Теория системного анализа и принятия решений. Курс лекций

Целевая функция – максимизировать доход:

z = 5x1 + 4x2 → max.

Ограничения на расход сырья 1:

6x1 + 4x2 ≤ 24 .

Ограничения на расход сырья 2:

x1 + 2x2 ≤ 6 .

Дополнительные условия:

x2 − x1 ≤ 1 , x2 ≤ 2 .

Условия неотрицательности переменных: x1 ≥ 0 ,

x2 ≥ 0 .

Графическая интерпретация данной задачи представлена на ри- сунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Графическая интерпретация рассматриваемой задачи линейного программирования

31

Любое решение (точка) в пространстве решений ABCDEF являет- ся допустимым. Например, точка (3;1) – допустимое решение, так как не противоречит ни одному из ограничений.

Задача оптимизации – найти наилучшее допустимое решение.

2.1.2 Графическое решение

Графический поиск решения задачи линейного программирования представлен на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Графический метод решения задачи линейного программирования

2.1.3 Симплекс-метод

При решении задачи ЛП графическим методом заметно, что ее оптимальное решение всегда находится в угловой точке пространст- ва решений. Поэтому логично искать оптимальное решение задачи исключительно среди угловых точек пространства решений. Данная идея легла в основу симплекс-метода, предложенного немецким ма- тематиком Данцигом.

Симплекс-метод – это алгоритмический универсальный метод решения задач ЛП. Данный алгоритм – итеративный, и предполагает последовательное рассмотрение угловых точек. Угловые точки обра- зуются пересечением линий, соответствующих ограничениям. Эти линии записываются в виде равенств.

32

Поэтому первый шаг решения задачи ЛП симплекс-методом со- стоит в преобразовании ограничений из неравенств в уравнения (что позволит отыскивать точки их пересечения).

Второй шаг решения задачи состоит в обеспечении неотрица- тельности всех переменных (если это не так по условию).

Первые два шага называют еще приведением к стандартной форме задачи ЛП.

Стандартная форма – форма записи задачи ЛП, при которой все ограничения представлены в виде равенств, а все переменные ≥ 0. Приведение к стандартной форме осуществляется за счет введения фиктивных переменных.

Например:

6x1 + 4x2 ≤ 24 6x1 + 4x2 + s1 = 24 ,

где s1 ≥ 0 .

Либо для случая «≥»:

6x1 + 4x2 ≥ 24 6x1 + 4x2 − s1 = 24 ,

где s1 ≥ 0 .

Если для некоторого xk не задано условие «≥0», то данную пере- менную можно заменить разностью двух новых неотрицательных переменных:

xk = xk +1 − xk +2 ,

где xk +1 ≥ 0 и xk +2 ≥ 0 .

На рисунке 2.3 представлена геометрическая интерпретация идеи Данцига. Имеется несколько вариантов перебора угловых точек. На каждом шаге выбирается направление, максимально приближающее к цели, т.е. дающее максимальное приращение z.

х2

E D

C

F

A В

х1

Рисунок 2.3 – Графическая интерпретация идеи Данцига

33

2.1.4 Вычислительный алгоритм

Рассмотрим пример (уже приведенный к стандартной форме):

z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 → max.

Ограничения:

6x1 + 4x2 + 1s1 = 24 ;

1x1 + 2x2 + 1s2 = 6 ;

−1x1 + 1x2 + 1s3 = 1 ;

1x2 + 1s4 = 2 ;

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; s1 ≥ 0 ; s2 ≥ 0 ; s3 ≥ 0 ; s4 ≥ 0 ,

где s1, s2, s3, s4 – фиктивные переменные, добавленные в неравен- ства для преобразования.

Представим целевую функцию в виде уравнения

z − 5x1 + 4x2 = 0 .

Запишем уравнения в компактной форме в виде таблицы 2.2, которая показывает множества базисных и свободных переменных, а также ре- шение, соответствующее данной (начальной) итерации (х1, х2) = (0, 0). Это соответствует следующим множествам переменных:

-свободные (нулевые) переменные: (х1, х2);

-базисные переменные: (s1, s2, s3, s4).

Таблица 2.2 – Табличная форма записи задачи линейного программирования

Далее решается система с базисными переменными. В данном случае решение элементарно: s1 = 24, s2 = 6, s3 = 1, s4 = 2.

34

После этого проводится проверка, могут ли свободные перемен- ные при добавлении в базис улучшить результат. Для этого из z- строки формируется выражение

z = 5x1 + 4x2 .

Очевидно, что x1 дает прирост в 5 единиц, а x2 – в 4. Значит, x1 вносим в базис, эту переменную еще называют ведущей. Но перед ее внесением в базис, из него необходимо удалить одну из старых пе- ременных. Чтобы определить исключаемую переменную, надо вы- числить точки пересечения всех функций ограничений с положи- тельным направлением оси x1. Координаты этих точек пересечения можно вычислить как отношения правых частей равенств (значение в столбце «Решение») к коэффициентам при переменной х1 в этих ра- венствах (таблица 2.3).

Таблица 2.3 – Вычисление точек пересечения функций ограничений с положительной полуосью x1

Только неотрицательные отношения порождают точки пересече- ния на положительной полуоси х1. Отношения (пересечения), соот- ветствующие переменным s3 и s4, исключаются из рассмотрения, по- скольку для них точка пересечения лежит либо на отрицательной полуоси, либо в бесконечности.

Графическая интерпретация отношений как точек пересечения функций ограничений с положительной полуосью x1 представлена на рисунке 2.4.

Минимальное неотрицательное отношение соответствует базис- ной переменной s1, тем самым, определяя эту переменную как ис- ключаемую (т.е. на следующей итерации ее значение будет равно нулю). Значение вводимой переменной x1 в новом решении соответ- ствует точке пересечения, а, следовательно, равно полученному от- ношению, а именно x1 = 4. Значение целевой функции при этом воз- растет до 20 (5 × 4) (таблица 2.4).

35

Таблица 2.5 – Вычисление нового базисного решения на первой итерации

Здесь x2 дает прирост, а s1 – нет. Значит x2 вносим в базис. Далее рас- считываем отношения и производим замену и перерасчет (таблица 2.6).

Таблица 2.6 – Вычисление нового базисного решения на второй итерации

Вновь из z-строки сформируем выражение

z = − 3 s1 − 1 s2 + 21. 4 2

Свободные переменные прироста не дают, а значит полученное решение – оптимально. Следовательно (из таблицы 2.6): x1 = 3, x2 = = 3/2, z = 21.

Сформулируем обобщенный алгоритм симплекс-метода. Этап 0 Находится начальное допустимое базисное решение.

Этап 1 На основе условия оптимальности определяется вводимая пе- ременная. Если вводимых переменных нет, вычисления заканчиваются.

Этап 2 На основе условия допустимости выбирается исключае- мая переменная.

Этап 3 Методом Гаусса – Жордана вычисляется новое базисное решение. Переход к этапу 1.

2.1.5 Двойственная задача

Запишем задачу ЛП в общем виде:

37

n

∑aij xj ≤ bi , xj ≥ 0, i = 1,m, j = 1,n.

j=1

Вэкономической интерпретации задачи ЛП коэффициент сj характе- ризует доход от единицы продукции, а bi – расход на единицу ресурса.

Запишем обратную задачу ЛП:

То есть с одной стороны мы максимизируем совокупный доход, а с другой – минимизируем совокупный расход. Решение оптимально, если z = w.

2.2 Нелинейные задачи математического программирования

2.2.1 Экстремумы целевой функции

Поиск оптимального решения предполагает минимизацию или максимизацию некоторой целевой функции.

Математически оптимальное значение – точка минимума или максимума на целевой функции (рисунок 2.5). Для ее отыскания в общем случае (когда целевая функция не строго линейная) использу-

ется аппарат дифференциального исчисления.

Оптимизация заключается в отыскании точек, подозрительных на максимум или минимум, и проверке этих точек на «экстремальность».

Подозрительные точки еще называют стационарными, в них про- изводная целевой функции равна нулю. По форме это могут быть точки максимума, минимума или перегиба.

2.2.2 Необходимое условие существования экстремума

Для некоторой функции многих переменных f (X), где X = (х1, х2…xn), определим все частные производные.

Составим вектор частных производных, называемый градиентом

f (X ) = ( ∂f , ∂f ∂f ) .

∂x1 ∂x2 ∂xn

38

Матрица H является положительно определенной, если значения всех угловых миноров определителя |H| положительны.

Матрица H является отрицательно определенной, если значения k-x угловых миноров определителя |H| отличны от нуля и имеют знак

(–1)k, где k = 1,…, n.

Для примера выше:

Значит, точка (0;1/4) – точка максимума.

2.2.4 Оптимизация с ограничениями в виде равенств

Для некоторой функции многих переменных f (X), где X = (х1, х2…xn), зададим границы поиска ее оптимального значения, в виде системы уравнений

g(X ) = (g1 (X ), g2 (X ),…, gm (X )) = 0

или

g1 (X ) = 0;...

gm (X ) = 0.

40