Сумма значений вектора глобальных приоритетов для альтернатив долж-

на равняться 1:

w1 + w2 + w3 + w4 = 0,236 + 0,151 + 0,175 + 0,439 = 1,000.

Наилучшим вариантом является альтернатива, которая имеет максималь-

ное значение в векторе глобальных приоритетов, т.е. max{0,236; 0,151; 0,175; 0,439} = 0,439, что соответствует HP 15-ra069ur.

5.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА С НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЯМИ

Принимающий решение должен выбрать одну из нескольких альтернатив

(способов действий) а1, а2, ..., аn, каждая из которых приведёт к некоторому результату. Оценка предпочтительности возможных результатов осуществляет-

ся с помощью только одного критерия R. Лицо, принимающее решение, не зна-

ет, к какому именно результату приведёт любая из выбранных альтернатив,

но для каждого способа действий он в состоянии установить вероятности полу-

чения различных исходов. В этом случае необходимо решить одномерную

задачу с неопределённостями.

Постановка задачи будет следующей. Пусть имеется m возможных последствий, которые могут быть упорядочены по их предпочтительности

(например, х1 менее предпочтительно, по сравнению с х2, и т.д. до хn). Пусть

Необходимо выбрать наиболее предпочтительное решение среди А и В.

Рассмотрим пример 1. Необходимо спроектировать технологическую ли-

нию, дающую максимальную прибыль за весь срок её эксплуатации (10 лет).

При этом характеристики экономической обстановки, в которой линия будет работать, заранее точно не известны. Эти характеристики: цены на сырьё; цены на готовую продукцию; потребность в готовой продукции и т.д.

31

В этом случае различные принятые решения (например, строить линию большой или малой производительности) будут иметь неопределённые послед-

ствия, для которых могут быть установлены лишь их вероятности.

Пусть решение А – строить линию малой производительности – имеет следующие последствия и их вероятности:

последствие х1: прибыль 100 000 р. с вероятностью p1A = 0,5;

Построим функции F распределения вероятностей для решений А и В

(рис. 5.5).

Рис. 5.5. Пример 1. Функции распределения вероятностей. По оси ординат отложена ве-

роятность принять значение, меньшее или равное х

32

Из графиков рис. 5.5 видно, что решение В предпочтительнее, чем А.

В таких случаях говорят, что решение В доминирует по вероятности над реше-

нием А.

Однако не всегда ситуация столь проста.

Рассмотрим пример 2. Пусть решение А имеет те же вероятности, что и в предыдущем примере, а решение В – строить линию большой производитель-

ности – теперь имеет следующие последствия и их вероятности:

последствие х1: прибыль 100 000 р. с вероятностью p1B = 0,6;

последствие х2: прибыль 200 000 р. с вероятностью p2B = 0,3;

последствие х3: прибыль 500 000 р. с вероятностью p3B = 0,25;

последствие х4: прибыль 600 000 р. с вероятностью p4B = 0,05.

Построим новую функции F распределения вероятностей для решений А

иВ (рис. 5.6).

Впримере 2 функции FA и FB пересекаются (причём пересечений может быть несколько) и не дают непосредственно выбрать решение А или В.

Для решения поставленной задачи используют теорию полезности, осно-

ву которой составляет построение функции полезности и поиск решения, мак-

симизирующего функцию полезности. Функция полезности строится эвристи-

ческими методами на основании опыта проектировщика с использованием тео-

рии вероятности; понятий решений, связанных с риском и т.д.; её построение является трудноформализуемой задачей.

Рис. 5.6. Пример 2. Функции распределения вероятностей

33

Таким образом, субъективность полученного решения в данном случае присутствует в формировании функции полезности лицом, принимающем ре-

шение.

Прямое установление полезностей исходов. Обозначим возможные по-

следствия альтернатив, в данном случае выступающих в качестве случайных исходов выбранной лотереи, через х1, х2, ..., xn. Для установления начала отсчёта и единицы измерений мы можем произвольно назначить полезности любых двух исходов и затем для остальных исходов определить их полезность относи-

тельно этих двух. Этот метод проиллюстрируем, обозначив через х° и х* один

из наименее предпочтительных и один из наиболее предпочтительных исходов.

В связи с тем, что может быть более одного исхода с одним и тем же уровнем предпочтительности, и использованы выражения «один из наименее предпоч-

тительных» вместо «наименее предпочтительный» и «один из наиболее пред-

почтительных» вместо «наиболее предпочтительный».

Далее, для установления единиц измерений шкалы, положим u(х*) = 1 и u(х° ) =0, и выберем для всех остальных исходов х вероятность π такую, чтобы х

был равнозначен лотерее <x*, π, x° >, дающей π шансов за исход х* и 1 – π – за исход х° . Тогда, поскольку полезность х должна быть равна ожидаемой по-

лезности лотереи, мы полагаем:

π(x) = πu(x*) + (1- π)u(x° ) = π.

Получив значения полезности всех исходов х, можно провести проверку их согласованности. Например, пусть х', х" и х"' – последовательность исходов,

возрастающих по предпочтительности, и пусть получение х" наверняка эквива-

лентно участию в лотерее <х"', р, х' >. Тогда для согласованности необходимо,

чтобы число р было таким, что:

u(x′′) = pu(x′′′) + (1 − p)u(x′),

или

p = u(x'')-u(x') . u(x''')-u(x')

34

Метод прямого установления полезности исходов может быть применён к задачам, в которых возможных исходов немного, скажем, не больше, чем 50.

В задачах с большим числом исходов при наличии естественного упорядочения исходов х лучше использовать другой подход. Соответствующий метод вклю-

чает в себя установление полезности для нескольких исходов, как это указывалось выше, и подбор описывающих их кривой, т.е. функции полезности.

Рассмотрим качественные характеристики функций полезности.

Монотонность. Если исходы характеризуются в деньгах, то большинст-

во лиц, принимающих решения, предпочитают бó льшую сумму меньшей.

В этом случае, когда u представляет собой функцию полезности для денежных оценок X, в силу своего построения функция полезности должна удовлетворять условию:

[xl > x2] «= =» [u(xl) > u(x2)].

Детерминированный эквивалент и стратегическая эквивалентность.

Понятие детерминированного эквивалента является одним из основных в тео-

рии полезности.

Пусть L – лотерея, приводящая к выигрышам (исходам) х1, х2, ..., хn с ве-

роятностями р1, p2, ..., рn, соответственно. Обозначим неопределённый выиг-

i=1

иявляется показателем, который при выборе лотерей следует максимизировать.

Определение. Детерминированным эквивалентом лотереи L называется

величина xˆ , такая, что лицо, принимающее решение, безразлично в выборе

между участием в лотерее L и получением величины xˆ наверняка. Следова-

тельно, xˆ определяется равенством:

35

Для монотонной функции полезности детерминированный эквивалент

любой лотереи определяется единственным образом.

Определение. Две функции полезности u1 и u2 стратегически эквивалент-

ны (это записывается так: u1 ~ u2) тогда и только тогда, когда они одинаково

упорядочивают по предпочтительности любые две лотереи.

Из этого определения следует, что если u1 ~ u2, то детерминированные эк-

виваленты для любой лотереи, определённые функциями u1 и u2, одинаковы.

Определение. Лицо, принимающее решение, не склонно к риску, если оно предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой невырожден-

ной лотерее вместо участия в этой лотерее.

В такой ситуации полезность ожидаемого выигрыша любой лотереи

должна быть больше ожидаемой полезности этой лотереи.

Таким образом, лицо, принимающее решение, не склонно к риску, если

для любой невырожденной лотереи

Предположим, что лицо, принимающее решение, не хочет вести себя кон-

сервативно и предпочитает участие в любой лотерее получению наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи, т.е. оно охотно идет на риск, связанный с любой лотереей. Такой тип поведения называется склонностью к риску.

Определение. Лицо, принимающее решение, склонно к риску, если оно предпочитает участие в любой невырожденной лотерее получению наверняка

ожидаемого выигрыша этой лотереи.

Для такого индивидуума полезность ожидаемого выигрыша должна быть

меньше, чем ожидаемая полезность лотереи, т.е.

~ < ~ u[E(x )] E[u(x )].

Процедура построения функций полезности. Не существует единого свода правил, который обязательно приводил бы к построению функций полез-

ности. В настоящее время разработаны не только различные методы построе-

ния функций полезности, но и много разновидностей каждого из них.

36

Рассмотрим один из возможных алгоритмов построения функций полез-

ности.

Алгоритм включает следующие пять этапов:

1)подготовка к построению функции полезности;

2)идентификация подходящих качественных характеристик;

3)установление количественных ограничений;

4)подбор функции полезности;

5)проверка согласованности.

Рассмотрим эти этапы подробнее.

Этап 1. Подготовка к построению функции полезности. Пусть X – не-

которая оценочная функция, которая каждому исходу Q ставит в соответствие действительное число x = X(Q). Необходимо установить ориентацию шкалы:

пусть бόльшие числа х являются более желательными. Здесь же выявляется,

будут ли предпочтения возрастающими по х до некоторого значения, а затем убывают?

В некоторых случаях критерий X может быть совершенно естественным и шкала х может быть задана в физических единицах типа прибыль, р./год; доля рынка, %; спасённых жизней, кол.; затраченного времени, ч. В других случаях значения на шкале х могут представлять такие субъективные оценки, как пока-

затель (индекс) комфорта, эстетичности и функциональности.

Не важно, каким образом получены значения х. Важно лишь, предпочти-

телен ли исход х1 исходу х2.

Затем необходимо ограничить область, на которой выявляются предпоч-

тения, до наименее возможных размеров. Исходя из структуры задачи, лицо,

принимающее решение, обычно в состоянии ограничить возможные значения х.

Затем выбираются значения х° и х* так, чтобы любое возможное значение х бы-

ло ограничено величиной х° снизу и х* сверху:

х° ≤ х ≤ х*.

Этап 2. Идентификация подходящих качественных характеристик.

Прежде всего определяется, монотонна или немонотонна функция полезности.

37

Используя рисунок 5.7, лицо, принимающее решение, должно ответить на вопрос: какое значение предпочтительнее, S или Q? Пусть Q предпочтительнее.

Тогда лицо, принимающее решение, должно ответить на вопрос: предпочти-

тельнее ли Т, чем R ? Предположим опять, что да. Таких вопросов может быть и больше, но в заключение лицо, принимающее решение, должно ответить на во-

прос: если хк > хj, всегда ли хк, предпочтительнее xj? Из предыдущих ответов можно ожидать положительный ответ, из которого следует, что х(•) монотонно возрастает по х. Если это не согласуется с пониманием исходов аналитической группой, мы могли бы изложить наши соображения принимающему решение, и

ещё раз проверить его предпочтения. Цель этого – обучить лицо, принимающее решение (а не внушить ему свои убеждения) и, если удастся, заставить обосно-

вать свои предпочтения.

Затем следует выяснить, отражает ли u склонность, безразличие или несклонность к риску. Сначала мы выясняем у лица, принимающего решение,

предпочитает ли он <x + h, х – h > или же х при произвольно выбранных х и h.

Если он предпочитает лотерею, то у нас есть основания считать, что он может быть склонным к риску, если он предпочитает ожидаемый выигрыш х, мы по-

лагаем, что он не склонен к риску. Этот же вопрос можно повторить, варьируя значения каждой из переменных х или h, оставляя каждый раз в процессе таких вариаций одну из этих величин неизменной. Если лотереи были выбраны так,

что вся область возможных исходов оказалась покрытой, и если всегда предпо-

читался ожидаемый выигрыш, разумно принять, что принимающий решение не склонен к риску. Если же в подобных условиях всегда предпочиталась лотерея,

то он склонен к риску. И, конечно, безразличие к любому выбору между лоте-

реей и её ожидаемым выигрышем указывает на безразличие к риску.

Рис. 5.7. Пространство оценок в случае одного критерия

38

Теперь полезно установить, связана ли u с возрастающей, убывающей или постоянной несклонностью к риску. Один из методов решения этого вопроса предусматривает определение детерминированного эквивалента х такого, что-

бы принимающий решение был безразличен к выбору между xˆ1 и <х0, х2>.

После идентификации качественных характеристик нужно найти количе-

ственные оценки полезности для нескольких точек шкалы X. Затем аналитик может провести через них «гладкую» функцию полезности, имеющую установ-

ленные качественные характеристики, или наметить подходящее значение па-

раметра для выбранного семейства функций полезности, обладающего качест-

венными особенностями, о которых уже получены сведения от лица, прини-

мающего решение. Рассмотрим эти количественные построения.

Этап 3. Конкретизация количественных ограничений. Третий этап построения функции полезности заключается во введении определённых коли-

чественных ограничений, т.е. установлении значений полезности для несколь-

ких конкретных точек. Обычно это связано с нахождением детерминированно-

го эквивалента для нескольких лотерей 50–50. Обращаясь к рисунку 5.8 для по-

яснения смысла выигрышей ха, хb и т.д., предположим, что мы собираемся оп-

ределить детерминированный эквивалент лотереи <х', х">.

Лицо, принимающее решение, должно ответить на вопрос: предпочитает он <х', х"> или же ха? Выберем выигрыш ха так, чтобы можно было получить вполне определённый ответ. Пусть лицо, принимающее решение, предпочитает лотерею, а не ха, а это соответствует предположениям аналитической группы.

Тогда лицо, принимающее решение, должно ответить на вопрос: что предпоч-

тительнее < х', х"> или хb, где хb выбрано так, что разумно ожидать выбор хb.

Пусть предположения аналитической группы оказались верными. Далее следу-

ет выяснить, как соотносятся по предпочтительности <х', х"> и хс. Поскольку хс

Рис. 5.8. Метод «схождения» для определения детерминированного эквивалента

39

«близок» к ха, аналитическая группа ожидает, что лотерея будет предпочти-

тельнее, но, возможно, и нет. Продолжаем эту процедуру «схождения» до тех пор, пока достигнем такого xˆ , что xˆ и < х', х" > для лица, принимающего ре-

шение, одинаково желательны (или нежелательны). Если лицо, принимающее решение, указывает некоторые предпочтения, а аналитической группе кажется,

что они не представляют его «истинных» предпочтений, то принимающему решение надо об этом сказать и вновь вернуться к обсуждению. При условии,

что оценки корректны в том смысле, что лицо, принимающее решение, дейст-

вительно безразлично к выбору между xˆ и < х', х" >, то xˆ является детермини-

рованным эквивалентом этой лотереи. Полезность xˆ должна быть равна ожи-

даемой полезности лотереи < х', х" >. Более точно будет:

u( xˆ ) = 0,5u(х') + 0,5u(х").

Пользуясь этой процедурой, мы можем определить детерминированные эквиваленты для некоторых лотерей, что поможет построить функцию полез-

ности лица, принимающего решение. Предположим, в частности, что нас инте-

ресует функция полезности u(•) для всех х, таких, что x0 ≤ х ≤ x1. Разумным пер-

вым шагом будет определение детерминированного эквивалента x0,5 лотереи

<x0,5, х0>, которые обозначим через x0,75 и x0,25 соответственно. Очевидно, что

40

u(x0,25) = 0,25. (5.15)

Равенства (5.11) – (5.15) устанавливают, как показано на рис. 5.9, пять то-

чек для функции полезности по X. Через эти точки, используя установленные

качественные характеристики, можно провести кривую функции полезности.

Если u – возрастающая функция, отражающая несклонность к риску,

то детерминированные эквиваленты x0,25, x0,5 и x0,75 будут меньше ожидаемых выигрышей в соответствующих лотереях. Напротив, при склонности к риску эти детерминированные эквиваленты должны быть больше ожидаемых выиг-

рышей. Для монотонно убывающих функций верно обратное.

Этап 4. Подбор функции полезности. После того, как определены характерные качественные и количественные свойства функции полезности,

выясняется их согласованность. То есть, существует ли функция полезности,

обладающая одновременно каждым из них? Если такая функция существует,

то насколько ограничительно требование наличия этих свойств и как подобрать подходящую функцию полезности? Если же такой функции не существует,

то как получить согласованную совокупность свойств?

Один из способов ответа на эти вопросы предполагает вначале отыскание параметрического семейства функций полезности, которые обладают нужными свойствами (такими, как несклонность к риску), ранее установленными при оп-

росе лица, принимающего решение. Затем, используя количественные оценки,

Рис. 5.9. Процедура построения функций полезности по пяти точкам

41

т.е. детерминированные эквиваленты, мы пытаемся найти конкретного пред-

ставителя этого семейства, подходящего для описания предпочтений лица,

принимающего решение. Информация о детерминированных эквивалентах ис-

пользуется далее для определения значений параметров исходного семейства функций полезности. В результате возможно найти функцию полезности, обла-

дающую всеми качественными и количественными свойствами одновременно.

Однако, не существует алгоритмов ни для выяснения вопроса о том, совместна ли данная совокупность количественных и качественных свойств, ни для полу-

чения вида функции полезности, когда эти свойства совместны.

Первая из рассмотренных ситуаций относится к случаю, когда имеются детерминированные эквиваленты некоторых простых лотерей и установлены области склонности и несклонности к риску. Функция полезности, обладающая требуемыми свойствами, существует при условии, что удовлетворяются неко-

торые линейные ограничения. Отыскание границ подходящей функции полез-

ности сводится в этом случае к решению задачи линейного программирования.

Вторым важным случаем является тот, когда известно некоторое произ-

вольное число детерминированных эквивалентов и для принимающего решение характерна убывающая несклонность к риску.

Для иллюстрации алгоритма для второго случая предположим, что функ-

ция полезности монотонно возрастает по х и отражает убывающую несклон-

ность к риску. Известно, что семейством функций полезности, обладающих та-

кими свойствами, является

чим пять уравнений с пятью неизвестными. Решив полученную систему урав-

нений, получим значения параметров а, b, с и k и получим конкретную функ-

цию семейства (5.16), которая будет описывать предпочтения лица, прини-

мающего решение.

Если полученная система уравнений не имеет решения, то необходимо продолжить поиск другого вида аппроксимирующего выражения. Выбор функ-

42

ции полезности при полученных ограничениях является, как правило, эвристи-

ческим процессом поиска.

Рассмотрим далее немонотонные функции полезности. В этом случае за-

дача немного сложнее, чем в случаях, когда функция полезности монотонна.

Пусть предпочтения лица, принимающего решения, возрастают по X до хm, а за-

тем убывают. Для описания таких предпочтений построим как бы две функции полезности: одну u1(х) для х ≤ xm и другую, u2(х), для х ≥ хm. Очевидно, что u1(х)

монотонно возрастает по х, а u2(х) монотонно убывает. Для обеих функций,

являющихся монотонными, приложима ранее рассмотренная теория. Необхо-

димо решить задачу подбора правильной шкалы для u1(х) и u2(х). Во-первых,

фиксируется по одной точке для каждой функции полезности, полагая u1(хm) = u2(хm). Во-вторых, определяется х' < хm и х" > хm, такие, что лицо, при-

нимающее решение, безразлично к выбору между х' и х". Зададим в связи с этим u1(х') = u2(x"), и зафиксируем вторую точку для каждой функции полезно-

сти. В результате получаем функцию полезности, пригодную для всех х:

Этап 5. Проверка согласованности. Разработано большое число алго-

ритмов проверки согласованности, которые могут быть использованы для вы-

явления искажения функции полезности лица, принимающего решение. Под искажением будем понимать то, что построенная функция полезности в дейст-

вительности не соответствует полностью предпочтениям лица, принимающего решение. Существует два способа проверки согласованности.

Рассмотрим эффективный алгоритм проверки, заключающийся в том,

чтобы выяснить у лица, принимающего решение, что для него предпочтитель-

нее: некоторая лотерея или некоторый выигрыш; или одна из двух лотерей.

В обоих случаях для наличия согласованности нужно, чтобы ожидаемая полез-

ность предпочитаемой ситуации была больше.

Ещё один алгоритм так называемой «тонкой» проверки согласованности может быть проиллюстрирован следующим примером. Предположим, что

43

функция полезности лица, принимающего решение, построена для критерия

«прибыль в р./год», так что нуль – существующее положение. Пусть мы хотим иметь функцию полезности u(х) для диапазона –100 ≤ x ≤ 100. Часто может ока-

заться, что принимающий решение не склонен к риску на всем интервале, кро-

ме малых отрицательных значений (т.е. для –10 ≤ х ≤ 0), для которых он указал,

что охотнее бы участвовал в лотерее А = <–10, 0>, чем получил наверняка

В ≡ –4. Видно, что исход В означает выплату четырёх единиц р./год. Аналитик может усомниться в истинности такого отношения к риску и исследовать его следствия совместно с лицом, принимающим решение. Рассмотрим наряду с А и В выбор С, в котором лицо, принимающее решение, выплачивает четыре еди-

ницы, после чего получает право участвовать в лотерее <–6, 4>. Выборы А, В и С изображены на рис. 5.10.

Ранее лицо, принимающее решение, определило, что А предпочтительнее

В. Теперь аналитическая группа спрашивает его о предпочтениях между В и С.

Лицо, принимающее решение, отвечает: «В обоих случаях я должен вначале выплатить четыре единицы. В исходе В этим все заканчивается. Однако в вари-

анте С я должен участвовать в лотерее <–6, 4> с отрицательным ожидаемым выигрышем –1. Мои предпочтения очевидны: я выбираю В». Следовательно,

В предпочтительнее С.

Однако, теперь аналитическая группа просит: «Сравните А и С и изложи-

те свои соображения об их общем соотношении». Лицо, принимающее решение

Рис. 5.10. Проверка согласованности, предназначенная

для выявления нетранзитивности, требующей дальнейшего исследования

44