Теоретические основы автоматизированного управления. Учебно-методическое пособие

Алгоритмы, использующие связи между измеряемыми величинами. Эти алгоритмы широко применяют для контроля достоверности исходной информации и диагностики частичных отказов ИИК. При этом связи могут быть функциональными (например, уравнения материального и энергетического баланса) или вероятностными. В последнем случае они описываются регрессионными уравнениями.

Рассмотрим общую методику контроля достоверности результатов измерения n величин, связанных m уравнениями вида

Будем считать, что заданы функции и дисперсии погрешностей измерения, которые являются случайными величинами с нормальным законом распределения и нулевым математическим ожиданием.

Уравнения (5.6) выполняются только при подстановке в них истинных значений измеряемых величин. Если же значения измеряемых величин известны с погрешностями , т. е.

= ,

то при их подстановке функции не равны нулю

где – погрешность выполнения j-го уравнения связи (5.6), вызванная погрешностями измерения.

Функции обычно являются непрерывными и дифференцируемыми по всем аргументам, поэтому их можно разложить в ряд Тейлора по степеням величин :

Поскольку при частичных отказах ИИК погрешности малы, можно не принимать во внимание нелинейные члены ряда (5.8), содержащие в качестве сомножителей величины высших порядков , где k = 2, 3, … . Тогда с учетом (5.6) и (5.8) получим

Подстановка уравнения (5.7) в (5.5) дает

где .

На практике расчет параметров проводят, используя не истинные, а измеренные значения , так что

является линеаризованной математической моделью объекта управления или некоторой его части. Она служит для расчета оценки погрешностей , которые используют при контроле достоверности исходной информации и диагностике частичных отказов ИИК.

Метод расчета погрешностей зависит от соотношения между числом измеряемых величин n и числом уравнений связи m.

При значения определяют одним из численных методов решения системы m линейных уравнений (5.12). При можно попытаться уменьшить число рассчитываемых оценок погрешностей с n до m. Для этого результаты измерений параметров следует

заранее рассматривать как достоверные. Если такое допущение правомерно, задача сводится к рассмотренному выше варианту.

В общем случае при оценки погрешностей определяют, решая оптимизационную задачу

при выполнении соотношений (5.8). Весовые коэффициенты , позволяющие учесть различие в классе точности, рассчитывают по формулам

где , – среднеквадратичная погрешность i-го измерительного прибора.

Для решения задачи нелинейного программирования (5.13) используют метод неопределенных множителей Лагранжа. Составляют функцию Лагранжа:

Искомые оценки погрешностей являются решениями системы линейных уравнений (5.16), (5.17).

Рассчитанные значения оценок погрешностей используют для коррекции результатов измерений:

Среднеквадратичная погрешность откорректированных значений измеренных величин меньше среднеквадратичной погрешности измерений ИИК, причем увеличение точности оценок тем значительнее, чем меньше разность .

Пример расчета

В АСУ ТП поступает информация с трех параллельно работающих агрегатов по трем информационно-измерительным каналам (ИИК). После объединения этих потоков в один общий, также измеряется суммарный расход. Поскольку суммарный расход является одним из основных отчетных параметров, то для его измерения используется расходомер более высокого класса точности. Исходные данные для алгоритма контроля достоверности исходной информации следующие:

1.Численные значения количества информации, поступающей

скаждого ИИК:

2. Допустимая погрешность выполнения уравнения связи

.

3.Допустимые погрешности работы ИИК:

4. Среднеквадратичные погрешности измерения:

Требуется:

1.Рассчитать оценки погрешностей работы ИИК и осуществить контроль достоверности исходной информации.

2.Осуществить диагностику частичных отказов ИИК.

Последовательность решения задачи:

1. Определяем погрешность выполнения уравнения связи между количествами информации, поступающими со всех четырех ИИК

2.Проверяем выполнение условия

Имеем

Следовательно, среди результатов измерения имеются недостоверные.

3. Запишем линеаризованную математическую модель процесса измерения в виде

для чего найдем численные значения коэффициентов

аналогично

.

Получаем:

4. Запишем систему уравнений (5.16), (5.17), для этого рассчитаем вначале весовые коэффициенты:

откуда

Запишем систему уравнений:

5. Решением системы уравнений будут следующие значения оценок погрешностей измерений:

6.Проверяем выполнение условия . Оно не выполняется только для параметра , из чего следует вывод о частичном отказе этого информационно-измерительного канала.

7.По формуле (5.18) рассчитываем откорректированные оценки значений измеряемых величин,

8. С учетом скорректированных значений , проверяем выполнение условия .

Имеем

Условие выполняется полностью.

Исходные данные для выполнения лабораторной работы приведены в таблице.

Содержание отчета

1.Блок-схема и программа контроля достоверности исходной информации.

2.Результаты расчета, диагностики и коррекции результатов измерений.

Лабораторная работа 2 Использование метода динамического программирования для решения задач оптимального автоматизированного управления производством

Цель работы:

1.Ознакомиться с методом динамического программирования, применяемым для решения задач управления химикотехнологическими процессами и комплексами.

2.Приобрести практические навыки использования метода для решения задач оптимального управления.

3.На основе расчетов, приведенных в методических указаниях разработать компьютерный вариант расчета оптимальных управляющих воздействий и нахождения оптимального состояния системы.

4.Предложить вариант технической реализации системы оптимального автоматизированного управления.

Формулировка задач динамического программирования и их математическая интерпретация

Динамическое программирование применяется для решения множества технических и экономических задач, в том числе и тех, которые допускают разделение их на естественные этапы или стадии. Вследствие этого появляется возможность проведения анализа полученных результатов по отдельным стадиям или этапам, что представляет большой интерес для решения задач управления производством.

Задачи, решаемые методом динамического программирования (д. п.), формируются следующим образом: имеется управляемая, производственно-экономическая система, задано ее начальное (конечное) состояние. Требуется определить значения факторов ее состояния, обеспечивающие получение максимума, (минимума) функции цели системы в целом.

Для осуществления этого необходимо провести следующие операции:

1.Разбить всю систему на их составные элементы-этапы.

2.Для каждого этапа установить переменные состояния.

3.Из факторов, характеризующих состояние этапа, выделить управления, т. е. те переменные, изменяя значения которых, можно воздействовать на состояние системы.

4.Определить зависимость функции цели от переменных состоя- ния-факторов каждого этапа.

Затем провести расчеты с последнего этапа, т. е. в направлении обратном ходу процесса. Результат работы последнего (первого) этапа – конечное (начальное) состояние обычно бывает задан. Однако это не обязательно.

Итак, рассмотрим подробнее процесс расчета оптимального управления с применением метода д. п. Последовательность вычисле-

ний зависит от того, какая величина – вход системы или ее выход– заданы заранее.

Если задан вход системы , задача решается следующим образом. Сначала, рассматривается два первых участка, функции цели для которых соответственно равны и .

Величину х1 определяют таким образом, чтобы при заданных х0 и х2 функция цели для первых двух участков была максимальной:

Отметим, что в выражении (5.19) – заданное число, в то время как – переменная величина, которая может принимать любые значения в области:

.

Одновременно определяется зависимость оптимального значения входной величины, первого участка от его выхода :

На следующем шаге оптимизации к первым двум участкам присоединяют третий и определяют х2 таким образом, чтобы функции цели для трех участков была максимальной. При этом первые два участка рассматривают как один, имеющий вход х0 и выход .