Теоретические основы автоматизированного управления. Учебно-методическое пособие

,

В результате определяют зависимость

Далее к трем участкам добавляют четвертый, пятый и т. д. Дойдя до последнего участка, находят функцию цели всей последовательной системы, зависящую от входа и выхода:

Затем следует последний шаг: определение , обеспечивающего максимум функции цели всей системы:

Далее переходят ко второму этапу оптимизации, на котором последовательно определяют оптимальные, потоки , и т.д.

…………

.

Второй этап процесса определения оптимальных связей для одномерного варианта может быть показан графически. Проведем построение для (рис. 5.2). Нанесем на график функции:

.

Масштаб по оси абсцисс и оси ординат должен, совпадать. Отложим величину на оси абсцисс и поставим перпендикуляр до пересечения с кривой к точке Аn.

Ординаты этой точки есть оптимальное значение величины . Отложим эту величину на оси абсцисс (проведем прямую под углом 45° через точки на оси ординат до пересечения с осью абсцисс) и

Если заранее задан не вход, а выход системы , то расчет на первом этапе производится в обратном порядке (от последнего звена к первому) по рекурентным формулам:

............................

,

,

,

динамического программирования (2-й этап)

На втором этапе оптимальные связи рассчитывают по формулам

,

…………

Как и ранее, оптимальные связи можно определить графическим способом. В том случае, когда на вход, на выход, не заданы, безразлично, с конца или начала технологической цепочки начинать расчет. Однако при этом вход системы (1,2,3) или ее выход (10) являются функциями, а не заданными числами. Это вдвое увеличивает размерность задачи, которую надо решать на каждом этапе оптимизации.

Пример расчета

Рассчитать оптимальные технико-экономические показатели работы производства: производительность; расход материала (сырья); коэффициенты эффективности; затраты на производство при условии выполнения плана по готовому продукту в 3,1 т/ч. В состав производства входит 2 участка: участок 1 и участок 2. В качестве критерия оптимальности приняты минимальные затраты на производство. Связь между участками производства 1 и 2 осуществляется технологически следующим образом (рис. 5.3).

Обозначим подачу сырья на первый участок Р0 , коэффициент интенсивности K1, количество целевого продукта 1-го участка – Р1 коэффициент интенсивности (степень превращения сырья) 2-го участка К2, количество готового продукта, вырабатываемого 2-м участком Р2.

P0

K1

Участок 1

P1 продукт со стороны

P1л

K2

Участок 2

P2

Рис. 5.3. Схема производства

Второй участок потребляет полуфабрикат, в состав которого входят два продукта: с первого участка и со стороны.

Процентное соотношение их 70:30. В соответствии с этим подачу сырья на 2-й участок обозначим Р1л, причем между производительностью 1-го участка и подачей сырья на 2-й участок имеет место зависимость

или

Затраты, производимые на 1-м участке, будут , а на 2-м участке – соответственно . Общие затраты на все производство:

Производительность каждого участка представляет собой произведение подачи сырья на коэффициент выхода (коэффициент интенсивности) целевого продукта. Таким образом, в соответствии с принятыми обозначениями составим уравнение производительности для 1- го и 2-го участков:

Для того чтобы подготовить задачу к решению методом динамического программирования для каждого участка (в дальнейшем участок будем называть в соответствии с установленной терминологией метода – этапом) установим управляемые переменные и факторы управления. Для рассматриваемой задачи управляемыми переменными будут являться подача сырья , факторами управления будут служить коэффициенты интенсивности и . По данным технологического регламента, производственного процесса 1-го участка подача сырья может изменяться от 3,4 до 4,22 т/ч; коэффициент интенсивности варьируется при этом от 0,912 до 0,961. На основании статистических данных выведена, зависимость затрат от подачи сырья на коэффициент интенсивности следующего вида:

На втором участке производства подача, сырья изменяется от 4,4 до 5,9 т/ч, коэффициент интенсивности при этом имеет пределы 0,55 и 0,66. Затраты на производство определяются на основании следующей зависимости:

Решение

Будем следовать рассматриваемой методике применения динамического программирования. Рассмотрим последний этап или участок 2.

По условию подачи для 2 этапа известно его выходное состояние, или производительность, заданная планом -3,1 т/ч. Известны также область изменения от 4,4 до 5,9 т/ч и управления от 0,55 до 0,66. При одной и той же подаче сырья можно работать на разных режимах и соответственно иметь различные коэффициенты интенсивности .

Однако, для участка 2 продукции всего производства – 3,1 т/ч. Планируемый выпуск продукции может быть получен при различных наборах значений подач, и управлений (коэффициента интенсивности) . Примем интервал изменения подачи равный 0,2 т/ч. Таким образом, при производительности 3,1 т/ч получим в заданных пределах следующие наборы (табл. 5.1).

Графически указанные наборы можно представить следующим образом (рис. 5.4). Из области можем перейти в область (в задаче она задана точкой 3,1 т/ч) по траекториям:

K21

K22

K23

K24 3,1

K25

K26

Рис. 5.4. Наборы подач и управлений

Для каждого набора и рассчитываем производственные затраты, подставив соответствующие значения переменных в формулу затрат . Получим следующие значения (табл. 5.2).

Поскольку нас интересуют при решении наименьшие затраты выберем из всех наборов тот, который их обеспечивает. Таким образом для 2-го этапа является шестой набор. Он характеризуется подачей сырья В 4,7 т/ч и управлением (коэффициентом интенсивности) = 0,66. Так как конечное состояние в данном случае задано точкой (выпуск готовой продукции должен быть равен 3,1 т/ч), все полученные наборы представляют собой совокупности условно опти-

мальных значений , и .

Перейдем затем к следующему этапу, первому от начала (участок 1), Для него мы по условию имеем заданные значения изменения области состояния от 3,4 до 4,22 т/ч и управления от 0,912 до 0,961. Рассчитаем в соответствии с полученными значениями подачи сырья на 2-й участок область изменения производительности первого участка.

Таблица 5.3

Для каждого значения производительности ( ), учитывая область изменения управления и подачи сырья на 1-й участок, составим наборы (табл. 5.4).

Таким образом, мы получили 6 наборов, которые характеризуются различными подачами сырья на 1-й участок и коэффициентами интенсивности . Далее определяем для каждого набора производственные затраты . Они будут соответственно равны (табл. 5.5).

Найдем наименьшие значения из всех наборов. Таким наименьшим значением является = 52,20 руб., что соответствует производительности 1-го участка – 3,9 т/ч при подаче сырья – 4,06 т/ч и коэффициенты интенсивности −0,96. Выбранные техникоэкономические показатели представляют собой значение оптимума, установленные отдельно для первого этапа. Однако нас интересуют не оптимумы отдельных этапов, а общий оптимум, т. е. минимум затрат всего производства в целом. Так общий оптимум обладает свойством аддитивности (суммирования)

,

то мы можем рассчитать общие затраты для всех составленных наборов. Составим для всех значений табл. 5.5, в которой укажем соответственно сумму затрат по двум этапам. Используя данные таблицы 2 по затратам , для 2-го участка и табл. 5.4 по затратам для 1-го участка произведем расчеты.

Так, например, общие затраты на производство составляют при подаче сырья на 1-й участок в размере 3,44 т/ч – 88,41 руб. при 3,53 т/ч – 93,32 руб. и при 3,62 т/ч – 121,17 и т. д.

Для этого затраты на производство 2-го участка (табл. 5.2) в 24,70 тыс. руб. суммируем с затратами из табл. 5.4. Соответственно при подаче сырья на 1-й участок в 3,44 т/ч получаем 24,70 тыс. руб. + 63,71 тыс. руб. = 88641 тыс. руб.; в 3,53 т/ч – 24,70 тыс. руб. +