Теория вероятностей. Примеры и задачи. Учебное пособие

12.3. Пусть случайные величины X и Y независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти плотность случайной величины Z D

X 2 C Y 2.

81

Решение. Так как X и Y независимы, то совместная плотность их распределения имеет вид

Таким образом, величина Z D X 2 CY 2 имеет показательное распределение. 12.4. Пусть случайные величины X и Y независимы и имеют показательное распределение с одним и тем же параметром λ > 0. Найти плотность

распределения случайной величины Z D X C Y .

Решение. Плотности распределения случайных величин X и Y имеют

I

1

Подынтегральное выражение отлично от 0 при x > 0, z x > 0, т. е. 0 6 x 6 z. Следовательно,

82

12.5. Пусть случайные величины X и Y независимы и имеют равномерное распределение на отрезках Œ0; 1 и Œ1; 2 соответственно. Найти плотность распределения случайной величины Z D X C Y .

Решение. Плотности распределения случайных величин X и Y имеют вид

Так как 0 6 X 6 1, 1 6 Y 6 2, то 1 6 Z D X C Y 6 3, и fZ .z/ D 0 при z … Œ1; 3 . Рассмотрим случай z 2 .1; 3/. В этом случае

83

y

1

x

0 1 3

Рис. 2.11. Плотность fZ .z/ из задачи 12.5.

и проверить, являются ли X , Y независимыми. Найти EX , EY , DX , DY ,

COV .X; Y /, ρ .X; Y /.

12.9. Случайный вектор .X; Y / равномерно распределен в треугольнике D с вершинами A1 .0; 0/, A2 .0; 4/, A3 . 2; 0/. Найти плотность совместного распределения случайных величин X и Y , вероятность P .X 6 1; Y > 1/, одномерные плотности и функции распределения случайных величин X и Y . Найти EX , DX , EY , DY , COV .X; Y /, ρ .X; Y /.

12.10. Задана плотность совместного распределения случайных величин

где D — прямоугольник, задаваемый неравенствами 0 6 x 6 1, 4 6 y 6 0. Найти коэффициент C , вероятность P .X > 0; Y > 1/ и одномерные плотности распределения случайных величин X и Y . Найти EX , DX , EY , DY ,

COV .X; Y /, ρ .X; Y /.

12.11. Задана плотность совместного распределения случайных величин

Найти коэффициент C , вероятность P .X 6 0; Y > 2/ и одномерные плотности распределения случайных величин X и Y . Найти EX , DX , EY , DY ,

COV .X; Y /, ρ .X; Y /.

12.12. Задана плотность совместного распределения случайных величин

где D — прямоугольник, задаваемый неравенствами 0 6 x 6 π, 0 6 y 6 π. Найти коэффициент C , вероятность P X 6 π2 ; π4 6 Y 6 34π и одномерные

84

плотности распределения случайных величин X и Y . Найти EX , DX , EY ,

DY , COV .X; Y /, ρ .X; Y /.

12.13. Случайные величины X1, X2, . . . , Xn независимы и имеют одинаковые распределения с плотностью

Найти плотность распределения случайной величины

Y D min .X1; X2; : : : ; Xn/.

12.14. Случайные величины X и Y независимы и X D E .α/, Y D E .α/. Найти функцию и плотность распределения случайной величины

Z D min X; Y 3 .

12.15.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке Œ0; 1 , случайная величина Y равномерно распределена на отрезке Œ0; 4 . Известно, что X и Y — независимые случайные величины. Найти функцию распределения случайной величины Z D X Y .

12.16.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке Œ5; 9 , случайная величина Y равномерно распределена на отрезке Œ3; 6 . Известно, что X и Y — независимые случайные величины. Найти плотность распределения случайной величины Z D X C Y .

12.17.Незавимимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

Найти плотность распределения случайной величины Z D X C Y .

12.18. Незавимимые нормально распределенные случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

Найти плотность распределения случайной величины Z D X C Y , убедиться, что величина Z имеет нормальное распределение.

12.19. Пусть случайные величины X и Y независимы и каждая имеет равномерное распределение на отрезке Œ0; 2 . Найти функции распределе-

чина X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f .x/ D

85

1, а случайная величина Y имеет дискретное распределение и при-

π1 C x2

нимает два значения 1 и 2 с вероятностями P .Y D 1/ D 14 и P .Y D 2/ D 34 . Найти плотность распределения случайной величины X C Y .

2.5Предельные теоремы

Пусть имеется последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин X1; X2; : : : ; Xn; : : :. Составим среднее арифметиче-

ское n первых слагаемых: n1 .X1 C : : : C Xn/. Оказывается, что при больших n эта величина ведет себя не как случайная и приближается к математическому ожиданию каждого слагаемого. Это факт носит название закона больших чисел (ЗБЧ). Закон больших чисел — это совокупность теорем. Доказательство теорем опирается на неравенство Чебышёва: пусть EX 2 < 1, тогда для любого " > 0 справедливо неравенство

иначе оно дает тривиальную оценку. Следует заметить, что оценка вероятности по неравенству Чебышёва несколько грубовата. Рассмотрим на примерах.

86

Так как по условию распределение случайной величины известно, мы можем точно вычислить

P .jX j < 3/ D Φ0 .3/ Φ0 . 3/ D 2Φ0;1 .3/ 0; 9974:

Оценим вероятность события B, используя неравенство (2.5.2):

P .jX j < 1/ > 1 11 D 0:

Получили тривиальную оценку (почему?). А теперь вычислим точно:

P .jX j < 1/ D 2Φ0 .1/ 0; 6826:

13.2. Пусть известны числовые характеристики случайной величины X : EX D 0; 5; DX D 0; 1. Оценить снизу вероятности следующих событий:

A D f0; 1 < X < 0; 9g, B D fX < 1g.

Решение.

13.3.Контролер проверяет партию лампочек накаливания — 1000 штук.

Свероятностью 0; 01 лампочка имеет дефект нити накала и независимо от этого с вероятностью 0; 03 дефект цоколя. В каких границах будет практически наверняка заключено число бракованных лампочек? За вероятность практической достоверности принять 0; 95.

Решение. Пусть νn — количество бракованных лампочек, νn D Bi .n; p/. Найдем p — вероятность, что лампочка оказывается бракованной: p D 0; 01

0; 97 C 0; 99 0; 03 C 0; 01 0; 03 0; 04. Тогда Eνn D np D 1000 0; 04 D 40,

Dνn D npq D 1000 0; 04 0; 96 D 38; 4. Воспользуемся неравенством Чебышёва (2.5.2):

27 < νn < 53.

13.4. Суточный расход воды в типовом девятиэтажном доме составляет в среднем 1200 кубометров. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды не превысит 3000 кубометров.

87

Решение. Обозначим через X суточный расход воды. По условию EX D 1200. Так как случайная величина X > 0, то применим неравенство Маркова

(2.5.3)

P .X > "/ 6 P .X > "/ 6 E"X ;

P .X > 3000/ 6 P .X > 3000/ 6 12003000 :

Тогда P .X 6 3000/ D 1 P .X > 3000/ > 1 0; 4 D 0; 6, т. е. искомая вероятность не меньше, чем 0; 6.

2.5.1Закон больших чисел

Рассмотрим последовательность случайных величин fXng1nD1 и случайную величину X , заданные на одном вероятностном пространстве .Ω; F; P/.

Определение. Последовательность fXng сходится по вероятности к случайной величине X , если для любого " > 0

P .jXn X j > "/ ! 0 при n ! 1:

Обозначается сходимость по вероятности так:

P

Xn ! X; n ! 1:

К законам больших чисел относятся следующие теоремы:

Tеорема 2.5.1 (Чебышёва). Пусть X1; X2; : : : ; Xn — последовательность неза-

висимых и одинаково распределенных случайных величин с EX1 D a и конечной

n

дисперсией DX1 D σ2 , Sn D P Xi . Тогда для любого " > 0 имеет место неравен-

Tеорема 2.5.2 (Бернулли). Пусть νn — число «успехов» в n независимых испытаниях Бернулли, p — вероятность «успеха» в каждом испытании. Тогда для любого " > 0

Теорему 2.5.1 можно сформулировать и не для одинаково распределенных слагаемых:

88

Tеорема 2.5.3. Пусть X1; X2; : : : ; Xn; : : : независимы и имеют конечные момен-

Задачи.

13.5. Последовательность независимых случайных величин X1; : : : ; Xn

89