислить разность чисел 347 и 99.

347 – 99 = 347 – 100 + 1 = 247 + 1 = 248.

Последовательноепоразрядноевычитаниепроизводитсяпутемпосле­ довательного вычитания каждого разряда вычитаемого из уменьшаемого­ . Начинать следует с высшего разряда.

Пример 2.6. Требуется найти разность чисел 342 и 146. Последовательность действий:

1)146 = 100 + 40 + 6;

2)342 – 100 = 242;

3)242 – 40 = 202;

4)202 – 6 = 196.

Вычитание путем замены сложением используется кассирами при определении суммы сдачи. Этот способ заключается в том, что к вычитаемомуприбавляюттакоечисло,котороевсуммеснимбылобыравноуменьшаемому. Подбор нужного числа выполняется по частям.

16

2.4. Упрощенные способы умножения

Пример 2.7. Требуется определить сумму сдачи с 20 руб., если стоимость покупки составляет 4 руб. 65 коп.

При вычислении выполняем подбор чисел по частям: 1) добавляем 5 коп., чтобы получилось 4 руб. 70 коп.;

2)добавляем 30 коп., чтобы получилось 5 руб.;

3)добавляем 15 руб., чтобы получилось 20 руб. 15 руб. 35 коп. + 4 руб. 65 коп. = 20 руб.

Следовательно, сумма сдачи составляет 15 руб. 35 коп.

Вычитание путем замены вычитаемого предполагает представление

вычитаемого в виде суммы двух чисел, одно из которых должно равняться числу соответствующего разряда уменьшаемого.

Пример 2.8. Требуется найти разность чисел 452 и 8. 452 – 8 = 452 – (2 + 6) = 452 – 2 – 6 = 450 – 6 = 444.

2.4. УПРОЩЕННЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ

Умножение на числа, выраженные единицей с последующими нулями,

производится путем добавления к первому множителю такого количества нулей, которое имеется во втором множителе.

Пример 2.9. Требуется найти произведение чисел 26 и 10 000.

26 × 10 000 = 260 000.

Чтобы умножить десятичную дробь на единицу с последующими нулями, нужно в десятичной дроби перенести запятую вправо на столько разрядов, сколько нулей в множителе.

Пример 2.10. Требуется найти произведение чисел 0,059 и 100 000.

0,059 × 100 000 = 5 900.

Для умножения числа на десятичную дробь, выраженную единицей с предшествующими нулями, нужно в первом множителе перенести запятую влево на столько разрядов, сколько нулей во втором множителе, включая нуль целых.

Пример 2.11. Требуется найти произведение чисел 87,3 и 0,01.

87,3 × 0,01 = 0,873.

Последовательное поразрядное умножение применяют при умно-

жении на однозначное число. При этом однозначное число умножают на каждый разряд второго множителя, полученные произведения суммируют. Начинать следует с высшего разряда.

17

2. Устные торговые вычисления

Пример 2.12. Требуется найти произведение чисел 83 и 8.

83 × 8 = (80 + 3) × 8 = 80 × 8 + 3 × 8 = 640 + 24 = 664.

Дляумножения на круглые числа,оканчивающиеся нулями,нужнопер-

вый множитель умножить на значащую цифру, а затем к полученному произведению приписать нули. Если первым множителем является десятичная дробь, целесообразно сначала умножить его на единицу с последующими нулями, а затем – на значащую цифру.

Пример 2.13. Требуется найти произведение чисел 187 и 40. 187 × 40 = 187 × 4 × 10 = 748 × 10 = 7480.

Пример 2.14. Требуется найти произведение чисел 0,34 и 2000.

0,34 × 2000 = 0,34 × 1000 × 2 = 340 × 2 = 680.

Умножение на числа, близкие к круглым, производится, если первый или второй множитель близок к круглому числу. Рекомендуется при этом сделать такую перестановку множителей, чтобы круглым числом был второй множитель. Тогда первый множитель умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение второго множителя и из первого произведения вычитают второе.

Пример 2.15. Требуется найти произведение чисел 256 и 98.

256 × 98 = 256 × 100 – 256 × 2 = 25 600 – 512 = 25 088.

При умножении двузначных чисел, не превышающих 20, нужно к од-

ному сомножителю прибавить число единиц другого, полученную сумму умножить на 10 и к произведению добавить произведение единиц сомножителей.

Пример 2.16. Требуется найти произведение чисел 17 и 14.

17 × 14 = (17 + 4) × 10 + (7 × 4) = 210 + 28 = 238.

При умножении на числа, состоящие из одинаковых цифр, нужно пер-

вый множитель умножить на ближайшее круглое число и к полученному результату прибавить десятую или сотую часть этого произведения.

Пример 2.17. Требуется найти произведение чисел 58 и 33.

Сначала представим 33 в виде суммы чисел: 33 = 30 + 30 : 10,

тогда

58 × 33 = 58 × 30 + 58 × 30 : 10 = 1740 + 174 = 1914.

Пример 2.18. Требуется найти произведение чисел 45 и 303.

45 × 303 = 45 × 300 + 45 × 300 : 100 = 13 500 + 135 = 13 635.

При умножении на числа, кратные 9, нужно первый множитель умножить на ближайшее круглое число, увеличенное в бо́льшую сторону,

а затем из полученного произведения вычесть десятую часть этого произведения.

18

2.5. Упрощенные способы деления

Пример 2.19. Требуется найти произведение чисел 35 и 81.

Вданномпримеремыдваждыпоэтапно­ применяемописанныйспособ. 35 × 81 = 35 × (90 – 90 : 10) = 35 × 90 – 35 × 9 = 350 × (10 – 10 : 10) –

– 35 × (10 – 10 : 10) = 3500 – 350 – 350 + 35 = 2835.

Умножение на 0,5; 5; 50; 0,25; 2,5; 25; 0,125; 1,25; 12,5 и т. д.

Чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить на 2. Чтобы умножить число на 5, его следует умножить на 10 и полученное произведение разделить на 2. Чтобы умножить число на 50, его следует умножить на 100 и полученное произведение разделить на 2. Аналогично числа умножают на 500, 5000 и т. д. Число нулей всегда равно числу цифр в целой части множителя.

Пример 2.20. Требуется найти произведение чисел 24 и 500.

24 × 500 = 24 × 1000 : 2 = 24 000 : 2 = 12 000.

Чтобыумножитьчислона0,25,егонужноразделитьна4.Чтобыумножить число на 2,5, его нужно умножить на 10 и полученное произведение разделить на 4. Чтобы умножить число на 25, его нужно умножить на 100 и полученное произведение разделить на 4. Аналогично числа умножают на 250, 2500 и т. д. Число нулей всегда равно числу цифр в  целой части множителя.

Пример 2.21. Требуется найти произведение чисел 31 и 2,5.

31 × 2,5 = 31 × 10 : 4 = 310 : 4 = 77,5.

Чтобы умножить число на 0,125, его нужно умножить на 1 и разделить на 8. Чтобы умножить число на 1,25, его нужно умножить на 10 и разделить на 8. Чтобы умножить число на 12,5, его нужно умножить на 100 и разделить на 8. Аналогично числа умножают на 125, 1250 и т. д. Число нулей всегда равно числу цифр в целой части множителя.

Пример 2.22. Требуется найти произведение чисел 216 и 12,5. 216 × 12,5 = 21 600 : 2 : 2 : 2 = 2700.

2.5. УПРОЩЕННЫЕ СПОСОБЫ ДЕЛЕНИЯ

При делении на числа, выраженные единицей с последующими нулями,

достаточно в делимом перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей в делителе.

Пример 2.23. Требуется найти частное чисел 23 и 100. 23 : 100 = 0,23.

При делении на числа, выраженные единицей с предшествующими нулями, достаточно перенести в делимом запятую вправо на столько разрядов, сколько нулей в делителе, считая и нуль целых.

19

2. Устные торговые вычисления

Пример 2.24. Требуется найти частное чисел 15,17 и 0,1.

15,17 : 0,1 = 151,7.

Деление на 0,5; 5; 50; 0,25; 2,5; 25; 0,125; 1,25; 12,5 и т. д.

Чтобы разделить число на 0,5, достаточно умножить его на 2. Чтобы разделить число на 5, достаточно разделить его на 10 и умножить на 2. Чтобы разделить число на 50, достаточно разделить его 100 и умножить на 2. Аналогично числа делят на 500, 5000 и т. д. Число нулей всегда равно числу цифр в  целой части делителя.

Пример 2.25. Требуется найти частное чисел 36,5 и 5.

36,5 : 5 = 36,5 : 10 × 2 = 3,65 × 2 = 7,3.

Чтобы разделить число на 0,25, достаточно умножить его на 4. Чтобы разделить число на 2,5, достаточно разделить его на 10 и умножить на 4. Чтобы разделить число на 25, достаточно разделить его 100 и умножить на 4. Аналогично числа делят на 250, 2500 и т. д. Число нулей всегда равно числу цифр в  целой части делителя.

Пример 2.26. Требуется найти частное чисел 16 и 0,25.

16 : 0,25 = 16 : 1 × 4 = 64.

Чтобы разделить число на 0,125, достаточно умножить его на 8. Чтобы разделить число на 1,25, достаточно разделить его на 10 и умножить на 8. Чтобы разделить число на 12,5, достаточно разделить его на 100 и умножить на 8. Аналогично числа делят на 125, 1250 и т. д. Число нулей всегда равно числу цифр в  целой части делителя.

Пример 2.27. Требуется найти частное чисел 76 и 12,5.

76 : 12,5 = 76 : 100 × 8 = 0,76 × 2 × 2 × 2 = 6,08.

Деление на 8. Чтобы разделить число на 8, необходимо разделить его на 2 и повторить это действие три раза.

? Вопросы для контроля знаний

1.Что такое сокращенные вычисления?

2.Что такое арифметическое дополнение? Приведите пример.

3.Перечислите упрощенные способы сложения.

4.Перечислите упрощенные способы вычитания.

5.Перечислите упрощенные способы умножения.

6.Перечислите упрощенные способы деления.

20