Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей. Примеры и задачи. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

732 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

9.8.

P .X D xi /

1=4

3=16

9=16

41 ; 0 < xI

6 1

F .x/

0; x 6 0

; 1 < x 6 2

D ˆ

ˆ1; x > 2:

0ˆ

9.9.

P .X D xi /

0; 28

0; 54

0; 18

80; 28; 0 < x 6 1

0; x

6 0I

F .x/

ˆ0; 82; 1 < x

ˆ1; x > 2:

9.10.

P .X D xi /

0; 6

0; 4

F .x/

80; 6; 1 <Ix 6 2

0; x 6 1

<1; x > 2:

9.11.

P .X D xi /

0; 7

0; 3

F .x/

80; 7; 1 <Ix 6 2

0; x 6 1

<1; x > 2:

EX D 2116 ; DX D 183256 :

EX D 0; 9; DX D 0; 45:

EX D 1; 4; DX D 0; 24:

EX D 1; 3; DX D 0; 21:

9.12.

, EX

; DX

P .X

xi /

1=6

9.13.

, EX

D 0; 8; DX D 0; 36.

P .X

xi /

0; 3

0; 6

0; 1

9.14.

, P .X 6 1/

D 0; 675.

P .X

xi /

9=40

9=20

11=40

1=20

9.15.

, P .X 6 2/ D

P .X

xi /

2=7

5=21

4=21

1=7

2=21

1=21

9.16

P .X

; k

0; 1; 2 : : :

P .1 6 X 6 2/

0; 21978:

kŠ

101

9.17

P .X D k/ D

; k D 1; 2; : : : ; 14;

P .X D 15/ D

I k

D 1:

414

9.18. а)

, EX

; DX D

P .X

xi /

5=8

15=56

5=56

1=56

б)

P .X D k/ D

; k D 0; 1; 2; : : : I

EX D

; DX D

9.19. а) P .X D k/ D C4k

; k

D 0; 1; 2; 3; 4.

; EX D

; DX D

P .X

xi /

625=64

500=64

150=64

20=64

1=64

б)

;

P .X D xi /

1=64

16=64

100=64

304=64

454=64

продолжение:

P .X D xi /

304=64

100=64

16=64

1=64

EX D 0; DX D

9.19.1

0; 4

0; 24

0; 144

0; 0864

0; 1296

EX D 1; 3;

DX D

1; 96; P .X 3/ D 0; 8704.

9.19.2

0; 0625

0; 25

0; 375

0; 25

0; 0625

D 2; DX D 1; P .X 2/ D 0; 6875. 9.19.3

0; 5714

0; 2857

0; 1143

0; 0286

D 2; 6; DX D 0; 64; P .X 3/ D 0; 8571.

9.20. P .X D k/ D

; k D 2; 3; : : : I

0; x 6 2I

; 2 < x 6 3

; 3 < x 6 4

F .x/

D ˆ: : :

C : : : C

; k < x 6 k C 1I

:: : :

102

9.21. 1)

; 2)

9.22.

P .X D xi /

0; 8

0; 2

9.22.

EY D

2; 8;

если X

и Y

независимы, то DY D 47; 46.

9.24. EY1 D

0; 49; DY2 D 23; 29.

9.25. a) Y D 2X C 5;

;

P .Y

xi /

1=7

4=7

2=7

б) Y D X 2 C

;

P .Y

xi /

4=7

3=7

в) Y D jX j;

;

P .Y

xi /

4=7

3=7

г) Y D 2X ;

1=2

;

P .Y

xi /

1=7

4=7

2=7

д) Y D min .X; 1/;

;

P .Y

xi /

1=7

4=7

2=7

е) Y D 1= .3

X /;

1=4

1=3

1=2

P .Y

xi /

1=7

4=7

2=7

9.26. 1)

;

P .Y1 D xi /

0; 1

0; 6

0; 1

0; 2

;

P .Y2 D xi /

0; 2

0; 1

0; 7

80; 2;

69 <Ix 6

0; x

FY2

.x/

47 < x

D ˆ0; 3;

ˆ1; x > 15:

;

P .Y3 D xi /

0; 7

0; 1

0; 2

80; 7; 5 <Ix 6 11

0; x 6

FY3 .x/

D ˆ0; 8; 11 < x

ˆ1; x > 14:

;

P .Y1 D xi /

0; 1

0; 3

0; 4

0; 2

103

;

P .Y2 D xi /

0; 1

0; 5

0; 4

80; 1;

95 <Ix 6

0; x 6

FY2 .x/

47 < x

ˆ0; 6;

15:

ˆ1; x >

;

P .Y3 D xi /

0; 4

0; 5

0; 1

0; x 6 5I

<0; 4; 5 < x 6 11I FY3 .x/ D I

ˆ0; 9; 11 < x 6 17

:1; x > 17:

9.27. 1)			xi		3		2			1		0			1			2			;
			P .Z D xi /		0; 05		0; 36			0; 11		0; 38			0; 02			0; 08

2)		xi		4		3			2		1		0			1			3			.
	P .Z D xi /			0; 08		0; 24		0;	16		0; 16		0; 2			0; 08			0; 08

9.28. 1)			xi		4		2			1		0		1			2			;
			P .Z D xi /		0; 03		0; 1			0; 08		0; 7		0; 06			0; 03

2)		xi		4		2		0		2		4				.
	P .Z D xi /			0; 02		0; 09		0;	8	0; 03		0; 06

§ 10. Случайные величины с абсолютно непрерывным распределением. Числовые характеристики случайных величин с абсолютно непрерывным распределением.

10.0.1. 0; 99.10.0.2. 0; 1586. 10.5. P .0 < X < 1/ D 14 . 10.6. P .X > T / D 1e .

10.7. C43p3 .1

p/ D

, где p D P .0; 25 < X < 0; 75/ D

10.8.

f .x/

2 cos 2x; x 2 .0; π=4/ I

D (0; x

…

.0; π=4/ :

10.9. P .1 < X < 2/

eα

. 10.10. C 2p2 .1 p/

π C 2

3π

, где

p D

π C 2 .

e2α

4π

104

10.11.

F .x/

cos x; 0 < x 6 π=2

0; x 6

<1; x > π=2:

2π

D 4

D 16

10.12.

1 .

10.13.

1. 10.14. EX

4 .

10.15.

, EX

11 .

10.16. EX D

. 10.17. E X 2 D

π2

. 10.18. E X 3 D

. 10.19. EX D 3, DX D

10.20 DX D 4; 5; P .

3 < X < 1/ D

arcsin

> P .1 < X < 3/ D

10.21.

π2

10.22. EX D

arcsin

EX D

, DX D

10.23.

A D 1I F .x/ D

x2 =2I ; x > 0

P .X > 1/ D e

1=2 :

0; x

10.24.

F .x/

8sin 4x; 0I

< x 6 π=8

0; x

<1; x > π=8:

10.25.

D 8 I

D (0; x

.0; 2/

x2 ; x 2

.0; 2/ I

f .x/

P .0 < X < 1/

…

10.26 а) Да, C D 3; б) нет; в) да, C D

; г) нет. 10.27. C D

, P .X >

2/ D

5π

p3D

10.28.

< X <

, X

10.29.

8 x

; 0 < x 6 5

P .

3 < X < 8/

1 EX

25 :

F .x/

0; x

D I

<1; x > 5

; x

. 1; 2/

10.30.

F .x/ D (

0; x 2

. 1; 2/

P .1 < X < 5/ D

I EX D

I DX D

10.31.

…

FY .x/ D Φ

.t C 13/

D 5p

d t I

2π

105

P . 17 < Y <

12/ D Φ .1=5/

Φ .

4=5/ 0; 3674:

10.32.

9/2

.4 < Y < 7/ D Φ .

5=2/ 0; 1525:

fY .x/ D 2p2π e

Φ .

10.33. EX

D 2; 5,

. 10.34 EX

D 10, DX

100

. 10.35. EX D

97; 88,

2500

9580; 64. 10.36. DX

35; 43.

ln 10 ln 6

.ln 10

ln 6/2

2σ2

, если

x > 0I

б) M0 D σ; MD D σp2 ln 2 ≈

10.36.1. а) F .x/ D ( 0, если x

1; 18σ. 10.36.2. EV

; DV D

π .

D0, если x

10.36.3 а) F .x/

, если 0 < x

D <

1, если x > R:

3p3

9 7

10.37. 1) E sin X D

, D .sin X / D

π2

;

4π

, D .sin X / D

2) E sin X D

2π

8π

4π2

10.38. 1) E cos X D

, D .cos X / D

;

π2

2) E cos X D

, D .cos X / D

π2

10.39. а) EX D

, DX D

; б) E jX

j D

, D jX

j D

; в) E X 2 D

D X 2 D

; г) E 2X

4 ln 2

, D

8 ln 2

.4 ln 2

2/2

ln2 2

2 ln2 2

ln4 2

10.40. E sin2 πX

, D sin2 πX

1 .

10.41.

π2

ES D

; DS D

b a

10.42. а) E .X C Y / D 4; б) E .X Y / D 4; в) E X 2 D

; г) E X

;

д) D .X C Y / D

; е) D .X Y / D

10.44. а)

.y/

0; y 6 0I

б)

y ; y > 0

0; y > 0

.y/

; y < 0

106

в)

y ; y > 0

fY .y/

0; y 6

г)

; y

; 1

.y/

D <0; y

; 1

10.45. а)

…

(2αye

αy I ; y > 0

f .y/

0; y

6 0

б)

fY .y/ D (0;αy e

αpI y ; y > 0

в)

fY .y/

αy

D <

0; y

2 ; y > 0I

г)

.ey /

D e

y ey

д)

fY .y/ D e

fY .y/ D (0; y

.0; 1/ I

1; y

.0; 1/

е)

…

fY .y/

80;αy e

αpI y ; 0 < y 6 1

αy

ˆαe

; y > 1:

10.46. C

;

y/2

; y 2 .

1; 2/ I

fY1 .y/

D <0; y

…

. 1; 2/

.y/

8 ypy

D ˆ

0; y

6 0

; 0 < y

ˆ1; y > 9I

107

; y 2

3; 0 I

fY3 .y/ D

<0; y

…

p3; 0 :

10.47. 1)

0; y 6

FY1

.y/

y C 3

;

3 I< y 6 5

<1; y > 5

; y 2 .

144; 0/ I

fY2

24p

.y/

<0; y

…

. 144; 0/ :

0; y 6 e

FY3

.y/

ln y

; e I

8 < y 6 1

ˆ1; y > 1I

; y >

ln 12

fY4 .y/ D (0; y 6

ln 12: I

10.48. 1)

e2 y ; y > 2

fY1 .y/ D (0; y 6 2:

5y2

FY2 .y/

; y 6 0I

<1; y > 0

5p y ; y < 0I

fY3

.y/

<0; y > 0:

10.49. а)

fY .y/

D 3π q.y 2/2

1 C q.y 2/2

108

б)												fZ .y/								8				πpy .1 C y/ ; y > 0I
																												1
																			D <

																								0; y 6 0:
10.50. а)												fY .y/ D								:						2									2 .0; 1/ I
												fY .y/ D								8			π			1			y2			; y			2 .0; 1/ I
																				<				p
																				:		0; y							.0; 1/
б)																				:							2…								I
												fY .y/ D								8												; y 2 .0; 1/ I

																							π			1		…	y2
																				<				p				…	.0; 1/ :
																						0; y							.0; 1/ :
																				дискретным распределением.
	§ 11. Случайные векторы с :
11.2. а)							xi								2			0								1				;							yj			1		2		;
11.2. а)			P .X						xi /				1=3					1=3								1=3				;		P Y D yj								1=2		1=2		;
								D 0/						1																							1
б) P .Y			D	2	j	X					D			1	, P .X					D		1			j	Y		D			1/						1	;
б) P .Y				2		X							2		, P .X							1				Y					1/							;
								D					2																					D 3
	X C Y													X Y
								4			1						0						2
		3						0			0						0				1=6
в)																												;
в)		1						0			0					1=6							0					;
	0						1=6				1=6						0						0

	2							0			0					1=6							0

	3							0			0						0				1=6


г)				xi											3					1						0					2					3			;
г)	P .X C Y D xi /												1=6					1=6							1=3					1=6						1=6			;

				xi							4						1						0						2				;
	P .X Y D xi /										1=6						1=6				1=3							1=3					;

	max .X; Y /														min .X; Y /

											2						1			0								1

д)				1						1=6					0					0								0				.

		0								0					1=6					0								0
		0								0					1=6					0								0

		1								0					1=6					0								0

		2								1=6					0					1=6						1=6


																																X							Y

																																			0				2		8
11.3.					yj								0					2							8				;						0				2		8		.

																															0				1=2				0		0
		P Y					D	yj			1=2						1=6						1=3								0				1=2				0		0
		P Y					D	yj			1=2						1=6						1=3								2				0				0		1=3
																															1				0				1=6		0

109

11.4. а) EX D

, DX D

; б) EY D

, DY D

; в) COV .X; Y / D 0;

г) E .X

2Y / D

, D .X

2Y / D

11.5. EX D

, DX D

107

, EY D

, DY D

4007

, ρ .X; Y / D

193

144

2304

107

4007

0; 29, E .X

3Y C 1/ D

157

, D .X

3Y C 1/ D

42407

18; 4.

2304

11.6. ESn D 0, DSn D

11.7. ESn D

n, DSn D

11.8. 1)

;

D yj

P .X D xi /

3=17

5=17

9=17

10=17

7=17

;

P .X C Y D xi /

2=17

5=17

;

P .X Y D xi /

4=17

1=17

5=17

2=17

EX D

, DX D

4200

, EY D

, DY D

1750

, COV .X; Y / D

650

, ρ .X; Y / D

289

14p

;

P .X

xi /

2=9

7=18

P Y D yj

5=9

4=9

;

P .X C Y D xi /

1=9

2=9

1=3

1=6

;

P .X Y D xi /

1=3

7=18

5=18

EX D

, DX D

, EY D

, DY

, COV .X; Y / D

, ρ .X; Y / D

11.9.

. . .

;

1=5

3=25

9=125

. . .

1=5n

. . .

1=5

3=25

9=125

. . .

1=5n

. . .

;

P .X D xi /

1=2

. . .

, т. е. случай-

P Y D yj

2=5

6=25

18=125

. . .

2 3n

1=5n

. . .

ная величина Y имеет геометрическое распределение с параметром p D 25 ;

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]