Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая аэрогидромеханика. Практикум. В 2 частях. Ч.2. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ф и з и ч е с к и й ф а к у л ь т е т

А. С. Верещагин, А. В. Мишин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ АЭРОГИДРОМЕХАНИКА ПРАКТИКУМ

ЧАСТЬ 2

Учебное-методическое пособие

Новосибирск

2022

УДК 532.5-1/-94; 533.6.011

ББК В253

В31

Рецензент акад. РАН, проф. В. М. Фомин

Верещагин, А. С.

В31 Теоретическая аэрогидромеханика: Практикум: в 2 ч.: учебно-

методическое пособие / А. С. Верещагин, А. В. Мишин; Новосиб. гос. ун-т. – Новоси-бирск : ИПЦ НГУ, 2022. – Ч. 2. – 48 с.

ISBN 978-5-4437-1371-7

ISBN 978-5-4437-1374-8 (ч. 2)

Пособие представляет собой дополнение ко второй части спецкурса «Теоретическая аэрогидромеханика», посвященного введению в механику сплошных сред, которое включает в себя классические темы течения идеального газа, а также идеальной и вязкой жидкости. Спецкурс создан и читается для студентов физического факультета Новосибирского государственного университета, пособие содержит вопросы и задачи для самостоятельного решения и краткие рекомендации.

Предназначено для студентов математических, физических, естественнонаучных факультетов университетов, инженерно-физических и других специальностей вузов, требующих знание базовых понятий разделов аэро- и гидродинамики, и может быть использовано при подготовке к кандидатскому экзамену по специальности «Механика жидкости, газа и плазмы».

УДК 532.5-1/-94; 533.6.011

ББК В253

ISBN 978-5-4437-1371-7	© Новосибирский государственный
ISBN 978-5-4437-1374-8 (ч. 2)	университет, 2022

Оглавление

1. Плоские потенциальные течения идеальной жид-
кости и комплексные потенциалы		5
1.1.	Построение комплексного потенциала плоского
	потенциального течения идеальной жидкости .	5
1.2.	Построение потенциалов сложных течений . . .	11

1.3.Вычисление реакций и моментов сил, действующих на тело, при плоском потенциальном обте-

		кании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
	1.4.	Задачи для самостоятельного решения . . . . . .	13
2.	Трехмерные осесимметричные течения		16
	2.1. Определения и постановка задачи для осесиммет-
		ричных течений идеальной жидкости . . . . . .	16
	2.2.	Задачи для самостоятельного решения . . . . . .	20
3.	Динамика вязкой жидкости		22
	3.1. Реологическое уравнение состояния вязкой жид-
		кости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
	3.2.	Основные уравнения вязкой жидкости . . . . . .	23
	3.3. Постановка граничных условий в контактных за-
		дачах вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . .	25
	3.4. Коэффициенты подобия при течениях вязкой несжи-
		маемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
	3.5.	Приближение Стокса и ползущие течения . . . .	27
	3.6.	Задачи для самостоятельного решения . . . . . .	28
4.	Π-теорема		30
	4.1.	Определения и примеры . . . . . . . . . . . . .	30
	4.2.	Задачи для самостоятельного решения . . . . . .	35
5. Одномерные изоэнтропические течения идеально-
	го газа		37

5.1.	Системы квазилинейных уравнений, характери-
	стики и инварианты Римана . . . . . . . . . . .	37
5.2.	Характеристический вид уравнений газовой ди-
	намики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39

5.3.Одномерные изоэнтропические течения газовой динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4.Точные решения одномерной изоэнтропической

газодинамики для политропного газа . . . . . .	41
5.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . .	45

1.Плоские потенциальные течения идеальной жидкости и комплексные потенциалы

1.1.Построение комплексного потенциала плоского потенциального течения идеальной жидкости

Если возможно ввести систему координат так, что течение идеальной жидкости ( = const) будет описываться уравнения-

ми:

@vx

@vy

= 0;

(1)

@vx

+ vx

@vx

+ vy

@vx

1 @p

;

(2)

@vy

1 @p

(3)

+ vx

+ vy

;

где vx = vx(t;x;y), vy = vy(t;x;y), p = p(t;x;y) – функции, задан-

ные в некоторой исследуемой области, то говорят, что движение идеальной жидкости плоскопараллельное.

Определение 1. Функция			=	(x;y) такая, что
vx =	@		;	vy =	@	;

		@y			@x

называется функцией тока. Если течение нестационарное, то t – дополнительный параметр.

Для функции

(x;y) уравнение неразрывности (1)

= 0

выполняется тождественно.

Рассмотрим уравнения линий тока:

;

vx(x;y)

vy(x;y)

тогда

0 = vydx + vxdy =

dx +

dy = d :

Таким образом,

(x;y) сохраняет одно и то же значение на

линиях тока.

Вектор вихря Ω = rot ~v задается формулами:

@vz

@vy

@vx

@vz

Ωx =

= 0; Ωy =

= 0;

@vy

@vx

Ωz =

@x2

@y2

В случае безвихревого течения (Ω = 0):

∆

= 0:

@x2

@y2

Если плоское течение идеальной жидкости потенциально,

тогда существует функция '(x;y) такая, что

vx =

;

vy =

;

при этом

(4)

;

Иначе,

@' @

= 0:

@y @y

@x @x

Отсюда следует, что линии ' = const и = const ортогональны. Такие ' и называются сопряженными.

Функции ' и связаны между собой условием Коши – Римана (4), поэтому функция комплексного переменного w(z) =

'(x;y) + i (x;y) является аналитической функцией комплекс-

ного аргумента z = x + iy:
w(z) = f(x + iy) = '(x;y) + i (x;y):	(5)

Определение 2. Функция w(z) (5) называется комплексным потенциалом плоскопараллельного потенциального течения идеальной жидкости.

Определение 3. Комплексная функция v(z), определенная по формуле

v(z) = vx(x;y) + ivy(x;y);

называется комплексной скоростью (рис. 1).

Так как w(z) – аналитическая функция, то существует dw/dz:

dw	=	@'	+	@		i =	@'			@'	i = vx ivy = v :
dz		@x			@x			@x		@y

Связь плоской потенциальной гидродинамической задачи с

теорией функций комплексного переменного (ТФКП) заключается в том, что соотношение

w(z) = f(x + iy) = '(x;y) + i (x;y)

связывает аналитическую функцию w(z) с определенной кинематической картиной течения и полем (vx, vy) с помощью аппарата ТФКП и наоборот.

Рассмотрим простейшие примеры.

Im z vy v

-vy

Рис. 1. Определение комплексной скорости и ее комплексносопряженной величины

1. Однородное поступательное течение. Комплексный по-

тенциал:

w(z) = az; a 2 R:

Комплексная скорость:

dz = a = vx ivy ) vx = a; vy = 0:

Линии тока этого течения (при a > 0) изображены на рис. 2.

2. Источник и сток. Комплексный потенциал:

w(z) = 2 ln(z z0); q 2 R; z0 2 C:

Пусть z = x + iy = reiθ, тогда комплексная скорость (при

z0 = 0) имеет вид:
	dw	=	q 1	)	8 vx =

	dz		2 z
	dz		2 z		< vy =
					:

q	x	=	q	cos ;
2 x2	+ y2		2 r

q	y	=	q	sin :
2 x2 + y2			2 r

3	2	1	0	1	2	3
			Re

Рис. 2. Линии тока однородного поступательного движения при a > 0

	3
	2
	1
Im	0
	1
	2
	3	2	1
	3	2	1	0	1	2	3
				Re
				а

	3
	2
	1
Im	0
	1
	2
	3	2	1
	3	2	1	0	1	2	3
				Re
				б

Рис. 3. Линии тока источника (q > 0) (a) и стока (q < 0) (б)

	3								3
	2								2
	1								1
Im	0							Im	0
	1								1
	2								2
	3	2	1						3	2	1
	3	2	1	0	1	2	3		3	2	1	0	1	2	3
				Re								Re
				а								б
Рис. 4. Линии тока вихря, вращающегося в положитель-
ном (Γ > 0) (a) и отрицательном (Γ < 0) (б) направлениях
	Линии тока этого течения изображены на рис. 3.

3. Вихрь. Комплексный потенциал:

	Γ	2 C:
w(z) =	2 i ln(z z0); Γ 2 R; z0	2 C:

Пусть z = x + iy = reiθ, тогда комплексная скорость (при

z0 = 0):

Γ 1

= 2 r sin ;

8 vx = 2 x2

+ y2

) > vy = Γ

Γ cos :

2 i z

2 x

+ y

2 r

Линии тока этого течения изображены на рис. 4.

4. Диполь. Комплексный потенциал:

	Deiα
w(z) =	2 z ; D; 2 R:

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]