Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей. Примеры и задачи. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

732 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

10.1. Пусть случайная величина X имеет плотность распределения

fX .x/ D < px ; x 2 .1; 4/ I :0; x … Œ1; 4 :

Найти:

1)постоянную A;

2)функцию распределения FX .x/;

3)математическое ожидание EX ;

4)дисперсию DX ;

5) вероятность события	X 2	9	I 5	.
		4			Z
					1
Решение. 1) Постоянную A найдем из условия					fX .x/ dx D 1:

1 D

						1
A			p		4

p		dx D 2A		xj1		D 2A;
	x

т.е. A D 12 .

2)Так как 1 6 X 6 4 с вероятностью 1, то FX .x/ D 0 для всех x 6 1 и FX .x/ D 1 для всех x > 4. Для случая x 2 .1; 4 имеем

x	x
Z	Z
FX .x/ D	fX .t / d t D
1	1

1		x
1	d t D pt	x	D px 1:
		ˇ1
2pt		ˇ1
		ˇ

Таким образом,

FX .x/		8px	1; I1 < x 6 4
		0; x 6 1
	D	ˆ		I
		<1; x > 4:
		ˆ

3) Математическое ожидание

4	4
Z	1		Z
EX D	2p	x	x dx D
1	1

1		1	p			4		7
					3
	px dx D				3
2	px dx D	3		x		ˇ1	D	3	:
						ˇ

4) Найдем дисперсию DX . Имеем:

4	4
Z	1		Z
EX 2 D	2p	x	x2 dx D
1	1

1	p				1	p			4		31
1	p		3		1	p		5	4		31
2		x		dx D	5		x		ˇ1	D	5	;
									ˇ

и DX D EX 2 .EX /2				31		7	2	34
				31		7		34
			D				D		.
			D		5	3	D	45	.
					имеет абсолютно непрерывное распределение, то
	5) Так как величина X
														1! D 2
P		4 6 X 6 5 D P	4 6 X < 5 D FX .5/ FX							4	D 1	r	4	1! D 2	:
		9	9							9			9	1

Можно найти вероятность этого события через интеграл от плотности:

			5			4
	9	6 X 6 5	Z	fX .x/ dx	D	Z	1		D	p		49		D
P	9						1	dx			x

	4		9			9	2px
	4	D	9			9	2px				ˇ		4
											ˇ

			4			4

10.2. Найти плотность распределения случайной величины Y если случайная величина X имеет плотность распределения

fX .x/	D		3x2;	если x 2	Œ0;	1/I
	D		0;	если x …	Œ0;	1 :

12 :

Dln X ,

Решение. Функция y D ln x монотонно убывает и имеет обратную функцию x D e y . Так как случайная величина X принимает значения на отрезке Œ0; 1 , то случайная величина Y D ln X принимает значения на Œ0; 1/. Следовательно, fY .y/ D 0 при y 6 0. Рассмотрим случай y > 0:

FY .y/ D P .Y < y/ D P . ln X < y/ D P .X > e y / D 1 FX .e y / :

Дифференцируя, получим:

fY .y/ D fX .e y / e y D 3 .e y /2 e y D 3e 3y ; y > 0:

Таким образом, Y имеет показательное распределение с параметром λ D 3. 10.3. Найти плотность распределения случайной величины Y D X 2, если случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами

a D 0, σ2 D 1, т. е.,

1				x2

fX .x/ D			e	2 :
	p
		2π

Решение. Функция y D x2 монотонно убывает при x 6 0 и возрастает

при x > 0. Она имеет две обратных функции: x

и x

. Слу-

чайная величина Y

принимает значения на Œ0; 1/. Следовательно,

fY .y/ D 0 при y 6 0. Рассмотрим случай y > 0:

FY .y/ P .Y < y/

P X 2 < y

P p

< X < p

Φ p

Дифференцируя, получим:

fY .y/ D fX

C fX

2 ; y > 0:

2πy

10.4. Найти плотность распределения случайной величины Y D cos X , если случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке

;

имеет вид

Решение. Плотность распределения случайной величины

(

;

если x 2

;

fX .x/

если x

…

;

cos x монотонно возрастает на

Функция y

; 0

и монотонно убы-

вает на

. Она имеет две обратные

функции:

D ˙ arccos y

. Так как

; 2

случайная величина

принимает значения на отрезке

, то случай-

D cos X принимает значения на Œ0; 1 ,

т. е.,

fY .y/ D 0

при

ная величина Y

y … Œ0; 1 . Рассмотрим случай y 2 Œ0; 1 :

FY .y/ D P .Y < y/ D P .cos X < y/ D P .X <

arccos y/ C

C P .X > arccos y/ D FX . arccos y/ C 1

FX .arccos y/ :

Дифференцируя, получим:

fY .y/ D fX .

arccos y/

fX .arccos y/

π 1 y2

Таким образом,

D (

.y/

если y

Œ0; 1 :

y2 ; если y

…

Œ0; 1 I

10.5.Случайная величина X задана на всей оси O x функцией распределения F .x/ D 1=2 C .arctg x/ =π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .0; 1/.

10.6.Функция распределения случайной величины X (времени безот-

казной работы некоторого устройства) равна F .x/ D 1 e x=T .x > 0/. Найти вероятность безотказной работы устройства за время x > T .

10.7. Случайная величина X задана функцией распределения

F .x/		8x2	при 0 < x 6 1;
		0	при x 6 0;
	D	ˆ	при x > 1:
		<1	при x > 1:
		ˆ
		:

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу

.0; 25; 0; 75/.

10.8. Дана функций распределения случайной величины X :

ˆ0 при x 6 0;

F .x/ D sin 2x при 0 < x 6 π=4;

ˆ1 при x > π=4:

Найти плотность распределения f .x/.

10.9.Случайная величина X в интервале .0; 1/ задана плотностью распределения f .x/ D αe αx .α > 0/; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .1; 2/.

10.10.Плотность распределения случайной величины X в интервале

. π=2; π=2/ равна f .x/ D .2=π/ cos2 x; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях X примет ровно два раза значение, принадлежащее интервалу .0; π=4/.

10.11. Задана плотность распределения случайной величины X :

ˆ0 при x 6 0;

f .x/ D sin x при 0 < x 6 π=2;

ˆ0 при x > π=2:

Найти функцию распределения F .x/.

10.12.Плотность распределения случайной величины X задана на всей оси O x равенством f .x/ D 2C = 1 C x2 . Найти постоянный параметр C .

10.13.Плотность распределения случайной величины X в интервале

.0; π=2/ равна f .x/ D C sin 2x; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти постоянный параметр C .

10.14.Случайная величина X задана плотностью распределения f .x/ D x=2 в интервале .0I 2/; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти математическое ожидание величины X .

10.15.Случайная величина X задана плотностью распределения

f .x/ D C x2 C 2x в интервале .0I 1/; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти: а) параметр C ; б) математическое ожидание величины X .

10.16. Случайная величина X , возможные значения которой неотрицательны, задана функцией распределения F .x/ D 1 e αx .α > 0/. Найти математическое ожидание величины X .

10.17.Случайная величина X задана плотностью распределения f .x/ D cos x в интервале .0; π=2/; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти математическое ожидание случайной величины Y D φ .X / D X 2 (не находя предварительно плотности распределения Y ).

10.18.Случайная величина X задана плотностью распределения f .x/ D x C 0; 5 в интервале .0; 1/; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти математи-

ческое ожидание случайной величины Y D X 3 (не находя предварительно плотности распределения Y ).

10.19. Случайная величина X в интервале .2; 4/ задана плотностью распределения f .x/ D .3=4/ x2 C .9=2/ x 6; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти математическое ожидание и дисперсию величины X .

10.20. Случайная величина X в интервале . 3; 3/ задана плотностью рас-
пределения f .x/ D 1= πp9 x2	; вне этого интервала f .x/ D 0. а) Найти

дисперсию X ; б) что вероятнее: в результате испытания окажется X < 1 или

X> 1?

10.21.Случайная величина X в интервале .0; π/ задана плотностью распределения f .x/ D .1=2/ sin x; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти математическое ожидание и дисперсию X .

10.22.Случайная величина X в интервале .0; 5/ задана плотностью распределения f .x/ D .2=25/ x; вне этого интервала f .x/ D 0. Найти математическое ожидание и дисперсию X .

10.23.Закон Рэлея с плотностью распределения

f .x/ D	(0	x2 =2	при x < 0I
	Axe	x2 =2	при x > 0

в ряде случаев описывает распределение срока службы электронной аппаратуры. Найти коэффициент A, функцию распределения и вероятность того, что случайная величина, распределенная по закону Рэлея, примет значение, большее 1.

10.24. Случайная величина X имеет плотность распределения

	D	(0	при x	2	Œ0I	π=8 :
f .x/		A cos 4x	при x	…	Œ0	π=8 I
				…	I

Найти коэффициент A и функцию распределения. Построить графики плотности распределения и функции распределения.

10.25. Непрерывная функция распределения случайной величины X за-

дана выражением

ˆ0 при t 6 0;

F .t / D At 3 при 0 < t 6 2;

ˆ1 при t > 2:

Найти коэффициент A, плотность распределения, а также P .0 < X < 1/. Построить графики функции распределения и плотности распределения.

10.26. Можно ли подобрать постоянную C так, чтобы функция C x 4 была плотностью распределения на множестве: а) Œ1; 1/; б) Œ0; 1/; в) Œ 2; 1 ; г) Œ 3; 0 ?

10.27. Случайная величина X имеет плотность распределения

fX .x/ D

(0; x

.23; 0/ :

C x3

; x .

3; 0/

…

Найти постоянную C , вероятность P .X >

2/, математическое ожидание

EX и дисперсию DX .

10.28. Случайная величина X имеет плотность распределения

C cos 2x; x 2

;

.x/

<0; x

…

;

и математическое ожи-

вероятность P

Найти постоянную C ,

< X <

дание EX .

10.29. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке Œ0; 5 . Нарисовать график функции распределения случайной величины X и найти вероятность P . 3 < X < 8/, математическое ожидание EX и дисперсию

DX .

10.30. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке Œ 1; 2 . Нарисовать график плотности распределения случайной величины X и найти вероятность P .1 < X < 5/, математическое ожидание EX и дисперсию

DX .

10.31. Случайная величина X имеет плотность распределения

1				.x 3/	2	=2 ; x	2 R:
fX .x/ D			e
	p
		2π
Найти функцию распределения случайной величины Y D 5X C 2 и при-
ближенное значение вероятности P .				17 < Y <			12/.

10.32.Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a D 2 и σ D 1. Найти плотность распределения случайной величины Y D 2X C 5 и приближенное значение вероятности P .4 < Y < 7/.

10.33.Цена деления шкалы измерительного прибоора равна 10. Показания прибора округляются до ближайшего деления. Пусть случайная величина X — это ошибка округления. Предполагая, что случайная величина X равномерно распределена на отрезке Œ0; 5 , найти EX и DX .

10.34.Автобусы маршрута № 5 идут строго по расписанию с интревалом

в20 минут. Пусть случайная величина X — это время ожидания пассажиром автобуса на остановке. Предполагая, что случайная величина X равномерно распределена на отрезке Œ0; 20 , найти EX и DX .

f .v/ D

4h3 v2e p

10.35.Вероятность того, что срок службы электролампы превысит 50 часов, равна 0; 6. Пусть случайная величина X — это время службы электролампы. Предполагая, что случайная величина имеет показательное распределение, найти EX и DX .

10.36.Измерительный прибор работает без систематических ошибок. Известно, что вероятность ошибки измерения, превышающей по абсолютной величине 5, равна 0; 4. Пусть случайная величина X — это величина ошибки измерения. Предполагая, что случайная величина X нормально распределена, найти приближенное значение DX . (Работа измерительного прибора без систематических ошибок означает, что EX D 0.)

10.36.1 Случайная величина X распределена по закону Рэлея с плотно-

стью

		(		x		x2		, если x > 0		I
				x			2
f .x/	D				e	2σ
f .x/				σ2	e	2σ
			0, если x						0;

σ > 0. Найти: а) функцию распределения случайной величины X ; б) моду M0 и медиану MD этого распределения.

10.36.2 Модуль V вектора скорости молекулы газа есть есть случайная величина, распределенная по закону Максвела с плотностью

(

h2 v2 , если v > 0I 0, если v 0:

Найти среднюю скорость и дисперсию модуля скорости молекулы.

10.36.3Точку бросают наудачу в круг радиуса R. Вероятность попадания

влюбую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти функцию распределения расстояния X точки до центра круга.

10.37. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке 1)

Œ0; π=6 ; 2) Œ0; π=3 . Найти E .sin X /, D .sin X /.

10.38. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке 1)

Œ0; π=4 ; 2) Œ0; π=2 . Найти E .cos X /, D .cos X /.

10.39. Распределение случайной величины X имеет плотность

(

f .x/ D

2x при x 2 Œ0; 1 I

0 при x … Œ0; 1 :

Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин: а) X ; б) jX 1=2j; в) X 2; г) 2X .

10.40. Пусть случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке Œ0; 1 . Вычислить E sin2 .πX /, D sin2 .πX /.

10.41.Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке Œa; b , найти среднее значение и дисперсию площади круга.

10.42.Случайные величины X и Y независимы, причем X имеет нормальное распределение с параметрами 2 и 1=2, а Y — равномерное рас-

пределение на отрезке Œ0; 4 . Найти: а) E .X	C	Y /; б) E .X Y /; в) E X					2
E X Y 2 ; д) D .X C Y /; е) D .X Y /.	C		X		Y D CX
10.43.			X		Y D CX		C
Доказать, что плотности случайных величин				и		(

const ¤ 0) связаны следующим соотношением:

г)

1			y	:
fY .y/ D		fX
	jC j		C

10.44. Пусть случайная величина X распределена равномерно на отрезке Œ0; 1 t(X D UŒ0; 1 ). Найти плотности распределения следующих случайных величин: аt) ln X ; б) X 1=X ; в) ln .1 X /; г) eX 1.

10.45. Пусть случайная величина X имеет показательное распределение

с параметром α (X D E .α/). Найти плотности распределения следующих p

случайных величин: а) X ; б) X 2; в) 2X ; г) ln .αX /; д) e αX ; е) min X; X 2 . 10.46. Случайная величина X имеет плотность распределения

(

	fX .x/ D C x2; x 2 .0; 3/ I
	0; x … .0; 3/ :
Найти постоянную C и
1)	плотность распределения случайной величины Y1 D 22					X ;
2)	функцию распределения случайной величины Y2 D X				;
3)	плотность распределения случайной величины Y3 D			p			.
						X
	10.47. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке Œ0; 4 .
Найти
1)	функцию распределения случайной величины	Y1 D 2X				3;
2)						2	;
	плотность распределения случайной величины		Y2 D	9X
3)				2X		;
	функцию распределения случайной величины Y3 D e
4)	плотность распределения случайной величины Y4 D			ln .3X /.

	10.48. Случайная величина X имеет показательное распределение с плот-
ностью		I
	fX .x/ D (0; x 6 0:	I
	5e 5x ; x > 0
Найти
1)	плотность распределения случайной величины Y1 D 5X C 2;
2)	функцию распределения случайной величины			D	p	X		;
3)			Y2	D	2 2		.
3)	плотность распределения случайной величины Y3 D				X		.

10.49. Случайная величина X распределена по закону Коши

fX .x/ D π 1 C x2 :

Найти плотность распределения случайных величин: а) Y D X 3 C 2; б) Z D

X2.

10.50.Случайная величина X распределена равномерно на отрезке: а)

Œ0; π=2 ; б) Œ0; π . Найти плотность распределения fY .y/ случайной величины Y D sin X .

2.3Случайные векторы с дискретным распределением

2.3.1Случайные векторы. Случайные векторы с дискретным распределением. Независимость случайных величин с дискретным распределением

Определение.

Случайным вектором называется упорядоченный набор

/ случайных величин X

W Ω !

R, заданных на одном

; X

; : : : ; X

вероятностном пространстве.

Мы будем рассматривать двумерные случанные векторы .X; Y /.

Определение. Функцией распределения случайного вектора .X; Y / называется функция F W R2 ! R, определяемая соотношением

FX;Y .x; y/ D P .X < x; Y < y/ :

Определение. Случайный вектор .X; Y / имеет дискретное распределение, если множество его значений с вероятностью 1 конечно или счетно.

Рядом распределения, или таблицей распределения случайного вектора с дискретным распределением будем называть таблицу, в которой представлен набор значений xi ; yj случайного вектора, и вероятности, соответствующие каждому из этих значений: pij D P X D xi ; Y D yj .

X			Y

	y1	y2	: : :	ym	: : :
x1	p11	p12	: : :	p1m	: : :
x2	p21	p22	: : :	p2m	: : :
: : :	: : :	: : :	: : :	: : :	: : :

xn	pn1	pn2	: : :	pnm	: : :
: : :	: : :	: : :	: : :	: : :	: : :

Случайные векторы с дискретным распределением обладают следующими свойствами:

1.	i;j	pij D 1;
2.	P		P	pij .
	P	..X; Y / 2 A/ D

i;j W.xi ;yj /2A

Зная таблицу совместного распределения величин X и Y , можно найти одномерные законы распределения величин X и Y :

X		X
P .X D xi / D	P X D xi ; Y D yj ; P Y D yj	D	P X D xi ; Y D yj :
j		i

Определение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если для любых xi , yj из множества значений величин X и Y выполняется равенство

P X D xi ; Y D yj D P .X D xi / P Y D yj .

Если зафиксировать одно из значений yj величины Y , то можно найти условный закон распределения случайной величины X :

	X D xi jY D yj D	PDY yj	:	(2.3.1)
P		P X xi ; Y D yj
		D

2.3.2Числовые характеристики случайных векторов с дискретным распределением

Определение. Пусть .X; Y / — случайный вектор. Ковариацией случайных величин X и Y называется число

COV .X; Y / D E..X	EX / .Y		EY // D E.X Y / EX EY:
Если случайный вектор .X; Y / имеет дискретное распределение с веро-
ятностями P X D xi ; Y D yj	D pij , то
.X			i j	ij
	Y /	D X X			:
E			x y p

Вообще, для любой функции φ .X; Y / от случайных величин X и Y справедливо равенство

X X

Eφ .X; Y / D φ xi ; yj pij :

Если COV .X; Y / D 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными.

Свойства ковариации:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]