Теория расчета пластин и оболочек. Методические указания

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Строительный факультет

Кафедра механики

ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Методические указания

Санкт-Петербург

2017

1

УДК 624.04

Рецензент д-р техн. наук, профессор В. М. Петров (СПбГАСУ)

Теория расчета пластин и оболочек: метод. указания / сост.

А. А. Лукашевич; СПбГАCУ. – СПб., 2017. – 24 c.

Приводятся схемы заданий и исходные данные для выполнения рас- четно-графических работ по курсу «Теория расчета пластин и оболочек». Изложены примеры выполнения расчетно-графических работ по темам «Расчет изгибаемой плиты численными методами» и «Расчет оболочки методом конечных элементов».

Предназначены для студентов специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений».

Табл. 7. Ил. 19. Библиогр.: 3 назв.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2017

2

ВВЕДЕНИЕ

При изучении учебной дисциплины «Теория расчета пластин

иоболочек» студенты выполняют две расчетно-графические работы (РГР) по темам «Расчет изгибаемой плиты численными методами» и «Расчет оболочки методом конечных элементов».

Целью выполнения расчетно-графических работ является освоение численных и численно-аналитических методов решения задач теории пластин и оболочек, построения соответствующих расчетных схем и вычислительных алгоритмов, проведения практических расчетов изгибаемых плит и оболочек по определению их напряженно-деформированного состояния.

Исходные данные для выполнения расчетно-графических работ выбираются из таблиц в соответствии с номером учебной группы и порядковым номером студента в списке группы.

Расчетно-графические работы должны быть оформлены на стандартных листах белой бумаги формата А4 (на одной стороне листа) с полями и нумерацией страниц в соответствии с действующим ГОСТ. Рисунки и таблицы также должны быть пронумерованы и подписаны. Структура каждой расчетно-графической работы должна включать следующие обязательные пункты: титульный лист; постановку задачи (с исходными данными и заданной схемой конструкции); основную (расчетную) часть; заключение (выводы

ирезультаты).

Титульный лист оформляется согласно общим требованиям с обязательным указанием названия факультета, кафедры и учебной дисциплины, наименования расчетно-графической работы, фамилии и инициалов студента, его учебной группы и шифра (порядкового номера в списке), а также фамилии и инициалов преподавателя, проверяющего работу.

Перед выполнением расчетно-графической работы необходимо выписать из таблицы исходные данные и вычертить в масштабе заданную расчетную схему с указанием на ней всех исходных числовых данных.

Расчетная часть работы должна сопровождаться краткими пояснениями, всеми необходимыми для понимания формулами и расчетами, четкими схемами и графиками.

3

Примеры выполнения обоих расчетно-графических работ приведены в настоящих методических указаниях.

Небрежно оформленная работа или работа, выполненная не в соответствии с данными методическими указаниями, к проверке и защите не принимается. Расчетно-графические работы должны быть сданы и защищены в сроки, определенные учебным планом.

При изучении рассматриваемой учебной дисциплины и выполнении расчетно-графических работ рекомендуется пользоваться указанной ниже литературой.

4

Расчетно-графическая работа № 1

РАСЧЕТ ИЗГИБАЕМОЙ ПЛИТЫ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Задание на РГР № 1

Прямоугольная плита размерами a b и толщиной h закреплена по всем сторонам (шарнирно-оперта – «О», либо защемлена – «З») и загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 25 кН/м2 и сосредоточенной силой F, приложенной в узле k (рис. 1).

Требуется:

1.Рассчитать плиту методом конечных разностей (МКР) на сетке 4×4: найти прогибы и внутренние усилия во всех узлах сетки; по результатам расчета изобразить изогнутую поверхность пластины; построить эпюры изгибающих и крутящих моментов в характерных сечениях плиты; вычислить наибольшие значения напряжений, действующих в плите.

2.Рассчитать плиту МКР с помощью программы на ЭВМ, последовательно сгущая конечно-разностную сетку от 4×4 до 12×12 (используя при этом не менее пяти различных сеток). Построить графики сходимости решения для прогиба в середине плиты и максимального изгибающего момента в соответствующем сечении.

3.Рассчитать плиту методом конечных элементов (МКЭ)

с помощью программы на ЭВМ, последовательно сгущая сетку конечных элементов от 4×2 до 8×8 (используя не менее пяти сеток). Построить график сходимости решения для прогиба в середине плиты и максимального изгибающего момента.

4.Сопоставить решения, полученные двумя приближенными методами – МКР и МКЭ.

Исходные данные принять в соответствии с номером группы (табл. 1) и порядковым номером в списке группы (табл. 2).

Рис. 1. Конечно-разностная схема для расчета плиты

5

Таблица 2

Расчет плиты методом конечных разностей

Нанесем на плиту сетку 4×4 и пронумеруем внутренние узлы сетки от 1 до 9 (см. рис. 2). Величины шагов сетки ∆x = a/4 = 2м; ∆y = b/4= 1,5м, при этом 2x 2y 1,778; 1 0,553.

Примем для железобетона E = 3,2 ∙104 МПа = 3,2 ∙107 кН/м2;

в бигармонический оператор Лапласа коэффициенты μ, η и ν, запишем этот оператор в числовом виде (рис.3,б).

Рис. 3. Бигармонический оператор Лапласа

8

Подсчитаем величины, входящие теперь в правую часть дифференциального уравнения изгиба пластины:

Запишем равенства, вытекающие из граничных условий рассматриваемой плиты. Во всех узлах на контуре плиты значения прогибов равны нулю. Для законтурных узлов вдоль шарнирно опертых сторон w–k = –wk, вдоль защемленных сторон w+k = wk.

Используя конечно-разностный оператор (см. рис. 3, б) и учитывая граничные условия, составим уравнения МКР для внутренних узлов сетки.

Узел 1: 22,04∙w1 – 6,25∙w2 – 11,11∙w4 + 2∙w5 + 1,78∙w1 –

– 0,56∙w1 + 0,56∙w3 + 1,78∙w7 = 8,23∙10–3.

Узел 2: 22,04∙w2 – 6,25∙w1 – 6,25∙w3 – 11,11∙w5 + 2∙w4 + + 2∙w6 + 1,78∙w2 + 1,78∙w8 = 8,23∙10–3.

Узел 3: 22,04∙w3 – 6,25∙w2 – 11,11∙w6 + 2∙w5 + 0,56∙w1 + + 0,56∙w3+ 1,78∙w3 + 1,78∙w9 = 8,23∙10–3.

Узел 4: 22,04∙w4 – 6,25∙w5 – 11,11∙w1 – 11,11∙w7 + 2∙w2 + + 2∙w8 – 0,56∙w4 + 0,56∙w6 = (8,23∙10–3 + 13,71∙10–3) = 21,94∙10–3.

Аналогичным образом составляем уравнения для остальных узлов. После преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений (в матричной форме) Aw B, решив которую,

получаем значения прогибов w в узлах сетки.

Числовое поле прогибов в узлах сетки, а также изогнутая поверхность плиты изображены на рис. 4.

Рис. 4. Значения прогибов в узлах сетки

С помощью конечно-разностных операторов внутренних усилий определяем изгибающие и крутящие моменты в узлах характерных сечений плиты.

Вычислим значения множителей этих операторов:

Запишем конечно-разностные операторы для вычисления моментов в числовом виде (рис. 5).

10