Творческие задачи динамики. Учебное пособие

∑m0 (

FK )= 0;

M − M ин − F инR − F R = 0;

0

тр

M ин = I

m R2

а

; F ин = m а;

ε;

I

0

=

1

; ε =

F = P f ;

0 0

2

R

2

тр 2

m Rgf

2M

M −m gfR

m

M +

1

m

+ m gf

R

x = F ин + F = m

2

2

2

1

2

+ gf =

=

.

m R

m R

0

тр

2

m +2m

1

+m2 R

1

+m2 R

1

2

2

2

2M

m

+ m gf

Ответ:

x0 =

2

R

1

.

m1 + 2m2

O

C

жёсткостью с. Система находится в

горизонтальной

плоскости,

длина

A

недеформированной

пружины l,

трение не учитывается. Диск враща-

ется с некоторой постоянной угло-

вой скоростью ω вокруг оси О.

Найти зависимость х = f(ω), где x = OA = OB = OC.

Решение:

Согласно принципа Даламбера,

на каждую материальную точку дей-

B

ствуют в горизонтальной плоскости

силы инерции и упругости пружин:

F ин = 2F

cos 30°;

F ин = mω2 x;

упр

Fупр

ω

Fупр = cλ;

λ = AB −l; AB = x

3.

60°

O

C

mω2 x = c 3(x 3 −l).

cl 3

A

Fупр

x =

.

3c −mω2

Fин

Задача

имеет

смысл

при

Ответ: x =

cl 3

.

3c − mω2

+

+

eин +

инk .

(2)

ma

r = mg

N

F

F

Спроектируем (2) на нормаль и

ω

учтём, что в момент отрыва N = 0:

mV 2

Примечание: показаны силы,

r

= mg cos α − mω2 Rsin2 α.

(3)

расположенные в плоскости рисунка.

R

Iω2

+

mV 2

−

Iω02

= mgh;

2

2

2

h = R − R cos α;

(4)

V 2 =Vr2 +ω2 R2 sin 2 α.

MR(ω2

−ω2 ) + 2mg

cos α =

0

.

(5)

3mg

Формулы (1) и (5) можно принять за ответ.

Ответ: ω=

Mω0

, cos α =

MR(ω02

−ω2 ) + 2mg

.

M + msin2 α

3mg

B

Задача Д3-95 (6 баллов).

Два однородных стержня АВ

в точке В, падают в верти-

кальной плоскости из указан-

ного на рисунке положения.

Найти

угловые

скорости

A

D

стержней в тот момент, когда

точка В коснётся горизон-

тальной

плоскости.

Принять

АВ = l, BD = 2l; α = 90°; mAB = m, mBD = 2m; VА0 =VD0 = 0 ; трения нет.

Решение:

что при aСx

= 0 точ-

По теореме о движении центра масс следует,

V

B

= ω l

= ω

2l; ω = 2ω

;

V

= ω

l

, V = ω l;

1

2

1

2

C

1

2

C

2

2

1

B

α

C1

C0

C2

P1

P2

A

C'

D

x

ω1

ω2

A

C1

B

C''

C2

D

5

mR2

ω+ m

R2ω

−mU

R

= 0;

4

2

3

4

R

ωR2 =U

;

2

2

3ωR =U;

x

Задача Д1-96 (4 балла). Два груза D и E с

одинаковой массой m удерживаются в положении

E

равновесия пружиной жёсткостью с, нижний ко-

D

нец которой закреплён неподвижно, и верхний

прикреплён к грузу D. Груз Е свободно лежит на

грузе D. Грузы отклонили из положения равнове-

сия вниз на некоторую величину λ и отпустили

без начальной скорости. Чему должно быть равно

максимальное значение λ, чтобы при движении

системы груз Е не отрывался от груза D? Найти

также закон колебаний грузов x = f (t) (относи-

тельно положения равновесия).

mDE x = −PDE + F, F = c(λDE − х);

&&

&&

+k

2

x =

0, k

2

c

= 2m ;

x

t = 0,

x0

= −λ, x = 0;

&

1) Абсолютная скорость точки А

VA =Ve +Vr .

(1)

Спроектируем (1) на AO1 :

VA cos(VA , AO1 )=Ve cos(Ve ,

AO1 ).

В конечный момент времени VA =Ve .

mR2ω2

2

2

+ MV

= mgR

−cos ϕ .

(2)

3

2

При ϕ =

π

V =V

A

= ωR =V ;

3

e

V =

3mgR (

2 −1)

; ω=

3mg ( 2 −1)

.

2(m +3M )

2R (m +3M )

3) Продифференцируем (2) по t:

mR

2

2ωε + 2MVa = mgRsin ϕ ω;

3

при ϕ = π/ 3

Rω=V ;

2mRε

+2Ma = mg

3

.

(3)

2

3

4) Из рисунка

sin ϕ).

xO1

= 2R sin ϕ,

&&

2

xO1 = a = 2R (εcos ϕ−ω

При

a = R (ε−ω2 3 ).

ϕ = π/ 3

(4)

Решая систему уравнений (3)–(4), имеем

a =

m 3 (3g −4Rω2 )

4

(m +3M )

или

3mg (m (3 −2 2 )+3M ) 3

a =

.

4

(m +3M )2

5) Уравнение движения полуцилиндра:

N| cos30° = Ma;

N =

3mMg (m (3 −2 2 )+3M )

.

2

(m +3M )2

Ответ: N =

3mMg (m (3 − 2

2 )+3M )

.

2

(m +3M )2

у

Задача Д3-96 (8 баллов). Одно-

O

A

x

родный стержень ОА длиной l шар-

нирно соединён в точке О с ползу-

ϕ

ном, который может двигаться вдоль

горизонтальной оси ОХ. Масса каж-

дого тела m. Стержень из горизон-

тального состояния покоя под дей-

ствием силы тяжести начинает

падать, приводя в движение и пол-

зун. Определить угловую скорость

стержня в тот момент, когда он зай-

mVC2

IC

2

ω2

mV 2

T =

2

+

+

0

;

2

2

2

r

,

V

=V

− ωl

;

V

=V

+V

C2

0

С2

C2

0

2

A = mg

l

;

IC2

=

ml

2

;

2

12

6V

2

−3ωlV

+l 2

ω2

= 3gl.

(1)

0

0