Теория системного анализа и принятия решений. Курс лекций

Таблица 1.6 – Распределение мест по методу «большинства», данное коллективом экспертов

Метод «Борда» – места распределяются в соответствии с суммой рангов: чем она меньше, тем выше место. Например, для нашего слу- чая с решениями A, B, C и D таблица распределений мест будет иметь вид, представленный в таблице 1.7.

Таблица 1.7 – Распределение мест по методу «Борда», данное коллективом экспертов

Метод «Медиана Кемени» – решающим становится мнение наи- более уравновешенного эксперта. Мнение эксперта рассматривается как точка, координаты которой – решения. Далее рассчитывается расстояние между мнениями экспертов (каждого с каждым). Напри- мер, для нашего случая с решениями A, B, C и D определим расстоя- ние по Эвклиду

ρij = ( Ai − Aj )2 + (Bi − Bj )2 + (Ci − C j )2 + (Di − Dj )2 .

В теории функционального анализа расстояние определяется мет- рикой. Существует большое число метрик – Эвклидова, Гёльдерова, Пифагорова и т.п.

Полученные значения заносятся в таблицу 1.8 (матрицу расстоя- ний). Затем вычисляются значения Pi – расстояние от мнения i-го эксперта до всех остальных – как сумма расстояний между мнением этого эксперта и остальных. Среди вычисленных суммарных рас- стояний ищется минимальное. Соответствующий i-й эксперт – самый уравновешенный и его мнение – есть искомое решение.

21

Таблица 1.8 – Поиск решения по методу «Медиана Кемени»

min(P1, P2, P3, P4)

Метод «Альтернативы Кондорсе» – место решений определяется из их взаимного отношения. Для каждой пары решений (i и j) под- считывается, какое число (Sij) экспертов считает, что i-е решение лучше, чем j-е, и какое число (Sji) экспертов считает наоборот. На- пример, для нашего случая с решениями A, B, C и D место решений определяется как показано в таблице 1.9.

Таблица 1.9 – Определение места решения по методу «Альтернативы Кондорсе»

Далее строится граф (рисунок 1.4), где стрелками указываются отношения между парами проектов. Стрелка на графе от i-го реше- ния к j-му указывает, что ему отдали предпочтение больше экспер- тов. Например, стрелка от A направлена к B, так как проект A лучше проекта B (трое экспертов предпочли проекту B проект A и лишь только один эксперт — наоборот).

Рисунок 1.4 – Граф предпочтений решений ABCD

22

Далее граф упорядочивается путем приведения его к ярусно- параллельной форме (ЯПФ), как показано на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 – Граф предпочтений ABCD

вярусно-параллельной форме

1.4Многокритериальная оценка альтернатив

1.4.1 Цели системы

Одной из важнейших проблем системного анализа является опре- деление и формализация целей системы. Цель – есть состояние сис- темы, при котором та дает максимальный эффект. Такое состояние еще называется оптимальным.

Система отнюдь не всегда самостоятельно стремится к цели. За- частую движением системы необходимо управлять. Для оценки «ка- чества» управления (верно или неверно движется система) использу- ется критерий оптимальности – формальная оценка состояния сис- темы с точки зрения ее близости к цели. В качестве примеров крите- рия оптимальности можно привести максимум доходов, минимум затрат времени, ресурсов. Технически это могут быть как количест- венные величины – рубли, штуки товаров, тонны выбросов, так и расстояние до некоторого эталона.

Формально критерий оптимальности записывается в виде

I = f ( X ,U ) → min (max) ,

U

где f( ) – функция цели (характеризующая количество или меру близости);

X – множество переменных состояния системы; U – множество управляющих переменных.

23

Например:

S

f (X ,U ) = x1 − ∫(x2 x3 log u)ds ,

s0

где х1, х2, х3 – некоторые переменные состояния; и – некоторые управляющие переменные; s0 и S – границы протекания процесса.

1.4.2 Возникновение многокритериальности, множества Парето

В реальных системах зачастую можно выделить множество целей. Приближение к одной цели может отдалять от другой. Естественно, каж- дой цели соответствует свой критерий оптимальности. Поэтому путем со- гласования всех критериев определяется наиболее приемлемое решение.

Основным условием многокритериальности является отсутствие информации о принципах согласования целей (иначе можно было бы сформулировать общую цель функционирования системы). Поэтому качество многокритериальной оценки зависит от степени понимания аналитиком проблемы, от характера влияния на решение оценок по разным критериям.

Ярким примером многокритериальной задачи является соотноше-

ние цена–качество.

Допустим, есть три альтернативы: альтернатива А доминирует над В, если по всем критериям А не хуже чем В, и хотя бы по одному из них – лучше. Например: альтернатива 1 не проигрывает 2-й по качеству и выигрывает у нее по цене (рисунок 1.6).

Цена

23

1

Качество

Рисунок 1.6 – К примеру о возникновении многокритериальной задачи

24

Альтернатива, над которой не доминирует никакая другая, назы-

вается Парето-оптимальной. Множество всех Парето-оптимальных

альтернатив называется множеством Эджворта – Парето (Э – П). Множество Э – П содержит альтернативы, которые невозможно сравнить напрямую. Например: альтернатива 2 проигрывает 1-й по цене, а 3-й по качеству, и не выигрывает у них ни в чем, т.е. над ней доминируют. Тогда как 1-я выигрывает у 3-й по цене, а 3-я у 1-й по качеству, то нельзя заключить, какая из них доминирует. Значит, альтернативы 1 и 3 составляют множество Э – П (рисунок 1.7).

Цена

23

1

Качество

Рисунок 1.7 – Множество Эджворта – Парето

Оптимальные решения многокритериальной задачи следует ис- кать только среди элементов множества Э – П.

1.4.3 Многокритериальные задачи

Существует два типа задач многокритериальной оценки.

1 Имеется n альтернатив и N критериев для их оценки; необходи- мо сформулировать функциональные связи, позволяющие: опреде- лить лучшую альтернативу из имеющихся, упорядочить альтернати- вы по качеству, разбить множество альтернатив на классы качества. Например: провести анализ товаров в магазине при условиях, что свойства товаров известны, множество товаров условно постоянно, критерии оценки качества товаров заданы. Требуется выбрать товар с наилучшим соотношением качеств (таких как цена, срок гарантии, потребление энергии (и прочих ресурсов), надежность).

2 Имеется N критериев для их оценки любых возможных альтер- натив; альтернативы либо заданы частично, либо поступают после формирования функциональных связей; необходимо сформулиро-

25

вать связи позволяющие: упорядочить всевозможные альтернативы по качеству, разбить множество возможных альтернатив на классы качества. Например: формирование условий для проведения тендера; критерии оценки качества заявок должны быть сформулированы еще до подачи самих заявок.

Так как поступающие заявки могут быть весьма разнообразного свойства, к критериям оценки качества в задачах второго типа необ- ходимо подходить тщательнее.

1.4.4 Классификация методов

Классификация методов решения многокритериальных задач представлена в виде схемы на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8 – Классификация методов решения многокритериальных задач

1.4.5 Прямые методы

Метод последовательных уступок

1 Критерии нумеруются в порядке убывания их важности.

2 По первому критерию определяется оптимальное значение

f1* = min ( f1 (X ,U ))

U

26

3 Лицом, принимающим решение (ЛПР), устанавливается вели- чина уступки 1 по этому критерию.

Решается задача:

f2 (X ,U ) → min;

U

f1 (X ,U ) ≥ f1* − 1.

Далее пункты 2 – 4 повторяются для критериев 2…n.

Метод главного критерия

Все целевые функции, кроме одной (главной), переводятся в раз- ряд ограничений. Вводится γ = (γ2, γ3, …, γn) – вектор, компоненты которого нижние допустимые границы соответствующих критериев.

Оптимальным считается решение, при котором главный критерий достигает своего максимального значения, а по всем остальным кри- териям достигнуты значения, не меньше заданных:

I = f1 (X ,U ) → min;

U

fi (X ,U ) ≥ γi , i = 2,n.

Метод целевого программирования

Оптимальным считается решение, дающее наиболее близкое (в некоторой метрике) приближение значения каждого критерия к це- левой величине (идеальной точке):

I = ρ(F(U , X ), F* ) → min,

U

где F(U, X ) = ( f1 (U, X ), f2 (U, X ),…, fn (U, X )) – вектор целевых функций;

F* = ( f1* , f2* ,…, fn* ) – вектор целевых значений.

Качество решения во многом зависит от выбора метрики, напри- мер метрика Гёльдера с весами (θi):

Методы свертки

По аналогии с предыдущим методом, введем веса (θi) критериев, но с дополнительными условиями

27

n

∑θi = 1, θi ≥ 0, i = 1,n.

i=1

Тогда аддитивная задача имеет вид:

I= ∑(θi fi (X ,U )) → min.

i=1 Un

Мультипликативная задача имеет вид:

Для метода максимина задаются контрольные значения по каж- дому из критериев:

F* = ( f1* , f2* ,…, fn* ).

Оптимальным считается решение, которое максимизирует наи- худшее значение отношения реально достигнутого показателя к его контрольному значению:

1.4.6 Аксиоматические методы

Эти методы базируются на аксиомах рационального выбора. Аксиома полноты: полезность любой альтернативы определена

f(A), и ее можно сравнить с полезностями других альтернатив.

Аксиома транзитивности: если f(A) > f(B) и f(B) > f(C), то f(A) > f(С). Аксиома непрерывности: для f(A) > f(B) > f(C) можно найти такие α и β (0 ≤α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1), что αf(A) + (1 – α)f(B) = f(C) и βf(B) + (1 –

– β)f(A) > f(B).

Дополнительно вводятся аксиомы независимости (по разности, полезности, предпочтению).

1.4.7 Принципы оценки

Функция полезности определяется следующим образом:

1Формируется шкала для альтернатив.

2Определяется значения оценок для наиболее показательных аль- тернатив.

3По ним строится функция полезности (рисунок 1.9).

28

2 МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

2.1 Линейное программирование

2.1.1 Линейное программирование, постановка задачи

Методы линейного программирования получили широкое распро- странение благодаря удобству и эффективности их алгоритмической, а также компьютерной реализации. Линейное программирование (ЛП) – это метод оптимизации моделей, в которых целевые функции и ограничения строго линейны.

Свойство линейности предполагает:

-значения левых частей в ограничениях и значение целевой функ- ции прямо пропорциональны значениям переменных;

-аддитивность переменных (общий вклад всех переменных в зна- чения целевой функции и левых частей ограничений является пря- мой суммой вкладов каждой отдельной переменной).

Задача (модель) линейного программирования включает в себя три основных элемента:

1 Переменные, которые следует определить.

2 Целевая функция, подлежащая оптимизации.

3 Ограничения, которым должны удовлетворять переменные. Определение переменных – первый шаг в создании модели. После

определения переменных построение ограничений и целевой функ- ции обычно не вызывает трудностей.

Рассмотрим задачу линейного программирования и способы ее решения на конкретном примере (таблица 2.1).

Таблица 2.1 – К условиям задачи линейного программирования

Переменные: x1 – объем производства краски первого типа, x2 – объем производства краски второго типа.

30