Теория вероятностей. Примеры и задачи. Учебное пособие

Глава 2

Случайные величины

2.1Случайные величины с дискретным распределением. Числовые характеристики случайных величин с дискретным распределением

2.1.1Случайная величина и ее функция распределения

Определение. Случайной величиной на вероятностном пространстве .Ω; F; P/ называется любая числовая функция от элементарного исхода X W Ω ! R, X D X .ω/, такая, что для любого x 2 R множество .ω 2 Ω W X .ω/ < x/ 2 F является событием.

Примеры случайных величин — число выпавших очков при бросании игральной кости, время ожидания автобуса на остановке, средняя температура воздуха за сутки.

Определение. Функцией распределения случайной величины X называется функция y D FX .x/ D F .x/, F W R ! R, определяемая соотношением

FX .x/ D P .ω W X .ω/ < x/ D P .X < x/ :

Функция распределения случайной величины обладает свойствами:

1. 0 6 F .x/ 6 1 для всех x 2 R.

41

2. F .x/ нестрого монотонно возрастает на всей числовой оси.

5.Для любых a < b вероятность попадания случайно величины X в полуинтервал Œa; b/ равна

P .a 6 X < b/ D F .b/ F .a/ :

6.Для любого a 2 R вероятность того, что случайная величина X принимает значение a, равна величине скачка функции распределения в точке a:

P .X D a/ D F .a C 0/ F .a/ :

Выделяют два основных типа распределений случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные распределения.

2.1.2Случайные величины с дискретным распределением

Бесконечное множество называется счетным, если его можно занумеровать числами натурального ряда, т. е., оно имеет вид fx1; x2 ; : : : ; xn; : : :g. Примерами счетных множеств являются множество четных натуральных чисел f2; 4; 6; : : :g, множество целых чисел, множество рациональных чисел и т. д.. Пример несчетного бесконечного множества — любой отрезок Œa; b или интервал .a; b/.

Определение. Говорят, что случайная величина X имеет дискретное распределение, если она с вероятностью 1 принимает конечное или счетное множество значений, т. е. существует конечное или счетное множество

Таблицей распределения, или рядом распределения, случайной величины X с дискретным распределением называется таблица, в которой приведены значения, принимаемые случайной величиной X , и соответствующие им вероятности.

42

Если случайная величина X имеет дискретное распределение, то вероятность ее попадания в множество A R вычисляется по формуле:

X

P .X 2 A/ D pi :

i Wxi 2A

В частности, функция распределения случайной величины X с дискретным распределением

вид, т. е., функция постоянна на каждом из промежутков .xi 1 ; xi и имеет в каждой из точек xi разрыв первого рода (скачок), равный вероятности

pi D P .X D xi /.

В частности, если множество значений случайной величины X конечно,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

: p1 C p2 C : : : C pn D 1; x > xn :

График функции F .x/ изображен на рис. 2.1.

43

2.1.3Числовые характеристики случайных величин с дискретным распределением

Определение. Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X с дискретным распределением, принимающей значения x1 , x2,

: : :, xn,: : : с вероятностями p1; p2; : : : ; pn; : : : соответственно, называется число

X

EX D xi pi :

i

Если случайная величина Y D φ .X / есть функция от случайной величины X , то ее математическое ожидание находится по формуле

X

EY D Eφ .X / D φ .xi / pi :

i

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины X называется число

X

EX k D xik pi :

i

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется число

X

E.X EX /k D .xi EX /k pi :

i

Число EjX EX jk называется абсолютным центральным моментом порядка k случайной величины X .

Определение. Дисперсией случайной величины X называется ее центральный момент второго порядка:

Дисперсия характеризует среднее отклонение (точнее — квадрат отклонения) случайной величины от ее математического ожидания. Чаще для ее вычисления используется формула

Определение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если для любых x; y 2 R события .X < x/ и .Y < y/ независимы.

Основные свойства математического ожидания:

44

1.Если случайная величина постоянна: X D C с вероятностью 1, то

EX D EC D C .

2.Для любых случайных величин X и Y

E.X C Y / D EX C EY:

3. Для любой случайной величины X и любого числа C 2 R

E.CX / D C EX:

4.Если X > 0 с вероятностью 1, то EX > 0. При этом EX D 0 равносильно P .X D 0/ D 1.

5.Если случайные величины X и Y независимы, то E.X Y / D EX EY . Основные свойства дисперсии:

1.DX > 0, и может быть равна 0 только в том случае, когда случайная величина постоянна с вероятностью 1, т. е. P .X D C / D 1, C 2 R.

2.Для любой случайной величины X и любого числа C 2 R

D.CX / D C 2 DX:

3. Для любой случайной величины X и любого числа C 2 R

D.X C C / D DX:

4. Если случайные величины X и Y независимы, то

D.X C Y / D DX C DY:

2.1.4Примеры случайных величин с дискретным распределением

1. Распределение Бернулли B .p/.

Определение. Случайная величина X имеет распределение Бернулли (X D B .p/) с параметром 0 < p < 1, если она принимает два значения: X D 1 с вероятностью p или X D 0 с вероятностью q D 1 p.

2. Биномиальное распределение Bi .n; p/.

45

Определение. Случайная величина X имеет биномиальное распределение (X D Bi .n; p/) с параметрами 0 < p < 1, n 2 N, если она принимает значения 0; 1; 2; : : : ; n с вероятностями, вычисляемыми по формулам Бернулли:

P .X D k/ D Cnk pk .1 p/n k ; k D 0; 1; : : : ; n:

Биномиальное распределение имеет случайная величина, равная числу «успехов» при n испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной p.

Так как биномиальное распределение Bi .n; p/ имеет сумма независимых случайных величин X D X1 C: : :CXn, каждая из которых имеет распределение Бернулли B .p/, то по свойствам математического ожидания и дисперсии EX D E.X1 C : : : C Xn/ D EX1 C : : : C EXn D np и DX D np .1 p/.

3. Геометрическое распределение G .p/

Определение. Случайная величина X имеет геометрическое распределение (X D G .p/) с параметром 0 < p < 1, если она принимает значения k D

1; 2; 3; : : : с вероятностями P .X D k/ D .1 p.

Предположим, что испытания Бернулли проводятся до первого «успеха». Тогда случайная величина, равная количеству проведенных испытаний, имеет геометрическое распределение. Проверим, что сумма вероятностей

P pk D 1:

k

Распределение получило свое название из-за того, что вероятности pk образуют геометрическую прогрессию.

Для нахождения математического ожидания и дисперсии используем фор-

kD1

4. Распределение Пуассона Π .λ/

46

Определение. Случайная величина имеет распределение Пуассона (X D Π .λ/) с параметром λ > 0, если она принимает значения k D 0; 1; 2; : : : с

вероятностями P .X D k/ D e λλk . kŠ

Математическое ожидание

Задачи.

9.1. В корзине 4 яблока и 6 апельсинов. Случайным образом из нее выбирается 3 фрукта. Обозначим через X случайную величину, равную количеству яблок среди выбранных фруктов. Найти:

1)ряд распределения и функцию распределения случайной величины X ;

2)математическое ожидание EX ;

3)дисперсию DX ;

4)вероятность события fX > 1g;

5)математическое ожидание и дисперсию случайной величины 4X C 3.

Решение. 1) Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3

(3 яблока из 4, 0 апельсинов из 6). Запишем ряд распределения случайной величины X :

47

1)ряд распределения и функцию распределения случайной величины X ;

2)математическое ожидание EX и дисперсию DX ;

3)вероятность события fX > 1g.

Решение. 1) Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n D 4 и p D 1=6. Она принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями, вычислемыми по формулам Бернулли:

Запишем ряд распределения случайной величины X

48

2) Математическое ожидание EX D np D 23 , дисперсия DX D np .1 p/ D

1018 .

3) Вероятность P .X > 1/ D 1 P .X < 1/ D 1 P .X D 0/ D 1296671 .

9.3. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения случайной величины X — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных, построить график функции распределения, найти EX , DX и вероятность P .X 6 2/.

9.4. Написать биномиальный закон распределения случайной величины X — числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты. Построить график функции распределения, найти EX , DX и вероятность P .X < 2/.

9.5. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения случайной величины X — числа выпадений четного числа очков на обеих игральных костях. Построить график функции распределения, найти EX , DX и вероятность P .X < 2/.

9.6. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобрано три детали. Составить закон распределения случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных. Построить график функции распределения, найти EX , DX и вероятность P .X 6 2/.

9.7. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0; 9. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины X — числа дополнительных во-

49

просов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти наивероятнейшее число k0 заданных студенту дополнительных вопросов.

9.8.Вероятность попадания баскетбольного мяча в кольцо при бросании начинающим спортсменом равна 1=4. Мяч бросают до первого попадания, но дают не более 2 попыток. Найти ряд распределения случайной величины X — числа промахов. Построить график функции распределения, найти EX

иDX .

9.9.По мишени одновременно стреляют 2 стрелка, вероятности попаданий которых равны соответственно 0; 3 и 0; 6. Найти ряд распределения случайной величины X — числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения, найти EX и DX .

9.10.Вероятность попадания в мишень равна 0; 6 при каждом выстреле. Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, пока не будет израсходован боезапас. Найти ряд распределения случайной величины X — числа произведенных выстрелов, если боезапас составляет 2 единицы. Построить график функции распределения, найти EX и DX .

9.11.Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключений с помощью модема равна 0; 3. Попытки подключения производятся до установления связи. Найти ряд распределения случайной величины X — числа произведенных попыток подключения, если число попыток ограничено двумя. Построить график функции распределения, найти EX и DX .

9.12.Имеется шесть ключей, из которых только один подходит к замку. Составить ряд распределения числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

9.13.В урне находятся шары, различимые только по цвету: 3 белых и 2 черных шара. По схеме случайного выбора без возвращения извлекаются 2 шара. Написать гипергеометрический закон распределения случайной величины X — числа вынутых черных шаров. Найти EX и DX .

9.14.В трех урнах находятся шары, различимые только по цвету. В первой урне 1 белый и 3 черных; во второй урне 2 белых и 2 черных, в третьей урне 2 белых и 3 черных. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару. Найти закон распределения случайной величины X — числа вынутых белых шаров. Найти вероятность P .X 6 1/.

9.15.В связке 7 ключей, из которых 2 подходят к замку. Последовательно перебирая ключи, пытаются открыть замок. Каждый ключ выбирается случайным образом и используется один раз. Найти закон распределения случайной величины X —числа попыток открыть замок и вероятность

50